SURFACES ENVELOPPES. — SURFACES RÉGLÉES
Surface enveloppe, enveloppée, caractéristique. — Méthode des enveloppées circonscrites par la détermination des lignes d'ombre ou de perspective. — Perspective cavalière d'une sphère. — Surface enveloppe d'un plan mobile. -- Sur/aces réglées. — Surfaces gauches. — Cône directeur. — Surfaces dévcloppables.
Surface enveloppe, enveloppée, caractéristique (*). — Le lieu des positions successives d'une ligne qui se déplace en se déformant suivant une certaine loi est une surface. On peut aussi considérer une surface quelconque (S) comme V enveloppe d'une surface variable (E); voici en quoi consiste ce mode de génération.
Concevons des surfaces (E) construites au moyen d'un même mode de génération dépendant d'un seul élément variable. Deux surfaces (E), infiniment voisines, déterminent par leur intersection une ligne E : le lieu des lignes, telles que E, est une surface (S) qui est Y enveloppe des surfaces (E).
Les surfaces (E) sont les enveloppées de (S).
La courbe E est la caractéristique dç la surface enveloppe (S).
Chaque enveloppée est tangente à V enveloppe le long de la caractéristique.
Pour montrer qu'il y a contact de l'enveloppe (S) et de l'enveloppée en un point m de la caractéristique, menons des plans par ce point m. Chacun de ces plans coupe les enveloppées de (S), infiniment voisines, suivant des courbes infiniment voisines dont l'enveloppe est la ligne d'intersection du plan sécant et de la surface (S). Mais cette ligne enveloppe est tangente à ses enveloppées ;
( * ) Mo3<GB, Ancdyse appliquée à la Géométrie.
on a donc, à partir du point m, quel que soit le plan sécant ment* par ce point, la courbe d^intersection avec la surface (S) qui est tangente à la courbe d'intersection du plan sécant et de l'enveloppée. Le plan tangent en m à la surface enveloppe et à l'enveloppée est donc le même.
Gela est vrai pour tous les points de la caractéristique; c'est ce que l'on exprime en disant que la surface enveloppe et Vune de ses enveloppées sont circonscrites l'une à l'autre le long" de In caractéristiq ue .
Une surface peut, de bien des manières, être considérée comme enveloppe. Le tore peut être engendré par une sphère de grandeur invariable qui tourne autour d'une droite; dans ce cas, les enveloppées du tore sont des sphères égales ; les caractéristiques sont les méridiens du tore. On peut encore considérer le tore comme l'enveloppe de sphères dont les centres sont sur l'axe de révolution ; on a une série de sphères inégales, et deux sphères infiniment voisines se coupent suivant un parallèle du tore.
Cette deuxième manière de considérer le tore comme enveloppa de sphères est applicable à une surface de révolution quelconque; nous allons faire usage de cette remarque à propos du problème suivant :
Déterminer V intersection de deux surfaces de révolution dont les axes se rencontrent.
Projetons les deux surfaces {fig- i\i) sur un plan parallèle aux axes. Pour construire un point de la ligne d'intersection, on décrit une sphère dont le centre est au point de rencontre de ces axes: cette sphère coupe chacune des surfaces de révolution suivant on parallèle ; les plans de ces parallèles sont perpendiculaires au plan de projection. Ces parallèles sont alors projetés suivant de simples droites, et le point de rencontre m de ces droites est un point de la projection de la ligne commune aux deux surfaces.
Les surfaces étant de révolution peuvent être considérées comm<' l'enveloppe de sphères qui les touchent le long de leurs parallèles. Le contour apparent de la sphère, qui touche Tune des surfaces de révolution le long du parallèle a6, est une circonférence de cercle doublement tangente aux points a et 6 à la ligne de contour apparent de la surface de révolution. De même, pour l'autre surface
