SURFACES ENVELOPPES

puisque le point m est un point de la ligne d'ombre de l'enveloppée de (S).

Il est clair que cette méthode n'est simple que si la construction

Fig. 143.

des lignes d'ombre est facile sur les enveloppées particulières que l'on considère pour déterminer la ligne d'ombre sur (S).

Ce que nous disons à propos des ombres est applicable en perspective. Si une surface est considérée comme enveloppe, un point de la ligne de contour apparent de cette surface se détermine en prenant la rencontre d'une de ses caractéristiques avec la ligne de contour apparent de l'enveloppée qui la touche suivant cette carac^ léristique.

Appliquons cela à la recherche de la perspective cavalière d'une sphère.

PerspecUve cavalière d'une sphère. — Traçons la perspective du grand cercle horizontal de cette sphère {fig. i43). Considérons

Fig. 143.

celte surface comme l'enveloppe de cônes de révolution dont les sommets sont sur le diamètre FF', perpendiculaire au plan du

tableau. La ligne de contact de l'un de ces cônes avec la sphère est le cercle de front décrit sur la corde ab; le sommet du cône est le point de rencontre s des tangentes en a et 6 à la perspective du grand cercle horizontal. Le petit cercle de front, décrit sur ab conmie diamètre, est la caractéristique C.

Les lignes de contour apparent du cône sont les tangentes à ce petit cercle de front menées du point s. Les points de contact m el n de ces tangentes sont alors, d'après ce que nous venons de voir, des points qui appartiennent à la ligne de contour apparent de la sphère; les points m et n sont donc des points de l'ellipse perspective cavalière de la sphère.

Nous pouvons maintenant compléter un théorème que nous avons énoncé précédemment. Nous avons dit (p. laS) que si l'on prend une ellipse et des cordes telles que abj parallèles à une direction donnée, les circonférences décrites sur ces cordes comme diamètres ont pour enveloppe une ellipse; nous pouvons ajouter qu'on obtient, sur l'une de ces circonférences, les points où eUe touche cette enveloppe en déterminant le pôle s de la corde ai, par rapport à l'ellipse donnée, et en prenant la polaire du point $ par rapport à la circonférence décrite sur ab : cette polaire coupe cette circonférence aux points m et n, qui sont les points demandés.

Surface enveloppe d'nn plan. — Parmi les surfaces simples qu^on peut considérer comme enveloppes, on peut prendre l'enveloppe d'un plan mobile. Dans ce cas, la caractéristique est une droite, et la surface enveloppe touche le plan mobile dans une de ses positions suivant la caractéristique qui est sur ce plan. Cette surface enveloppe peut être considérée comme le lieu des caractéristiques, par conséquent comme un lieu de droites : c'est alors une sur/ace réglée. On désigne sous le nom de sur/aces réglées les surfaces engendrées par une droite.

La surface enveloppe d'un plan est une surface réglée qui, d'après ce qui précède, jouit de cette propriété : le plan mobile, dans chacune de ses positions, est tangent à la surface tout le long d'une génératrice.

Comme exemple de surface enveloppe de plan, on peut prendre l'enveloppe des plans normaux à une courbe gauche. Cette enve-

SURFACES REGLBBS. 229

loppe est le Heu des intersections des plans normaux successifs de la courbe donnée. Le plan normal en a à la courbe gauche est perpendiculaire à la tangente en a; de même, pour le point 6, le plan normal est perpendiculaire à la tangente en 6 à la courbe gauche. La droite d'intersection de ces plans normaux est alors perpendiculaire à un plan parallèle à la tangente en a et à la tangente en b. Si le point b est infiniment voisin du point a, on sait que le plaii mené par la tangente en a parallèlement à la tangente en b est le plan osculateur de la courbe; donc la caractéristique du plan normal en a est perpendiculaire au plan osculateur de la courbe gauche ; en outre, elle passe par le point de rencontre de la normale principale en a avec le plan normal en 6, qui est le centre de courbure de la courbe. Cette caractéristique est alors la droite que nous avons appelée Vaxe de courbure de la courbe gauche.

Ainsi, la sur/ace enveloppe des plans normaux à une courbe fi^'auche est la sur/ace formée par les axes de courbure de cette courbe.

Surfaces ganches. — La surface enveloppe d'un plan mobile nous amène à faire une première étude des surfaces réglées.

Gi{Jig. i44) est la génératrice d'une surface réglée, G' la génératrice inCniment voisine de celle-ci. Menons la perpendiculaire commune oo' à G et G'; la limite des positions du pied o de cette perpendiculaire sur G est ce qu'on appelle le point central (*). Sur chaque génératrice il y a un point central ; le lieu de ces points centraux est ce qu'on appelle la ligne de striction de la surface réglée. Il ne faut pas croire, d'après la définition du point central, que la ligne de striction rencontre à angle droit les génératrices.

Le plan de G et de la perpendiculaire commune oo' est ce qu'on appelle le plan central pour la génératrice G.

(') GaASLBS) Mémoire sur les sur/aces engendrées par une ligne droite {Correspondance mathématique et physique de Quetelet, t. XI).

a3o SECONDE PARTIE. — SEIZIÈliE LEÇON.

Par le point o' menons une parallèle G| à G ; par un point a d'*. G menons un plan perpendiculaire à cette droite. Ce plan rencontre Gs au point b et G' au pointe. G' étant une génératrice infiniment voisine de G, le point c est infiniment voisin du point o, et la droite ac est la tangente en â à la ligne d'intersection de la surface réglée et du plan mené en a perpendiculairement à G: If plan de G et de la droite ac est alors le plan tangent en a à la surface réglée.

Fig. i«.

Cherchons la tangente de l'angle 8 que ce plan langent failaNCi le plan central ; on a

Ung6 = ^.

En désignant par l la distance du point o au point «, par 7 l'angle que font entre elles les génératrices G et G', ou, ce qui revient au même, l'angle de G' et de G<, on a

ab étant la longueur de la perpendiculaire commune à G et G', perpendiculaire que nous désignons par /?, on a donc

^ /tangd lange = 2-.

ou bien

lange = —,

un substituant l'angle à la tangente, ces deux quantités difleranl d'un infiniment petit d'ordre supérieur.

/? et 0" sont des infiniment petits; si nous les supposons de même

ordre, le rapport - est fini. Nous le représenterons par A*; k est co

SURFACES RÉGLÉES. a3l

qu'on appelle \e paramètre de distribution des plans tangents à la surface réglée pour la génératrice G.

La formule tangO = j montre (\wq^ pour une génératrice G, la

tangente de V angle que le plan tangent en un point de G /ait avec le plan central est proportionnelle à la distance du point que Von considère au point central sur cette génératrice.

Il suffit de faire varier / pour déterminer les différentes valeurs de tangO, et par suite pour voir comment varie le plan tangent à la surface réglée lorsque l'on prend successivement différents points de la génératrice G.

Lorsque / est infini, tang8 est infini : le plan tangent est alors perpendiculaire au plan central, il est parallèle à la génératrice infiniment voisine de G; / diminuant, l'angle 6 diminue.

Lorsque /est égal à A', tangO est égal à i; l'angle 0 est alors égal à 45®. On peut dire aussi : Le plan mené par G, qui fait avec le plan central un angle de 45®, touche la surface réglée en un point dont la distance au point central est un segment égal au paramètre de distribution des plans tangents.

Lorsque l est égal à zéro, le plan tangent coïncide avec le plan central. Lorsque a, continuant à se déplacer sur la génératrice, passe de l'autre côté du point o, on trouve alors des plans qui sont, par rapport au plan central, symétriques des plans qu'on avait trouvés pour les points de G d'abord considérés. Et si l'on suppose le point a à Tinfini, on retrouve alors un plan perpendiculaire au plan central.

Nous voyons qu'à un point partant de l'infini sur G, et parcourant cette droite jusqu'à l'infini, correspond un plan tangent qui tourne autour de G; ce plan coïncide avec le plan central lorsqu'il a tourné d'un angle droit; puis il continue son mouvement de rotation, et il coïncide avec le plan tangent au point qui est à l'infini sur G après avoir tourné de deux angles droits.

On voit que, lorsque A^ est fini, l'on a une surface réglée dont les plans tangents sont diff^érents pour les divers points de la génératrice G et telle que tout plan mené par G la touche en un point de cette droite. Cette surface réglée fait partie d'une classe de surfaces à laquelle on donne le nom de surfaces gauches.

a32 SECONDE PARTIE. — SEIZIÉUE LEÇON.

Ce que nous venons de trouver peut se voir géoméirîqaemcnt au moyen de la construction de l'angle 8.

Élevons au point central o de G une perpendiculaire oy égale au paramètre k et menons la droite y^*

Dans le triangle '^oa, on a

l — o^ tango^a :

donc Tangle oya est égal à 8.

Pour un autre point a^ de G, on obtient de même l'angle 9| correspondant.

En prenant la différence de ces angles, on trouve que :

L'angle sous lequel on voit du point y ^^ segment de G est égal à V angle compris entre les plans qui touchent (G) aux extrémités de ce segment.

J'appelle y h point représentatij de l'élément de surface (G) le long de G (').

Jusqu'à présent nous avons supposé que le paramètre k est fini ; supposons maintenant que k soit infini, c'est-à-dire que a* soit infiniment petit par rapport à /?. On a alors sur la surface réglée une génératrice analogue aux génératrices des surfaces cylindriques, c'est-à-dire parallèle à la génératrice infiniment voisine.

Pour une pareille génératrice, tangO = — ; par conséquent, taagt

est nul pour tout point de la génératrice à distance finie du point central; pour ces points, le plan tangent coïncide alors avec le plan central. Pour un point à l'infini, on ne peut pas dire quelle est la direction du plan tangent; tout plan mené par la génératrice et qui n'est pas confondu avec le plan central doit être considéra comme tangent à l'infini.

Si k est nul, c'est-à-dire si p est infiniment petit par rapport

à 0", tangO = -; on a alors une génératrice pour laquelle tangtt est

infini pour tout point à distance finie du point central; les plans tangents pour ces points sont confondus avec le plan tangent au point qui est à l'infini ; le plan tangent est unique tout le long de cette génératrice. Lorsque / est nul, on ne peut pas dire quelle est

(') Voir mon Mémoire d'Optique géométrique (loc. cit).

la direction du plan tangent; tout plan mené par la génératrice et qui n'est pas confondu avec le plan tangent unique le long de cette droite doit être considéré comme tangent au point centra].

Lorsque k est constamment nul ou infini pour les différentes génératrices, on a une surface appartenant à une deuxième classe de surfaces pour lesquelles le plan tangent est le même le long de chaque génératrice. On désigne ces surfaces sous le nom de surfaces développât les.

Dans cette classe de surfaces, à l'exception des surfaces cylindriques, on ne trouve que celles pour lesquelles p est infiniment petit par rapport à a*. En nous reportant à ce que nous avons dit relativement à la plus courte distance des tangentes à une courbe gauche, qui sont infiniment voisines, il en résulte que le lieu des tangentes à une courbe gauche est une surface développable, et que V enveloppe d'un plan mobile, en supposant que cette enveloppe ne soit pa^ une surface cylindrique, est une surface telle que la plus courte distance de deux génératrices est infiniment petite par rapporta Van g le que ces droites comprennent entre elles.

Nous allons montrer que cette surface enveloppe d'un plan mobile est le lieu des tangentes à une courbe gauche.

Fig. i45.

Soient G et G' {fig. i45) deux génératrices d'une surface réglée, a le point central sur G, a' le point central sur G/ \ aa! est alors un arc de la ligne de striction; ad est du môme ordre que l'angle de G et de G'. Si nous supposions ad infiniment petit d'un ordre supérieur, nous aurions une génératrice G analogue à une génératrice de surface conique.

Écartons ce cas. Prenons la perpendiculaire oo commune à G et G^ menons par le point d une parallèle G| à G, abaissons du point a la perpendiculaire ac sur G| et du point c la perpendiculaire cb sur G^. Il résulte de cette construction que ab est per-

a34 SECONDE PARTIE. — SEIZIÈME LEÇON.

pendiculaire à G'. Le point a, étant le point central sur G, est à onc distance infiniment petite du point o, puisque ce point a est la limite des positions du point o lorsque G' se rapproche infiniment de G. Le segknent ac est infiniment petit du premier ordre, ainsi que o'c; bc est un infiniment petit d'ordre supérieur au premier; alors, dans le triangle acbj ab est un infiniment petit de même ordre que ac, et par suite de même ordre que acé. Il en résulte que dans le triangle aba' l'angle en a' est un angle fini ; la ligne de striction coupe donc les génératrices sous des angles finis. C'esl le cas des surfaces gauches.

Si ac est d'ordre supérieur au premier, il en est alors de même de ab] le segment ab est infiniment petit par rapport à aa'^ l'angle en a' est infiniment petit, et la ligne de striction est tangente à la génératrice. Ainsi, lorsque, quelle que soit la génératrice, sa distance à la génératrice infiniment voisine est infiniment petite par rapport à l'angle de ces droites, on peut dire que les génératrice de la surface sont tangentes à une courbe gauche.

En résumé, les surfaces de la deuxième classe, en exceptant les surfaces cylindriques et les surf aces coniques, peuvent être considérées comme le lieu des tangentes à une courbe gauche.

Nous sommes ainsi amenés, pour étudier les surfaces développahles, à prendre la surface formée par les tangentes à une courbo gauche. Définissons d'abord ce qu'on appelle le cône directeur d'une surface réglée.

Cône directeur. — Si d'un point s de l'espace on mène des parallèles aux tangentes d'une courbe gauche, on obtient une surface conique, que nous avons déjà considérée à propos de l'hélice, et qui, par rapport à la surface développable lieu des tangentes à la courbe gauche, prend le nom de cône directeur (' ). Cette expression de cône directeur est employée d'une manière générale lorsque, pour une surface réglée quelconque, on prend le cône lieu de

(*) L'intersection de ce cône directeur et d'une sphère dont le centre est au sommet de ce cône est la courbe que M. P. Serret a nommée indicatrice sphériçue de la courbe gauche et dont il a montré l'utilité ( Théorie nouvelle géométriçittr et mécanique des lignes à double courbure, p. 76 ; 1860).

SURFACES RÉGLÉES. a35

droites menées d'un point fixe parallèlement aux génératrices de la surface réglée.

Lorsqu'il s'agit d'une surface développable, à une génératrice G correspond sur le cône directeur une génératrice sg qui lui est parallèle, et le plan tangent à la surface développable le long de G est parallèle au pian tangent au cône le long de sg\ le cône directeur de la surface développable peut donc être considéré comme l'enveloppe des plans menés du point s parallèlement aux plans tangents de la surface développable.

Dans le cas d'une surface gauche, à une génératrice G correspond sur le cône une génératrice sg\ le plan tangent au cône le long de 5^ est parallèle au plan tangent à la surface gauche au point qui est à l'infini sur G, puisque le plan tangent au point qui est à l'infini sur G est parallèle à la génératrice de la surface gauche qui est infiniment voisine de G.

On voit alors que, dans le cas d'une surface développable, si d'un point de l'espace on mène des plans parallèles aux plans tangents de cette surface, on a une enveloppe.

Dans le cas d'une surface gauche, en menant d'un point de l'espace des plans parallèles aux plans tangents de la surface, il n'y a pas d'enveloppe.

Surfaces développables. — G étant une courbe gauche, menons des tangentes à cette courbe et considérons la surface développable formée par ces droites. Le plan tangent à cette surface le long de la génératrice G est le plan mené par cette droite parallèlement à la génératrice infiniment voisine G'; mais ce plan n'est autre que le plan osculateur de C pour le point a où G touche cette courbe : on voit donc que les plans tangents de la surface développable ne sont autres que les plans osculateurs de la courbe gauche^ et l'on voit aussi que l^ intersection de deux plans osculateurs infiniment voisins est une tangente de la courbe gauche.

Il résulte de là un moyen graphique pour construire le plan osculateur d'une courbe gauche en un point de cette courbe.

Si l'on veut avoir au point a le plan osculateur de la courbe gauche C, on prend des tangentes à cette courbe gauche et les points où ces droites rencontrent un plan auxiliaire (P); en réu-

nissant ces points par un trait continu, on a la trace delà surface développable formée par les tangentes de C. On mène à cette courbe une tangente au point où elle est rencontrée par la génératrice de la surface développable qui passe par a : le plan déterminé parcelle tangente et par cette génératrice est le plan tangent à la surface développable lieu des tangentes à la courbe gaucbe; c'est, comme nous venons de le voir, le plan osculateur de la courbe gauche an point a.

SURFACES DÉVELOPPABLES. 287