VA
est le point de rencontre de deux normales de E, et, si ces deux courbes sont infiniment voisines, ce point de rencontre est le centre de courbure e de E; on a alors
Lorsqu'un segment mobile se déplace parallèlement à lui-même, la variation de sa longueur est la somme algébrique des projections sur ce segment des chemins parcourus par ses extrémités.
On demande la variation de grandeur d'un angle mobile.
Prenons Tangle abc, dont le côté bc reste constamment tangent à la la courbe C.
Pour un déplacement infiniment petit de b sur (6), la variation de Tangle abc, ou <I>, est la différence des angles de contingence des
GEOMETRIE CINEMATIQUE. 20)
courbes C et K. En employant le centre instantané p, on a
d{b) = ôp.rfô pour Tare infiniment petit d{b) décrit par b sur (ô), d'où
de même, en employant le centre instantané y relatif à bc, on a
par suite,
Enfin, si Ton prend le rapport des expressions de d{a) et de d{b)y on a la formule
Donnons quelques applications. Nous pouvons d'abord faire remarquer que la formule (r) permet de retrouver très simplement la construction que nous avons donnée (p. 172) de la normale à la courbe qui partage constamment ab en segments proportionnels (*). *
Fig. i3i.
On joint constamment par une droite {fig> i3i) l'extrémité a de l'aiguille des heures à l'extrémité b de Vaiguille des minutes : on demande le centre de courbure de Venveloppe de cette droite.
Appelons e le point où ab touche son enveloppe. Comme Textré-
(*) En nous reportant à \^fig' 128 et appliquant la formule (i), nous pouvons
. . d^aa' ...
écrire -57-- = kk' •
au'
mité b parcourt des arcs égaux à douze fois les arcs parcourus par a.
on a
d{b) = iid{a),
et alorSy en employant la formule (3), on voit que
6p = laaa.
Menons oLg parallèlement au rayon ob, on a
par suite,
b^ = 12 Oig.
On a alors aussi e6 — 12 eg, et, comme eg - ae, on conclut que,
Fig. i3q.
pour avoir le point e, on prend le point de division le plus rapproché de a lorsqu'on a partagé ab en treize parties égales.
Puisque le point de contact de l'enveloppe E de ab partage toujours cette droite en segments proportionnels, on voit, en appliquant la formule (i'), que le centre de courbure t de E s'obtient en partageant a3 en treize parties égales et en prenant le point de division le plus rapproché de a (*).
Les côtés d'un triangle abm mobile {fig. iSa) et de grandeur variable restent tangents à trois courbes données; les sommets a et h
(*) E est une épicycloYdc. Cela résulte de ce théorème dû à M. Fouiet : Deux points décrivant dans un même plan deux cercles avec des vitesset angulaires constamment proportionnelles, tout point gui divise dans un rapport constant la droite joignant à chaque instant les deux premiers points décrit une épicycloïde {Bulletin de la Société philomatigue, séance du 16 mai 1868).
Voir Brocard, Nouvelles Annales de Mathématiques, 2* série, t XI, p. 3îo. Pli. Gilbert, Annales de la Société scient i/ique de Bruxelles, p. i53; 1880.
GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. 207
décrivent deux courbes données : on demande la normale à la courbe décrite par le sommet m.
Pour un déplacement infiniment petit de ab^ on a, en appliquant la formule (3),
dia) __ at
diT)~ 6p' d(b) b^ d(m) " /njx d( m) mil.' 'dÇâ) ~~~ ~cl7*
multipliant membre à membre ces trois égalités, on a
ay.,b^' .m\L* '~ b'^.aa.mu.
d'où
mix' ~ bp.UTf
On a donc la normale demandée en construisant une droite issue de m et qui soit partagée par g a! et /^' en segments m. \k' ^ m {jl dont le rapport est déterminé.
On voit aussi de la même manière que, si Ton donne les courbes décrites par les trois sommets du triangle mobile, ainsi que les courbes enveloppées par les deux côtés am^ bm, on détermine le point e où ab louche son enveloppe en construisant une perpendiculaire à cette droite, de façon que le rapport r-n soit égal à un rapport
déterminé. Tout cela est vrai pour un polygone variable d'un nombre quelconque de côtés.
Dans sa Statique, Môbius a considéré seulement le cas particulier où le polygone a ses côtés de grandeur constante. De pareils polygones forment ce qu'on appelle maintenant un système articulé. Plus loin, je dirai quelques mots sur les quadrilatères articulés.
Remarquons que la construction qui donne m jx est linéaire. L'ensemble des tracés qui conduisent à cette droite est une certaine figure polygonale dont on peut, d'après ce qui précède, déterminer les éléments qui servent à définir son déplacement infiniment petit, c'està-dire les tangentes aux. lignes décrites par ses sommets et les points où les côtés touchent leurs enveloppes. Mais le point où mjx touche son enveloppe est le centre de courbure de (m); on a donc le moyen de construire ce centre de courbure. Pour arriver à cette solution, on
est conduit à se donner les centres de courbure des lignes (a) et (b) et des courbes enveloppées par les trois côtés du triangle.
On donne une ellipse {Ji^, i33); on prend un triangle mu.g, dont les côtés sont la normale m ^^ le diamètre passant par /w, et la perpendiculaire élevée du centre de courbure \i.à la normale mjx : on demande la normale en g à la courbe décrite par ce point lorsque m décrit l'ellipse donnée,
Fig. i33.
Appelons X le centre de courbure de la développée de Tellipse, gh la normale cherchée et appliquons la formule (3), on a
d{m) mu.
djl-x) ^ jxÀ d{g) gh'
d(g) ^ gf d{m) me
Multipliant membre à membre ces égalités, il vient
m]3..gf
mcgh
D'après cela, on obtient h par cette construction : on mène du point j* la parallèle fxe à om, cette droite rencontre gc au point e\ la perpendiculaire à om menée du point e rencontre la perpendiculaire hh i {jlX au point h, La droite gh est la normale demandée.
Connaissant cette normale et sachant que {jlX est égal à trois fois g^s on n'a qu'à prendre le point v de façon que Xv soit égal à trois foisX/i
GBOMETRIB CINÉMATIQUE. 209
pour obtenir en ce point v le centre de courbure de la développée de Vellipse.
Etant donnés un point fixe a et une circonférence de centre c, on demande le centre de courbure de la courbe{m)iJig. i34, ovale de
Descartes), lieu des points tels que m^pour lequel on a — r = const. (*).
Appelons X celle conslante. On trouve facilement que la tangente nit en m s'obtient en joignant le point m au point de rencontre t des
Fig. 134.
perpendiculaires at^ bt aux droites am, bniy ou que la normale mn est telle que
sinam/i __ ..
smbmn "~ De cette relation on lire
d.amn ^ , d.bmn cos amn —77 — 7- = A cos bmn —77 — :- : d{m) d(m) '
désignant par p. le centre de courbure cherché et appliquant la formule (a), il vient
m\k ma m{x /nf tangamn tang6/n/i
ou
matanga/n/i m^ldiiigbmn^
relation qui montre que, en élevant à la normale mn les perpendi-
(') Voir Annali di Matematica di Tortolini, t. I, p. 364; i858.
aïO SECONDE PARTIE. — QUINZIEME LEÇON.
culaires ttg^ y A, on obtient sur ma, mb les points g et h, et que la droite gh détermine {jl sur mn,
La formule (i) peut s'écrire sous cette forme, donnée par Newton ( ';
{fig. i3o),
d{a) __ ae,at d\F)'~' bëTbt'
les droites at, bt étant les tangentes à (a) et à {b).
Si le point e est à Finfini, c'est-à-dire si la droite mobile se déplace parallèlement à elle-même, on a simplement
d{a) __ at d(b)'^ Fi'
ce qu'il est facile de voir directement. Appliquons cette dernière formule.
On donne {fig. i35) une droite D et une courbe (a). Sur les ordonnées telles que ap^ parallèles entre elles, on construit des triangles semblables au triangle apni] les sommets tels que m appar-
Fig. i35.
tiennent à une courbe (m) : on demande la relation entre le rayon de courbure pm de (m) en m et le rayon de courbure p^ de (a) pour le point a.
Il résulte immédiatement de la génération de (m) que les tangentes at, mt aux courbes (a), (m) se coupent sur D.
Lorsque l'on déplace a sur (a) la droite am reste parallèle à ellemême et Ton a
d(a) at d(m) ~" mt
L'arc d{a) est égal au produit de p^ par l'angle de contingence ( ' ) Tractatus de qucuf ratura curvarum, opusculum III, p. ao6.
GÉOMÉTRIE CINEMATIQUE. 211
de (a) en a et, comme cet angle est égal à — — > on a
de même
On a alors
pa at X at pZ ~ br>rïLt'
et par suite, comme il est facile de le voir,
pm f>f^ «^
Telle est la relation cherchée.
ml
On peut remarquer que — j est constant et que cette relation s'applique aussi à la courbe (m) considérée comme lieu des points qui partagent dans un rapport constant les ordonnées telles que al de la courbe (a).
Si le point de la courbe {a) est tel que sa tangente est parallèle à D,
ml
la relation précédente donne simplement —r pour le rapport des rayons
de courbure aux points correspondants de (a) et de (m). Cette circonstance se présente pour le point G {/ig* 70) de Tellipse perspective cavalière du cercle. Appelons p le rayon de courbure de cette courbe pour le point G. On a, d'après la remarque précédente,
.,^ OC, OB* p = OG.x^=-^.
On retrouve ainsi que : pour' un point d'une ellipse le rayon de courbure de cette courbe est égal au carré du demi-diamètre parallèle à la tangente en ce point divisé par la distance du centre à cette ta Fige n te.
Dans le cas particulier où am {^g. 1 35) est parallèle à D, les rayons de courbure pa €t p,„ sont simplement proportionnels aux cubes des tangentes at^ mt.
On arrive au même résultat si {a) et (m) forment une seule courbe dont D est un diamètre. Geci est applicable à une ellipse, donc : En deux points d'une ellipse, les rayons de courbure sont entre eux comme les cubes des tangentes à la courbe, qui sont issues de ces points et qui sont limitées à leur point de rencontre.
Voici encore quelques applications des formules précédentes.
2I!1 SECONDE PARTIE. — QUINZlÂMB LEÇON.
Un triangle rectangle aoa\ mobile et variable de grandeur, a son sommet de l* angle droit au point fixe o^ son hypoténuse touche au sommet a une courbe (a) : construire la tangente en a' à Ut courbe (a') décrite par ce point lorsque a parcourt {a).
Fig. i36.
Tp"""
Soient {fig. i36) a^e la normale en a' à (a')el a le centre de courbure de (a) pour le point a; on a
Mais, en appelant âO la variation angulaire de oa et oa', on a
d(a)= agd^y d(a')= a'hd^j
d'où
Par suite que Ton peut écrire
d(a) ag d{a') a' h*
g» ag a'e a' h
an. ^ a'e a g '~ a' h
Élevons au point a' la perpendiculaire a' l k aa'. Appelons / le point 011 cette droite rencontre ao. On a
aa __ pl^ a'e pa
ag "~ pa' oTh "" jôÂ '
GEOMETRIE CINÉMATIQUE. Ul3
Portant ces valeurs dans la relation précédente, il vient
pi pa pa' "" ph
Il résulte de là que : la normale a'eest parallèle à la droite al ou que la tangente a' a" à {a') est la perpendiculaire abaissée de a' sur al.
Appelons a' le point de rencontre de cette tangente avec oa et cherchons Texpression de oa" en fonction de oa et de Tangle (o que oa fait avec (a).
Le point a' est le point de rencontre des hauteurs du triangle taa'. Menons oq parallèlement à a' t, c^est-à-dire perpendiculairement à aa'. L'angle a' ta^ coupé par les transversales oa et oq donne (p. 191)
Mais
On a donc, en appelant pa le rayon de courbure de (a) en a,
oa
oa'
oq
sino)
oLa
Iq la "
= sin*c«).
oa' oa Pa sin*(o
Appliquons cette relation : On a {fig- 136) des courbes («), («1), ... daiis un plan; on mène d'un point o une transversale qui les coupe aux points a^ a,, . . . ; o/i prend sur cette droite un point m, tel que
7 — = -2 , Xa e^ X„, étant des constantes. Lorsque la tranversale ^^ oa ont
tourne autour de o, les points, tels que m, appartiennent à une
courbe (m), dont on demande le rayon de courbure pm-
Pour une variation angulaire infiniment petite de la transversale,
on a
^Xad — = y<md y
^ oa om
d'où
Y;^ ^ d.oa s d.om
oa om
Soit mm' la tangente en m à (m). On a, pour une variation angulaire d6 de la transversale oam,
d.oa = og.d^ = — , d^, ° oa '
ai4 SECONDE PARTIE. — QUINZIÈME LEÇON.
de même
, ont -^
d.om = : an.
om
Portons ces valeurs dans la relation précédente, il vient
Aa A.1
^â oa' ont'
Cette relation permet de construire la tangente m' m. Elle est dt* même forme que la relation d'où nous sommes partis. Opérant alors encore de la même manière, on a, en appelant m' un point analogu** à rt',
^ oa" ~ om"'
Mais nous avons trouvé précédemment
< <in a de même
oa" oa pasin'to'
om"
om p/n^in'<p
iniffi'
Introduisons ces valeurs de — => — = dans la dernière relation, il vient
oa om
^a "Xr^ ^a ^/n ^/n
Mais donr
^ oa ~^ ^ pasin'd) om ' p»,sins\p
Jmd oa ~~ om'
Jmà pa sin^u) p;„sin»a)
Telle est la relation qui donne le rayon de courbure p„. Voici ({uelques conséquences résultant de cette relation :
On a deux courbes (a), (a,). Sur une transversale issue du point fixe o, on prend le point m^ harmonique conjuguée de opar rapport aux points a et a^^ où les courbes sont coupées par la transversale. Lorsque cette transversale tourne autour de o, le point m décrit une courbe {m), et Von a, en conservant les notations précédentes,
.éid pa sin'o) p/„sin^9
Lorsque le point o est à Tinfini, les transversales sont parallèles entre elles et le point m est le milieu du segmentai,. La courbe (m)
GEOMETRIE CINEMATIQUE. 213
est alors une ligne diamétrale. La relation précédente subsiste et permet de déterminer le rayon de courbure en un point de cette ligne diamétrale.
Prenons une courbe géométrique A, supposons que les coefficients constants, tels que X^, soient égaux à Tunité et que X;;, soit égal au degré de la courbe A. Le point ni est alors, par rapport à o, le centre des moyennes harmoniques des points a, ai, . . ., où la transversale coupe A (p. 194)* On sait, en vertu d'un théorème dû à Cotes, que la courbe (m) est une ligne droite. Le rayon de courbure p,„ est alors infini et la relation précédente donne
PaSin^b)
Le théorème exprimé par cette relation est dû au D' Reiss ( * ). On peut en déduire divers théorèmes, entre autres celui qui est relatif aux rayons de courbure en deux points d'une conique (p. 211).
On a des courbes A, Aj, ... {fig. 137) dans un plan, on mène une tangente à chacune de ces courbes parallèlement à une certaine direction.
Fig. 187.
„L Ni::\J
Soient oa la distance du point fixe o à la tangente à k et\a ^^^ constante. Parallèlement à toutes ces tangentes on prend une droite dont la distance om au point o soit telle que l'on ait
^la,oa = \n,om.
Lorsque la direction des tangentes varie, cette parallèle enveloppe une courbe M : quelle est la relation entre le rayon de courbure pm de M et les rayons de courbure des courbes données.
On a
^\aoa = \mom,
( ' ) Correspondance mathématique de Quetelet, t. IX, p. 289.
ai6 SECONDE PAETIE. — QUINZIÈME LEÇON.
d'où
\ \ad'Oa = Xmd.om.
Menons opq parallèlement aux tangentes parallèles.
La droite ap est la normale en a à la podaire de A par rapport à o et mq est la normale en m à la podaire de M par rapport au même point. On a alors, pour une variation angulaire dta de la direction de> tangentes
d.oa = op.doi, d.om^oq.dui.
Portons ces valeurs dans la relation précédente, elle devient
^Xa'0p = Xm.0q,
D'après cela, il y a entre le point q et les points tels que p la même relation qu'entre m et les points tels que a.
Opérons, relativement aux. points/?, ... et ^, comme nous venon> de le faire. Appelons a et jx les centres de courbure de A et de M : on a alors
Mais
Retranchant terme à terme ces deux relations, il vient
telle est la relation cherchée.
Dans le cas particulier où il s'agit d'une seule courbe géométrique à laquelle on mène toutes les tangentes parallèles entre elles, si les coefficients, tels que X^, sont égaux à l'unité, on sait que M se réduit à un point. Le rayon de courbure pm est alors égal ko et la relation précédente se réduit à
^Pa=0.
Le théorème exprimé par cette relation est dû à Duhamel (*). Sur les qnadrilatéres articulés. — Un quadrilatère est Jormé par
(*) Journal de Mathématiques, i** série, t. IV, p. 364.
GEOMETRIE CINEMATIQUE. 217
€ju€itre tiges, trois de ses sommets sont respectivement liés à des points fixes par des tiges, construire, pour une position du qucuirilatère, la normale à la ligne que décrit le quatrième sommet pendant la déformation du quadrilatère,
abcm {fig. i38) est le quadrilatère formé par les quatre tiges ab, acj bm, cm. Le point a est lié au point o par la tige ao] le point 6 est
Fig. i38.
de même
lié au point o' par la tige bo'\ enfin le point c est lié au point o' par la tige co'. Le sommet libre est m.
Le point de rencontre a des droites ao, bo' est le centre instantané
relatif au côté a6; on a
d{a) T.a dîbj ~ 56'
d(b) p6 5(m) ~ p/n' d(m) [jL/w d{c) ~~ fxc '
d(c) ^ Yç^ d{a) ya
Multipliant membre à membre ces égalités, il vient
aaxp6XfxmxYC = a6xPmxfxcxY«-
Il résulte de cette relation, en vertu d'un théorème connu (*), que les diagonales afx, Py ^'^ quadrilatère formé par les quatre centres instantanés de rotation des côtés passent par les points de rencontre p et q des côtés opposés du quadrilatère abcm (*).
{*) Gbaslbs, Traité de Géométrie supérieure, a* édition, n* 411.
(') Phillips, Théorie de la coulisse de Stephenson {Annales des Mines, i853 et
2l8 SECONDE PARTIE. — QVINZIBMB LEÇON.
D'après cela, on mène la droite />a; elle coupe o" c au point jjl. Lii droite //ijjl est la normale demandée.
Cas particulier. — Supposons que les diagonales du quadrilatère fibcm se rencontrent à angle droit (elles se coupent alors toujours à angle droit pendant la déformation du quadrilatère) et que les points o', o" soient confondus en un seul point o' sur la diagonale am.
On a alors {fig. iSg) un système articulé pour lequel les points o\
Fig. 139.
^Jihv!!:.}:--. .1"-''^ ?i"^-v.^
a^ m restent toujours en ligne droite, quelle que soit la déformation du quadrilatère.
Appliquons la construction précédente. Menons la droite />«, elk coupe o' c au point \k : la droite mfx est la normale à la courbe (m) décrite par le sommet libre m,
L^hexagone o' bcp}s.mo' a ses sommets sur les droites o'c et/>/n;en vertu du théorème de Pascal, les points de rencontre a, a, 1 de ses côtés opposés sont en ligne droite. Il résulte de là que la normale en m à (m) passe par le point i où oa rencontre la diagonale bc.
Comme le point i ne dépend pas de la position de m sur o'a, on voit que,.¥/ l^on relie par des tiges aux points betc différents points de o'a^ les normales aux courbes décrites par ces points concourent au même point i.
Prenons, en particulier, le point mj symétrique de a par rapport à
Brochure; Mallet-Bachelier, i863). — W. Scbbll, Théorie der Bewegung und der Kràfte, Leipzig, 1879; — J. Petebser, Kinematik, Copenhague, i885. — G. YcsG, Sur une propriété' géométrique, statique et cinématique des polygones articulés {Comptes rendus de l'Institut royal lombard, 12 mars i885).
GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. 219
hcy la normale à la courbe (mj) décrite par ce point est. im^. De la connaissance de cette normale, on peut déduire que (m,) est une circonférence de cercle dont le centre est le point où cm^ rencontre 00'; mais nous allons démontrer directement cette propriété. Supposons que Ton décrive une circonférence du pointe comme centre avec
— 2 — s ca pour rayon, on a o'a X o'mjr^ o' c — ca z=. const.
La courbe (/Wj) est donc la transformée par rayons vecteurs réciproques (*) de la circonférence décrite par a, c'est-à-dire une circonférence de cercle dont le centre est sur o' o et telle que le rayon m,// et le rayon ao soient également inclinés sur o/Wi.
Si oa est égal à oo', alors i/Wi est parallèle à oo' , et /Wi décrit une droite perpendiculaire à oo' (*).
La circonférence décrite du point i comme centre avec ia pour rayon est tangente aux circonférences (a) et (/Wj). Le lieu {i) des points, tels que i, est alors le lieu de points également distants des deux circonférences : c'est donc une conique.
La tangente en i à cette courbe est ib. On voit ainsi que la diagonale bc enveloppe une conique.
Prenons le symétrique /Wj de m par rapport à bc, et formons avec
(') La transformée par rayons vecteurs réciproques d'une figure donnée est la figure qu'on obtient en portant, à partir d'un point ou pôle fixe, sur les rayons vecteurs partant de ce point et aboutissant aux points de la figure donnée, des longueurs inversement proportionnelles aux longueurs de ces rayons vecteurs. C'est en i836 que M. Bbllavitis a fait connaître ce mode de transformation. En 18^3, M. Stubbs l'a trouvé de son côté et a publié un Mémoire : On Ihe application of a newmetkod to the Geometiy 0/ Curvesand curve Sur/aces {Philosophical Magazine, t. XXIII). A la suite d'un Mémoire de Sir VV. Thomsûn, LiocviLLE {Journal de Mathématiques, 1^ série, t. XII) a étudié ce mode de transformation^ auquel il a donné le nom actuel de transformation par rayons vecteurs réciproques. Il a trouvé que, par une seule transformation, on peut obteDir le résultat de transformations successives. J'ai démontré géométriquement cette très belle propriété dans le Journal de Mathématiques, a» série, l. XVI. M. A. HmsT a employé ce mode de transformation dans son Mémoire Sur la courbure d'une série de sur/aces et de lignes {Annali di Matematicay t. II). On trouve l'exposition élémentaire de ce mode de transformation dans l'Ouvrage de M. P. Serret : Des méthodes en Géométrie, p. 21, et dans le Traité de GebmeYrie de MM. RoDCHft et de Comberodssb, I** Partie, p. 247* et II* Partie, p. 273.
(') Ce système articulé, composé de sept tiges, au moyen duquel on peut tracer une circonférence ou une droite, est dû au général Peaucellier, qui l'a découvert en 1864. Depuis, MM. Hart et Kempe ont fait connaître, pour le même objet, des systèmes articulés composés de cinq tiges. Le professeur J.-J. Stlvester a fait, à l'Institution royale de la Grande-Bretagne, une très intéressante lecture qui a provoqué de nombreux travaux sur les systèmes articulés. [Voir Liguée, Liste des travaux sur les compas composés {Bulletin des Sciences mathématiques, i883).]
des tiges le losange mcniib. Lorsqu'on déforme le système à lige^, les points m et m, font partie d'une courbe qui rencontre la droilcoa aux deux positions de m et /w, qu'on obtient en amenant le point décrivant sur la droite o' a, La courbe (m) est donc du quatrième ordre. On a
o' mxo /Tij =01 — im = o c — cm = const.
La courbe (m) est donc une anallagmatique du quatrième ordre (*).
Décrivons du point i comme centre une circonférence avec im pour
rayon. Appelons C cette circonférence, elle est tangente en m ti niit
— f — s — s — s Tanallagmatique (m). Mais, comme o' i — im =zo'c — cm , cell*
circonférence coupe orthogonalement la circonférence décrite dn
point o' comme centre avec un rayon égal à \/o'c — cm . On peul dire alors que l' anallagmatique du quatrième degré (m) est l'enveloppe de circonférences dont les centres sont sur la conique {i} et qui coupent orthogonalement une circonférence donnée (*).
Si le point décrivant est m,, symétrique de o' par rapport à bc, alors (m,) est une podaire de conique, car celte courbe est semblable à la courbe lieu du point de rencontre des diagonales aiw, bcet cette courbe est la podaire de o' par rapport à la conique (/).
Cherchons sur la normale mi le point e centre de courbure de V anallagmatique {m). Pour un déplacement infiniment petit du quadrilatère articulé, le triangle aim se déforme et le point < se déplace sur la tangente ib à la conique (*").
Elevons en o la perpendiculaire oj à o/, cette droite coupe en /la parallèle ij menée du point i à o' m. On a
d{a) __ ao
Du centre de courbure cherché élevons la perpendiculaire et à im. cette droite coupe en / la droite ij. On a
d{m) ~~ me Élevons du point o' une perpendiculaire à o* m, cette droite coupe
(*) M. Moutard a donné le nom à^ anallagmatique à une courbe qui se traa$formc en elle-même par rayons vecteurs réciproques. (') Celte génération des anallagmatiques du quatrième degré est due i
M. MOCTABD.
GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. 231
en r et q les droites mi, ao. On a
d(m) __ mr d{a) ~^ aq
Multiplions membre à membre ces trois égalités, il vient
ao X il X mr = ij x me x aq.
Appelons co et cp les angles que font ia et im avec ib] on a
'j ^ i^ f^^o' .. ^ io ^ cLo'
~" sin®' ~ sincp' "^ ~ sinw' ^ '~ sinco*
Portant ces valeurs dans la relation précédente, il vient
ao X ie x o'/n ij X me x ao' sin'cp " sin'u)
Le triangle aim, coupé par la transversale o^ og, donne ao X ig X mo'= io x ao'x mg.
Par suite, la dernière relation devient
mg
ig __ sin'y /ne ~" sin'd) ie
Coupons le faisceau o' i, o'm, o'e, o'g par la parallèle iJ à o'm.
Le rapport anharmonique qui est dans le premier membre de la
ie' dernière égalité est égal à -r-, (p. igS). On a alors
ie' sin'to = ig' sin*<p,
et, par suite, on construit e' de la manière suivante : on abaisse de g' une perpendiculaire sur mi; du pied de cette droite on abaisse une perpendiculaire sur ig* ; cette dernière droite rencontre «a en un point d'où Ton élève une perpendiculaire à ia : cette perpendiculaire coupe ig' au point e\ Il suffît maintenant de mener la droite e'o' : elle rencontre mi au centre de courbure demandé.
Si Ton applique cette construction à la courbe (Wi), on trouve que, quelle que soit la position du quadrilatère, le centre de courbure est toujours sur o'o. Ce centre de courbure est alors unique, et nous retrouvons que la courbe (/Wj) est une circonférence de cercle.
L^appareil du général Peauceliier se construit en prenant un !•>sange abcm {fig. i4o) comme quadrilatère articulé. Cherchons, dan^ ce cas, les rapports des chemins élémentaires parcourus par les sooimets opposés du losange (*).
Prenons d^abord les sommets a et m. Les segments des normales ai,
Fig. i4o.
mi aux courbes (a) et (m), compris entre a ou m et la perpendiculaire élevée en o' à o'm, sont entre eux comme leurs projections o* a^ o'm, puisqu'ils sont également inclinés sur o' m. On a donc
Les sommets c, b décrivent des arcs de cercle. Les arcs élémenlaire> décrits par ces points sont entre eux comme les segments compris sur co', bo' entre c ou 6 et les points oii la perpendiculaire élevée en i â ch rencontre co' , bo' . Mais ces segments sont également inclinés sur cb : on a alors
d{c) ___ ci
d(b) ~ ib'
(') Voir à ce sujet, dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, i" sêrir, l. XX, p. 4^6, 3* série, t. III, p. 199 des Notes de M. d'Ocarne, et dans le mèoiT Hecueil, 3« série, l. I, p. i53, un Article de M. Licuike.
SURFACES ENVELOPPES. n'i
SEIZIÈME LEÇON
