SURFACES ENVELOPPES

de révolution, le contour apparent de la sphère qui touche cette surface le long du parallèle cd est une circonférence de cercle tangente aux points c et rf au contour apparent de cette surface. Aux points de la ligne d4ntersection des deux surfaces projetés en m, ces sphères ont respectivement les mêmes plans tangents que les surfaces dont elles sont les enveloppées; leur ligne d'intersection est donc tangente à la ligne d'intersection des deux surfaces. Mais la ligne d'intersection de ces deux sphères est un petit cercle dont le plan est perpendiculaire au plan de projection et qui se projette suivant la corde ef\ la droite e/doit donc passer par le point m, et

Fig. i4i.

elle est la tangente en ce point à la projection de la ligne d'intersection des deux surfaces.

Au point de rencontre g' dans l'espace des lignes de contour apparent des deux surfaces, les plans tangents à ces surfaces sont perpendiculaires au plan de projection; la tangente à la courbe d'intersection des deux surfaces se projette donc en un point g et cette courbe est alors projetée sur un plan perpendiculaire à l'une de ces tangentes \ la tangente au point g à cette projection est, par suite, dans le plan osculateur de la courbe au point g'.

Cette tangente au point g s'obtient en appliquant la construction que nous venons de donner pour le point m. On prend le parallèle de chacune des surfaces qui passe par le point g^ , puis les sphères tangentes à ces surfaces le long de ces parallèles, et la projection du petit cercle, intersection de ces sphères, est la tangente au point g,

Si les deux surfaces sont, par exemple, des ellipsoïdes, la ligne de l'espace est une ligne du quatrième ordre; mais, le plan des axes étant un plan de symétrie, les points de celte ligne se projelteDi deux à deux en un même point, et la projection de la courbe d«" Tespace est alors un arc de section conique.

Cette courbe est d^un même côté par rapport à sa tangente au point g\ le plan osculateur de la courbe de l'espace en g* ne la traverse pas; ce plan osculateur a donc au point »^, avec cette courbe, quatre points infiniment voisins communs.

Il est facile d'arriver autrement à ce résultat.

Il y a deux points de la courbe de l'espace projetés en /?i; en ces points, la circonférence projetée suivant ef est tangente à la ligne d'intersection des deux surfaces.

Lorsqu'on suppose que les points projetés en m se rapprochenl du point ^, on a constamment une circonférence, analogue à celle qui est projetée suivant <?/, doublement tangente à la ligne d'intersection de l'espace. Lorsqu'on arrive au point ^', les quatre poinl-i communs de cette circonférence avec la courbe d'intersection sont réunis en ce point ; on a donc au point g^ une circonférence ayani avec la courbe quatre points infiniment voisins communs. Cette circonférence est le cercle osculateur de la courbe; son plan esi un plan osculateur qui a avec la courbe quatre points infiniment voisins communs et qui Caisse la courbe d'un même côté.

Méthode des enveloppées circonscrites ponr la détermination des lignes d'ombre on de perspective. — En exposant dans la première Leçon les méthodes générales à Taide desquelles on détermine le? ombres, nous avons laissé de côté une méthode que nous alioD< maintenant développer sous le nom de méthode des enveloppées circonscrites.

Soit à déterminer la ligne d'ombre sur une surface (S) {fig^ i4^- .• Considérons cette surface comme l'enveloppe d'une série de surfaces, et soit C une caractéristique de (S). Cherchons le point de la ligne d'ombre situé sur C. Pour cela, déterminons la ligne d'ombre sur l'enveloppée qui touche (S) le long de la caractéristique C. Cette ligne d'ombre est une courbe qui rencontre C au point m. Le point m est un point de la ligne d'ombre sur (S ■, car le plan tangent au point m passe par le point lumineux.