SUPPLÉMENT A LA QUINZIÈME LEÇON
Démonstration du théorème énoncé p. 177 (*) et applications de ce théorime — On donne sur un plan {fig. 121) unangle asb et un point o. Quelle que soit la transv^ersale oaby issue du point o, on a
1 7 ) -: = const.
\oa 00 1 sinaoj
En elTet, on a
aire 056 — aire 05a = airea^^,
ou
so,sh %\xiosh — so,sa sino^a — sa,sb sxnasb,
qu'on peul écrire
?\ïïasb
sas'xïiosa sbs'mosb so s'in osa f^ïnosb'
d'où
\oa 06/ s'maos
s\n osb
so si II 05a sino56
relalion vraie quelle que soit la transversale ab^ et, comme le second membre est constant, le théorème est démontré (*).
La relation (1) reste la même, quelle que soit la position du point o par rapport à Tangle, à la condition de donner un signe aux segments comptés à partir de o, selon le sens de ces segments.
(') Il est facile de voir que ce théorème s'étend au cas où l'on a un angle dièdre et un point fixe.
Dans le cas particulier où (Jig. lai) la transversale est perpendiculaire à os, la
Menons op parallèlement à sb^ il résulte du théorème précédent que
op sinpos \oa objsinbos
Du point o'j pris arbitrairement sur 50, menons o'/ parallèlement
à 06; on a
, , so - , ^ so oa = o p — ,1 ob = of — : • "^ so "^ so
Portant ces valeurs dans la relation précédente, on obtient
xn si 11 hos i
(2) op =
so^xnpos I I
où o' et Tangle/o'^ sont arbitraires.
Si Ton considère les droites so^sa^sb comvae des projetantes, on peut considérer op comme projeté en o' p' sur la droite arbitraire o'/, La formule (2) donne alors la valeur de op en fonction de sa projection 0' p' , du segment o'/ limité au point/, projection du point à Tinfini sur op, et d'autres quantités qui disparaissent lorsqu'on emploie convenablement cette formule (2).
Nous allons faire usage de cette formule pour transformer des relations homogènes de segments comptés sur une même droite.
Transformons d'abord le rapport — {fig' 122).
Appliquant la formule (2), on a
La transversale o'f étant arbitraire, on voit que : un faisceau de
relation ( i ) devient
^xnasb
j i fq;
— ^ -^ ou — '—
l'dûgosbj '
50\tango«a langosàj sosinosasinosb^ d'où
cos 05a cos osb sin axb
sin o^a sino^^ "~ sinosas'inosb
et, par suite, on a le développement de sin{osb — osa).
APPLICATIONS DU THÉORÈME DE LA PAGE I77. igS
quatre droites $o\ sp\ $q\ sf détermine sur une transversale quelconque des segments entre lesquels, on a un rapport, tel que (3), qui a toujours la même valeur (*).
Le rapport (3), qui n'est pas altéré par la projection, c'est-à-dire qui est proJect if, est un rapport anharmonique des quatre points©',
Si la transversale of est perpendiculaire à o's, on a o'p' r^ o's isingo'sp', o'q' — o'siSingo'sq'y o'f =^ o'st^ngo'sf; portant ces valeurs dans le rapport (3), on a
, ian^o'sq' tang 0*5/
tango' 5/>' tango '5/
qui est un rapport anharmonique des quatre droites So', Sp',Sq'yS/.
Au moyen de la formule (2) nous venons de transformer un rapport de deux segments en un rapport projectif : ceci est général, cette formule permet de transformer une relation homogène quelconque de segments d'une droite en une relation projectile.
Prenons comme exemple {fig* 122) la relation
(4) o/?~o^ — or-i-. . .= [i.om,
dans laquelle la constante jx est égale au nombre des points />, q,
Fîg. 133.
r, Le point m est appelé centre des moyennes distances des
points/?, 7, r, ... (»).
(*) Il est facile de voir qu'on a une propriété analogue pour un faisceau de quatre plans.
(«) Chasles, Géométrie supérieure, 3* édition, page 7. — Crbmotia, Éléments de Géométrie projectile (traduction de Dewulf), p. 44* — Rooché et de Combb- ■ocssE, Traité de Géométrie j p. s 13.
(*) La relation (4) pouvant s'écrire mp -+■ mq h- mr 4-...-= o, le centre m est le même quel que soit le point o.
Appliquons la formule (2), remplaçons o/>, 07, or, ... par leurs valeurs et supprimons le facteur commun, il vient
III fX
I 1 I I I I If
que Ton peut écrire
.o'p' o'f OU
et enfin
pf 9/
Cette relation est alors projective.
Le point m' est le centre des moyennes harmoniques des distances des points />', q\ r', » . . au point /(*). On voit donc que la projection du centre des moyennes distances des points p^ q, r, ... est le centre des moyennes harmoniques des distances des projections de ces points au point/, qui est ia projection du point à l'infini sur la droite pqr.
GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE.
Construction des centres de courbure des lignes décrites pendant le déplacement d'une figure plane sur son plan (')«^ Nous avons trouvé (p. 177) la relation
/ ï I \ Il
( î ) CO«f =5 H 5- •
\ma p — ma/ * U31 Rf
(') PoîiCELET, Traité des propriétés projectives des Jigures, a* «édition, t. II, p. ,6.
(') BoBiLLiER, Cours de Géométrie, Géométrie plane, II* Partie, Section III.
A. Transoîi, Méiliode géométrique pour les rayons de courbure d'une certaine classe de courbes {Journal de Mathématiques, t. X, p. iJS; i845).
Chasles, Construction des rayons de courbure des courbes décrites dans le mouvement d 'une figure plane qui glisse sur son plan ( Journal de Mathématiques, t. X, p. 3o4; 1845).
Bbesse, Mémoire sur un théorème nouveau concernant les mouvements plans
GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. IqS
Supposons (^^. 123) que le point m se soit éloigné à Tinfini sur am
Fig. 133.
et que v soit alors la nouvelle position du point fx, c'est-à-dire que v soit le centre de courbure de la trajectoire décrite par le point à Tinfîni sur am,
et sur l'application de la Cinématique à la détermination des rayons de courbure {Journal de l'École Polytechnique, X\XV* Cahier, i853).
Pb. Gilbert, Recherches sur les propriétés géométriques des mouvements plans ( Mémoires couronnés par l'Académie royale de Belgique, t. XXX, iSj-;).
E. Lamarle, Théorie géométrique des rayons et centres de courbure {Bulletins de V Académie royale de Belgique^ a' série, t. II, 1857).
CoELiM, Dei moti geometrici, etc. {Accadem. di Bologna^ 3* série, t. I, 186a).
Resal, Traité de Cinématique pure. Paris, 1863.
Dahla?<deb (G.-R.)* Geometrisk theori for accelerationen viden plan flgurs forflyttung i dess plan { Ofversight of KôngL Vetenskaps-Akade miens. Forhandlingar. Stockholm, t. XXV, 1868).
LiGri?iE, Théorie géométrique du mouvement absolu d'un système invariable. Odessa, 187 a.
A?iDREEFSKT, Sur Ics méthodes de Chasles et de Bresse pour la construction des rayons de courbure des courbes décrites dans le mouvement plan d'une figure plane invariable {Bulletin de l'Université de Varsovie, 1873).
Ph. Gilbert, Sur quelques propriétés relatives aux mouvements plans {Annales de la Société scientifique de Bruxelles, a* année, 1877),
T. RiTTERSHACs, Kinematisch-gconietrische Théorie der Beschleunigung fiir die ebene Bewegung (aus dem Civilingenieur., XXIV Band, I IlefL).
ScBELL, Théorie der Bewegung und der Krà/te. Leipzig, 187g.
Ph. GiLoEm, Sur quelques propriétés relatives aux mouvements plans {Annales de la Société scientifique de Bruxelles, ^^ll)-
Pn. Gilbert, Sur l'extension aux mouvements plans relatifs de la méthode des normales et des centres de courbure {Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 1878).
J. Peterse!!, Kinematik; Copenhague, i88'|.
Enfîn un Mémoire que j'ai publié dans le XXXVII* Cahier du Journal de l'École Polytechnique.
jg6 SECONDE PARTIE. — QUINZIÈME LEÇON.
La relation précédente devient
coscp I ~ I
Élevons la perpendiculaire v « à av, on a f^^i 1 - -L L
Pour un point à rinfîni situé sur une autre droite issue dea, on obtient le centre de courbure analogue à v en projetant le point fîxe i sur cette droite.
Il résulte de cette construction que :
Pour une position quelconque de la figure mobile^ les centres de courbure des lignes décrites simultanément par les points de i infini sont sur une circonférence tangente à la courbe fixe au centre instantané. Nous désignons par I cette circonférence.
La démonstration directe de cette propriété est très simple. Menons des droites partant de a. Prenons sur M un point a' infiniment voisin de a et menons de a' des droites parallèles aux droites issues de a. On a ainsi deux faisceaux de droites qui sont égaux et dont les sommeU^ sont a et a'.
Après un déplacement infiniment petit de M, le point a* vient en a. sur F et devient le centre instantané de rotation. Le faisceau dedroite> dont le sommet est maintenant en a^ est Pensemble des normales au\ trajectoires des points de l'infini. Les points de rencontre des droite> du faisceau a^ et des droites du faisceau a sont alors les centres de courbure des trajectoires décrites par les points de Tinfini. Mais le* faisceaux a et ax sont égaux ; donc ces points de rencontre sont sur une circonférence qui passe par a et ^1, et le théorème précédent e^t démontré. On peut énoncer ainsi ce théorème, en s'appuvant sur une propriété démontrée page 178 :
Les centres de courbure des courbes enveloppes de toutes les droite^ du plan de la figure mobile, pour une position quelconque du plan de cette figure, sont sur une circonférence I tangente à la courbe fixe au centre instantané de rotation.
Prenons un exemple. Un triangle abc de grandeur invariable (fig. i2!\) se déplace de façon que les côtés ac, bc restent constamment tangents à deux circonférences données dont les centres sont e,y : construire le centre de courbure de l'enveloppe du troisième côté ab du triangle mobile.
GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE.
l^e centre instantané o est le point de rencontre des perpendiculaires abaissées des points e, f sur les côtés ac, 6c. La circonférence qui contient les points o, e,/ est alors la circonférence I. La perpendi-
Fig. ia4.
culaire abaissée du point o sur ab rencontre cette circonférence au point ^ qui est le centre de courbure demandé. Il résulte de cette construction que ce point est fixe, et par conséquent que le côté ab enveloppe aussi une circonférence de cercle.
Reprenons les relations ( i ) et (2). Il en résulte que
ma
av
Cette relation permet de construire le point jjl lorsque Ton connaît v. Faisons une application. D' un point fixe p {fig. i25) on abaisse des
Fig. lao.
perpendiculaires sur les tangentes d'une courbe L : on demande de construire le centre de courbure de la courbe (m), lieu des pieds de ces perpendiculaires {courbe qu'on appelle podaire de h) (*).
(*) Maclacki!!, le premier, a étudié les courbes auxquelles Terqoeh a donné le nom de podaires.
igS SECONDE PARTIE. — QUINZiàllE LEÇON.
On peut considérer le point m comme le sommet de Tangle droit pml. En déplaçant cet angle de grandeur invariable de façon que le côté mn passe toujours par/? et que le côté ml reste tangent àL, le sommet m décrit la podaire (m). Cherchons le centre de courbure de cette courbe qui correspond au point m.
La perpendiculaire élevée du point/) k pm rencontre la normale / à L au point o, qui est le centre instantané de rotation. La droite /no est alors normale en m à (m).
Le point X ^tant le centre de courbure de L pour le point /, la circonférence qui contient les points /?, o, X est la circonférence L La normale ont à (m) rencontre cette circonférence au point v. Connaissant m et V, il s'agit maintenant de construire |x au moyen de la relation (4).
Du point V abaissons la perpendiculaire v^ sur/?o. La droite II rencontre mo au point [jl.
Pour le faire voir, prenons Tangle mit et les deux transversales om et ot qui partent du point o. On a (p. igi)
\ojjL ino ) sinjjLo/ "" ot^
d'oCi
o [X ' mo
Ainsi [JL est bien le centre de courbure demandé.
Un triangle abm {Jîg. 126) de grandeur invariable se déplace de
façon que a décrive la courbe (a) et b la courbe {b) : on demande le centre de courbure [i de la courbe (m) décrite par /n, connaissant, pour la position du triangle abm, le centre de courbure a de (a) et le centre de courbure ^ de {b).
GKOMETRIË CINEMATIQUE. I99
Le centre instantané o est le point de rencontre des droites as, b^. La droite mo est la normale à (m). Prenons sur a a et 6^ les points c et ûf, tels que
oc 0% oa^
od ~ o'^ ob
La circonférence qui passe par les points o, c, d est alors la circonférence L
Joignons le point a au point P; cette droite rencontre ab au point/. Dans l'angle afo, les deux transversales oa, ob donnent (p. 191)
\o% oaj sinao/ \o^ ob j sinbof
En tenant compte des égalités précédentes, il vient
oc sin aof — od sin bof.
Il résulte de là que cd est parallèle à of. De même, si le point fx était connu, on trouverait que ce est parallèle à ogy le point e étant tel que
oe ~ ojjL oni
Mais les angles ceo^ cdo sont, égaux; donc Tangle eog est égal à Tangle dof.
D'après cela, on a la construction suivante : Après avoir déterminé o, on trace la droite a?. Elle coupe ab en /. On construit l'angle niog égal à V angle bof : la droite a g rencontre mo au centre de courbure demandé ja (* ).
Appliquons cette construction à la recherche du centre de courbure de l'enveloppe d'une droite L du plan du triangle abm^ en déterminant le centre de courbure de la courbe décrite par le point qui est à l'infini sur la perpendiculaire o\ abaissée de o sur L. Menons la droite oh telle que l'angle \oh soit égal à l'angle bof. Cette droite oh rencontre au point h la droite qui joint le point a au point décrivant, c'est-à-dire la perpendiculaire ah à L : la droite /12 coupe la perpendiculaire o\ à L au centre de courbure X cherché. Comme on pouvait le prévoir, ce point est sur la circonférence L
Nous avons fait remarquer précédemment que la circonférence I est
(*) Cette construction est due à Bobillier, lac. cit.
tangente à la circonférence F, base de la roulette; nous allons utiliser cette propriété.
Une droite ah du plan de la figure mobile {fig> 127) reste tangente à une courbe L, le point a décrit (a) : on demande de construire la tangente pour le centre instantané o à la base de la roulette qui permet d'obtenir le déplacement épicycloïdal du plan de la figure mobile.
Sur la droite oa, construisons le point c de façon que — = »
'^ ^ ^ oc ox oa
le point a étant le centre de courbure de (a). Pour cela, menons du
Fig. 127.
point 0 la droite ot parallèlement à ab. Cette droite est coupée par la droite /a au point t : Ja perpendiculaire te à ab donne le point c.
La circonférence qui contient le point c, le point o et le centre de courbure X de L est la circonférence I. On sait que cette courbe est tangente en o à la base de la roulette; on a alors la normale en o à cette courbe en menant la droite ok qui joint le point o au point de rencontre k des perpendiculaires cA', X k aux droites oa^ oL
Cette construction très simple peut être utilement employée lorsqu'il s'agit de construire le centre de courbure de la ligne décrite par un point qui fait partie d'une figure mobile de grandeur va/*/a^/«. Je vais donner un exemple.
Exemple de détermination dn centre de courliare de la ligne décrite par an point d'nne figure mobile de grandeur variable. — Une droite aà {fig. 128) de longueur variable reste tangente à une courbe L; ses extrémités décrivent les courbes {a) et {a') : on demande de con-struire le centre de courbure de la courbe (a"), lieu des points tels que a', qui détermine sur la droite aa' des segments proportionnels,
La normale au point a" à (a") s'obtient en joignant le point c^ au
point o", qui est tel que
00' aa' o' o" "" a' a"
GëOMëTAIE CINEMATIQUE.
Pendant le déplacement de aa', la droite oo' reste tangente à la développée de L; ses extrémités décrivent des courbes dont on sait construire les normales ok^ o' k*. D'après ce qui précède, on peut déterminer la normale o'^/r^ à la courbe lieu des points o"^ qui sont tels que
oo-
-7—; = const.
Il suffit, pour cela, de joindre le point o" au point k'^ déterminé de façon que jj-p = -7-^ = -7— y* Connaissant /:", on projette ce point sur o' a' au point c", on abaisse la perpendiculaire c" t sur la parallèle
Fig. 128.
I ^/ ^^ Aa') -^ /
menée du point o" à aa' : la droite tl coupe la normale o" a" au centre de courbure ol" cherché.
Inversement, on peut construire le centre de courbure X de Venveloppe L d*une droite mobile sur laquelle trois courbes (a), (a'), {a') déterminent constamment des segments proportionnels, connaissant les centres de courbure de ces courbes données.
Pour cela, on détermine les trois droites ck^ c' k'j c" k" et Ton cherche
une droite kk' telle que Ton ait -rrr-^ = -i—^- Le point X où cette droite
fC K a CL
rencontre la normale lo est le centre de courbure de Fenveloppe L.
Si la droite mobile remplissant les conditions imposées reste constamment normale à (a), le point X ainsi déterminé est le centre de courbure de la développée de (a).
Appliquons ceci à une ellipse.
Construire le centre de conrlinre de la développée d'une ellipse. — La normale a une ellipse (/ig. 129) est partagée par cette ellipse et par les axes de cette courbe en segments proportionnels. Si, en se déplaçant, elle reste normale à l'ellipse, le centre de courbure de son enveloppe est le centre de courbure de la développée de Fellipse; em-
ployons alors la construction précédente. On a Tellipse (a) dont le centre de courbure est le point /. Les centres de courbure des axes {a' ) et {a") sont à Tinfini. On a alors c' en prenant sur le prolongement de a'o' un segment o'c' égal à a'o'. De même pour if. Puis on élève les perpendiculaires c' k' ^ c' W . Ces droites se coupent en e' : en me-
Fig. lag.
nant du point e' une parallèle à ae, on obtient le point cherché \, Car, en élevant sur l\ la perpendiculaire \k' k\ on a bien
aa
comme le montrent les figures semblables tuea'a^ t'u'e'k'X,
Transformons cette construction. Les points e, /, e' sont en ligne droite et l'on a ef^r-.fe'. Mais ef est partagée en deux partie^ égales par la diagonale qr^ qui, d'après une remarque faite à la fin de la quatorzième Leçon, est parallèle à ae et contient /; on a donc ie' = 3 ie.
Par suite, comme les droites ae, il et e'X sont parallèles entre elles, on a /X = 3 Ig.
On obtient donc le point X en portant à partir de /, sur la perpendiculaire à la normale al, un segment /X triple du segment Ig intercepté sur cette perpendiculaire par le diamètre ae et la normale al.
GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. 203
Nous retrouvons ainsi un résultat dû à Maclaurin {Propriétés gé^ nérales des courbes algébriques et Traité des fluxions,)
Snr le déplacement infiniment petit d'une fignre polygonale de forme ▼ariable (*). — Les éléments d'une figure polygonale, côtés et angles, varient pendant le déplacement ; cherchons d'abord les expressions des variations de grandeur de ces éléments. Nous déterminerons ensuite le rapport des chemins élémentaires parcourus parles extrémités d'un côté; cela nous permettra d'établir une liaison entre les côtés successifs du polygone.
ab {Jig. i3o), dont la longueur est /, se déplace en restant tangent à E, le point a décrit (a), et b la courbe (b) : on demande la variation de longueur de l pour un déplacement infiniment petit de ab.
Prenons sur ab le segment ae de grandeur invariable. Pour un déplacement infiniment petit de a sur (a), on a, relativement à ce segment, le centre instantané a. Eu désignant par d^ l'angle de contingence de E, on a, en désignant par &, la nouvelle position de &, après uil déplacement infiniment petit de ae,
De même, en prenant le segment de grandeur invariable be et le
(') Voir BooB, Cours de Mécanique et de Machines. Cinématique y p. 5i, el Nouvelles Annales de Mathématiques , i" série, t. \VI, p. 322; 1857.
Gbocabd, Sur les figures semblables {Bulletin de la Société philomathique, ,870).
A0U8T (l'abbé), Analyse infinitésimale des courbes planes y 1873.
LiGui^tE, Sur quelques propriétés géométriques du déplacement d'une figure plane sur son plan {Nouvelles Annales de Mathématiques, a* série, t. XII, 1873).
BciMBSTER, Kinematisch'geometrische Untersuchungen derDewegung uhnlich verànderlicJier ebener Système { Schlômilch' s Zeitschriftj t. XIX, XX et XXIII, 1874).
M. Lévy, Sur la Cinématique des figures continues sur les sur/aces courbes et, en général, dans les variétés planes et courbes { Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, i*' avril 1878).
Geisbxheiiier, Recherches sur le mouvement d'un système mobile qui reste semblable à lui-même {Zeitschrift fiir Mathemitik u, Physik, t. XXIV, p. 129 ; 1879).
Geiseiubiheb, Construction de figures en affinité au moyen de systèmes qui se meuvent en restant semblables à eux-mêmes {loc. cit., p. 3'|5).
Gei8E:iHEiiiF.R, Relation entre les rayons de courbure de deux courbes réciproques, collinéaires ou inverses {loc. cit.), t. XXV, p. 3oo.
FotLMESTt, Mouvement des figures qui se conservent semblables à elles-mêmes {Journal de Battaglini, t. XVII).
D'OcACMR, Articles dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, 2* série, t. XIX, XX, et 3- série, t. I et II.
centre instantané p, on a par suite
Mais CiCf, en négligeant des infiniment petits d'ordre supérieur, est égal à la variation de longueur de ab] on a donc l'expression demandée
Dans le cas particulier où {b) est une courbe parallèle à E, le point p
Fig. i3o.
