DIX-SEPTIÈME LEÇON

SURFACES DÉVELOPPABLES. - GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE (suite).

Section faite par un plan. — Arête de rebroussement. — Étude d'une nappe de la surface développable. — Rayon de courbure de la transformée d'une courbe. — DéTcloppement approximatif d'une portion de surface développable. — Géométrie cinématique, — Déplacements dans l'espace d'une figure de forme invariable. — Nombre des conditions qui assurent ces déplacements. — Déplacement infiniment petit d'une figure plane dans l'espace. — Déplacement d'une droite.

Supplément. — Courbes gauches et surfaces développables. — Théorème relatif à la ligne d'intersection de deux surfaces qui se coupent sous le même angle.

Section faite par un plan. — La section faite dans une surface développable par un plan a un point de rebroussement au point où le plan sécant rencontre la courbe gauche qui définit la surface déi'eloppable.

Fig. i46.

Prenons commejplans de projections le plan sécant ( S) {fig^ i46) et le plan osculateur (O) de la courbe gauche au point a où (S) rencontre la courbe. Ces deux plans se coupent suivant la droite xy, La projection de la courbe gauche sur son plan osculateur (O)est la courbe C, en supposant que cette projection soit faite au moj^en de droites parallèles au plan sécant (S) et perpendiculaires à xj^, La projection G' de la courbe gauche sur le plan (S), étant faite

au moyen de droites parallèles à la tangente au point a^ a un point de rebroussemenl en a ; la tangente en ce point est xy.

On a les projections d'un point de la courbe gauche en abaissant d'un point w! de G' une perpendiculaire rn!p sur xy et en menant parle point y? une parallèle à la tangente at-^ cette parallèle rencontre la courbe G au point /n, qui correspond à m\ La tangente à la courbe gauche, au point de l'espace dont les projections sont m et m', se projette suivant les tangentes en ces points aux projections G et G'. Pour avoir le point où cette tangente rencontre le plan (S), élevons une perpendiculaire à xy au point où la tangente mq coupe cette droite; cette perpendiculaire rencontre la tangente en m' au point gr'; le point q' est ia trace sur le plan (S) de la tangente à la courbe gauche au point (m', m). Le point a étant un point ordinaire sur la courbe donnée, les points tels que 7 sont toujours d'un même côté du point a sur la droite xy, el, par suite, la perpendiculaire qq' est tout entière sur l'une des régions de (S) située d'un même côté par rapport à la perpendiculaire élevée du point a sur xy.

Quant aux points tels que q\ ils sont de part et d'autre de xy. puisque la courbe G' présente un point de rebroussement.

On voit déjà que la courbe trace de la surface développable est située de part et d'autre de xy et d'un même côté par rapport à la perpendiculaire menée du point a à cette droite.

La tangente au point q' à la trace de la surface développable s'obtient en prenant la trace sur le plan (S) du plan osculateur de la courbe donnée en (m', m). En appliquant toujours cette même construction, pour avoir la tangente au point a à la trace de la surface développable, on obtient en ce point la ligne xy qui est l'intersection du plan sécant et du plan osculateur en a. La courbe partant de q' arrive donc tangentiellement à xy au point a, cl, comme elle est de part et d'autre du point a, elle présente en ce point un point de rebroussement (').

Dans le cas particulier où le plan sécant est mené par une génératrice de la surface développable^ la section faite par ce plan ne présente pas de rebroussement et a pour tangente la génératrice de

(*) M. Tresca, ingénieur en chef des ponts et chaussées, m'a donné cette démoo* stration lorsqu'il était élève à TÉcole Polytechnique.

SURFACES DÉVELOPPABLES. a39

la surface qui est rintersection du plan sécant et du plan oscula* leur de la courbe.

Arête de rebronssement. — La courbe gauche qui définit la surface développable est donc, d'après ce que nous venons de démontrer, le lieu des points de rebroussement des sections planes de la surface développable ; c'est pour cette raison que Ton donne à cette courbe le nom d^arête de rebroussement, La projection de Paréle de rebroussement forme le contour apparent de la surface développable.

On peul considérer la surface développable comme formée de deux nappes tangentes entre elles le long de l'arête de rebroussement; Tune des nappes est engendrée par les portions des tangentes à Taréte de rebroussement partant des points de cette courbe et se dirigeant toutes dans le même sens.

Étude d'une nappe de lasorface développable. — Prenons des points sur la courbe donnée, arête de rebroussement de la surface développable. Menons les plans tangents en ces points à la surface développable; ces plans successifs forment une surface polyédrale. Les propriétés de ce polyèdre, qui ne dépendent ni du nombre nî de la grandeur de ses faces, peuvent s'étendre à la surface développable vers laquelle on tend en augmentant infiniment le nombre des points pris sur la courbe donnée.

On peut appliquer ce polyèdre sur un plan, en faisant tourner successivement ses faces autour des arêtes. Lorsqu'on augmente infiniment le nombre des points pris sur la courbe donnée, ce polyèdre tend vers la surface développable, et le développement du polyèdre se rapproche infiniment d'un développement qui est celui de la surface développable. C'est cette propriété de la surface développable de pouvoir se développer sur un plan qui lui a fait donner le nom de surface développable.

Prenons sur le polyèdre un polygone quelconque ; après le développement du polyèdre, le périmètre de ce polygone n'a pas changé. Cette propriété conduit, pour la surface développable, à celle-ci : Lorsqu^on développe une surface développable, un arc d^une courbe tracée sur cette surface et Varc correspondant de la transformée de cette courbe ont la même longueur.

Si, sur le polyèdre, à partir d'un points on mène deux droites,

!24o SECONDE PARTIE. — DIX-SEPTIÈUE LEÇON.

côtés de polj'gones tracés sur le polyèdre, TaDgle compris cnlre ces droites reste le même après le développement du polyèdre. Cette propriété conduit à celle-ci : U angle que deux courbes tracées sur une sur/ace développât le comprennent entre elles et l'angle que font entre elles les transformées de ces deux courbes après le développement de la surface développable sont égaux entre eux.

On peut tracer sur une surface développable une courbe qui rencontre à angle droit les génératrices de cette surface; celle courbe, qu'on appelle développante de l'arête de rebroussemenl de la surface développable, se transforme, d'après ce qui précède, en une trajectoire orthogonale des tangentes de la transformée de l'arête de rebroussemenl après le développement de la surface développable, et par conséquent devient une développante de celle transformée de l'arête de rebroussemenl.

Rayon de courbure de la transformée d'une courbe. — Cherchons la relation qui existe entre le rayon de courbure d'une courbe tracée sur une surface développable et le rayon de courbure de la transformée de cette courbe après le développement de la surface,

Fig. 147.

Prenons {fig, 147) pour plan de projection, que nous supposons de front, le plan tangent à la surface développable le long de la génératrice ga qui contient le point a de la courbe C tracée sur la surface. Projetons le point m en m', ainsi que les différents points de la courbe C; nous obtenons la projection am' ou P. Développons la surface développable sur le plan tangent le long de ag. Le point m, supposé infiniment voisin du point ûr, décrit un arc mm^ infiniment petit et vient, dans ce plan tangent, sur la

SURFACES DÉVBL0PPABLE8. Sà4l

perpendiculaire à ag menée du point /n', à une distance du point m infiniment petite du troisième ordre. La courbe am se transforme ainsi suivant la courbe arrix ou T.

On a maintenant trois courbes : la courbe donnée C, la projection de celle courbe P sur le plan tangent, et la transformée T de la courbe C. Les courbes T et P sont osculatrices au point «, puisque les points rrJ et m^ de ces deux courbes, infiniment voisins du point a, sont distants l'un de l'autre d'une longueur qui est infiniment petite du troisième ordre.

Cherchons alors la relation qui existe entre le rayon de courbure p de la courbe C en a et le rayon de courbure R de la courbe P au même point a. Pour cela, abaissons du point m' la perpendiculaire wtt sur la tangente ai à ces deux courbes; mi est alors aussi perpendiculaire à celle tangente, puisque mm! a été mené perpendiculairement au plan de projection, qui est tangent à la surface développable le long de ag et qui est supposé de front. La droite inlt est dans ce plan tangent à la surface développable*, la droite mt est dans le plan osculaleur de la courbe C ; Tangle 6 de ces droites est donc l'angle que le plan osculaleur de la courbe C en a

fait avec le plan tangent à la surface développable en ce point. Le

rayon de courbure p de G est égal à — -; le rayon de courbure R

de la courbe P est éfi:al à — rr; on a alors ^ ami '

Dans le triangle rectangle mnity on a

nTL t — mtcosO; I résulte de là

- =- -^. d'où R=-^ (»). p cosO cosO

Ainsi, le rayon de courbure R de la transformée d'une courbe est égal au rayon de courbure de cette courbe divisé

( * ) Cette relation est due à M. E. Gatalah ( Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. XVII, p. 788; i843).

a42 SECONDE PAKTIE. — DlX-S£PTlâ]IB LEÇON.

par le cosinus de V angle que le plan osculateur de la courbe fait avec le plan tangent de la surface déçeloppable.

Pour construire ce rayon de courbure R, menons Taxe de courbure oa' de la courbe donnée ; cette droite rencontre en un certain point al le plan tangent suivant ag à la surface dëveloppable : le segment a a' est égal au rayon de courbure R de la transformée de la courbe sur ce plan tangent. En effet, cette droite fait avec le plan osculateur l'angle 6; la projection de cette droite sur le plan osculateur est le rayon de courbure a a de la couii)e C. On a alors

cosô

Lorsque le plan osculateur de la courbe tracée sur la surface dëveloppable est perpendiculaire au plan tangent, Taxe de courbure de la courbe rencontre ce plan tangent à Tinfini, et, par suite, le rayon de courbure de la transformée est infini. Cette transformée présente un point d* inflexion.

Lorsque le plan osculateur de la courbe se confond avec le plan tangent à la surface développable, c'est-à-dire lorsque 6 est nul, R est égal à p : c'est ce qui a lieu pour les points de l'arête de rebroussement de la surface développable. Ainsi, lorsque l'on développe une surface développable, la transformée de l'arête de rebroussement est une courbe dont les rayons de courbure sont respectivement égaux aux rayons de courbure de V arête de rebroussement.

Dans le cas particulier où l'arête de rebroussement est une hélice, on voit que la transformée de cette courbe, après le développement de la surface développable formée par ses tangentes, est une circonférence de cercle.

Déyeloppement approximatif d'une portion de surface développable. — Si l'on veut effectuer le développement d'une portion de surface développable limitée à deux courbes, on opère approximativement. On prend des points sur l'une des courbes et on les réunit en formant un contour polygonal; on trace les génératrices qui passent par ces points et l'on prolonge ces droites jusqu'à l'autre courbe; on réunit les extrémités de ces droites en formant un autre contour polygonal. On obtient ainsi une série de quadrilatères que l'on dé-

GÉOMÉTRIE CINEUATIQUE. ^43

compose en triangles au moyen de diagonales; on construit ensuite sur un même plan des triangles égaux à ces triangles, et l'on a le développement approximatif de la portion de surface dëveloppable comprise entre les deux courbes.

GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE.

Déplacements dans l'espace d'une figure de forme invariable. Nombre des conditions qui assurent ces déplacements. — Nous allons suivre une marche analogue à celle que nous avons adoptée pour les courbes planes. Après avoir considéré ces courbes d'une façon générale, nous avons pris en particulier les lignes décrites pendant le déplacement d'une figure sur un plan; de même, après avoir parlé des courbes gauches et des surfaces d'une façon générale, nous allons considérer les lignes décrites ou les surfaces engendrées pendant les déplacements dans l'espace d'une figure de forme invariable.

Commençons par déterminer le nombre de conditions auxquelles peut être assujettie une figure de l'espace que l'on déplace. Trois conditions fixent la position dUin point dans l'espace et assurent son immobilité. Retranchons une condition, conservons-en alors deux, le point n'est plus immobile; il peut se déplacer et il décrit une ligne trajectoire. Retranchons encore une condition, le point, à partir de la position qu'il occupe, peut se déplacer dans une infinité de directions ; toutes les lignes trajectoires ainsi décrites appartiennent à une surface que j'appelle la sur/ace trajectoire du point (*).

Cherchons maintenant combien il faut de conditions pour assurer l'immobilité de tous les points d'une droite. Le point a d'une droite D étant immobile, le point b de cette droite ne peut se déplacer que sur une sphère dont le centre est au point a. Tandis qu'il faut trois conditions pour assurer l'immobilité du point a, il

(*) Voir mon Étude sur le déplacement d'une Jigure de forme invariable {Recueil des Mémoires des Savants étrangers, t. XX, et Journal de V École Polytechnique, XLIïP Cahier).

n'en faut plus que deux pour assurer rimmobililé du point 6, puisque ce point est déjà assujetti à une condition, celle de se trouver sur une sphère déterminée. En ajoutant le nombre trois, qui indique les conditions relatives au point a, au nombre deujc, qui indi<)ue les conditions relatives au point 6, on trouve quV/ faut cinq conditions pour assurer l'immobilité du segment ab et, par suite, de tous les points de la droite!}.

En retranchant une condition, on voit que quatre conditions permettent aux points d'une droite de se déplacer; ces points décrispent des lignes trajectoires»

En relranchant encore une condition, on voit que trois conditions permettent aux points de la droite de se déplacer; ces points engendrent des sur/aces trajectoires.

Ce que nous venons de dire est relatif ae/^r points de la droite D; mais, si nous ne nous occupons pas des points de la droite D, si nous prenons simplement cette droite comme figure géométrique, il faut une condition de moins pour assurer son immobilité que pour assurer rimmobilité de chacun de ses points; car, la droite D occupant une certaine position, on peut la faire glisser sur ellemême sans modifier cette position, les points seuls changeant de place. Il ne faut donc que quatre conditions pour assurer l'immobilité d'une droite indépendamment de ses points; c'est un résultat que Ton connaît, puisqu'on a vu, en Géométrie analytique, qu'il n'entre que quatre paramètres dans les équations d'une droite. Retranchant une condition, on trouve que trois conditions permettent à la droite de se déplacer; elle engendre alors une sur/ace réglée.

Reprenons la droite D et les points de cette droite; imaginous un plan passant par D. Les points de la droite D étant immobiles, le plan ne peut que tourner de D; pour assurer son immobilité, il faut ajouter une condition à celles qui assurent l'immobilité des points de D, et l'on trouve ainsi qu'il faut sir conditions pour assurer l'immobilité d'un plan; or, comme l'immobilité d'un plan d'une figure de grandeur invariable entraîne celle de la figure tout entière, on conclut qu'il faut six conditions pour assurer l'immobilité d'une figure dans Cespace. Ce nombre sixy on le retrouve lorsqu'on cherche les équations d'équilibre d'un corps solide : il y a six équations d'équilibre.

GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. ^45

Retranchant une condition, on voit que cinq conditions permettent à une figure de l'espace de se déplacer; les points décrii'ent alors des lignes trajectoires. Une condition de moins, et les points de la figure se déplacent sur des surfaces. Ainsi, quatre conditions permettent à une figure de l^ espace de se déplacer d'une infinité de manières à partir de la position qu'elle occupe; les points décrivent alors leurs surjaces trajectoires.

Indépendamment des questions relatives au déplacement, ce que nous venons de dire peut être utile lorsque l'on veut chercher le nombre des conditions qu'il faut donner pour déterminer une figure dans l'espace, connaissant le nombre des paramètres qui sudGsent pour déterminer sa forme. 11 faut, par exemple, connaître les trois axes d'un ellipsoïde pour avoir la forme de cette surface. En ajoutant à ce nombre trois le nombre six relatif à la position, on retrouve bien qu'il faut new/ conditions pour déterminer un ellipsoïde de forme et de position.

Quant aux déplacements, les nombres que nous venons de déterminer permettent de savoir si le lieu d'un point mobile est une ligne ou une surface.

Si, par exemple, un ellipsoïde de grandeur invariable est assujetti à rester tangent à cinq ellipsoïdes, il est alors assujetti à cinq conditions, et, d'après ce que nous venons de dire, on peut le déplacer; chacun des points invariablement liés à cet ellipsoïde décrit alors une ligne trajectoire.

Si les quatre sommets d'un tétraèdre de grandeur invariable sont assujettis à rester sur quatre surfaces données, un point quelconque, invariablement lié au tétraèdre, et entraîné pendant le déplacement de ce tétraèdre, engendre une surface, puisque nous ne donnons que quatre conditions pour définir le déplacement de la figure.

Déplacement infiniment petit d'une figure plane dans Tespace ( ' ). — Commençons par le déplacement infiniment petit d'une figure plane.

(') C'est à Chasles que Ton doit les fondements de la théorie que je vais exposer ( Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, p. i^ao; i843). Voir aussi mon Étude sur le déplacement {loc. cit,).

Le plan (P) {Jig* 1 48) contient une figure. Après un déplacement infiniment petit, il vient en (Pi), et la figure qu^il contient prend sur ce plan (P|) une certaine position.

Faisons tourner le plan (P|) autour de la droite d'intersection C des plans (P) et (Pi), la figure qu'il contient prend sur (P) une nouvelle position. Nous pouvons amener cette figure à coïncider avec la première position qu'elle occupait d'abord sur(P) en la faisant tourner autour d'un centre instantané/. On voit ainsi qu^on peut décomposer le mouvement de la figure plane en deuiL rotations, l'une autour d'une droite perpendiculaire à (P) menée du

Fig. i48.

point/ : un point a de cette figure vient alors en //; l'autre autour de la droite C, intersection des plans (P) et (Pi) : le pointo'vîcni maintenant prendre la position a^ que doit avoir le point a sur(P,).

Le plan a, aa! est perpendiculaire au plan(P), et, comme a/est normale à la trajectoire aa\ on voit que a/ est aussi normale à la trajectoire aa|. On peut dire que a/ est la trace sur le plan (P) du plan mené par le point a normalement à la trajectoire aat de ce point, et, comme le point a est arbitraire sur le plan (P), on peut dire que :

Les plans normaux aux trajectoires de tous les points du plan {V) passent par le point f.

Le point /reçoit, pour celte raison, le nom Ae foyer Am plan (P). On voit qu'il jouit de la propriété d'être le seul point du plan (P) dont la trajectoire soit normale à ce plan (P), puisque son déplacement est une rotation infiniment petite autour de la droite C seulement (*).

( * ) Lorsqu'aux plans d'une figure considérée comme mobile on fait correspondre les foyers de ces plans et qu'aux points de la figure on fait correspoadre les

GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. M?

Quand un plan se déplace d^une façon continue, dans chacune de ses positions il a, en général, un nouveau foyer; la courbe qui réunit tous ces points n^est pas une trajectoire orthogonale du plan mobile. Chacun des foyers jouit seulement de celte propriété : si on le considère comme marqué sur le plan mobile, son déplacement infiniment petit est normal à ce plan.

La droite C, intersection de (P) et de (P|), porte le nom de caractéristique; c'est, en effet, la droite de contact du plan (P) et de la surface développable que ce plan enveloppe pendant son déplacement continu, puisque cette droite est l'intersection du plan (P) avec ce plan dans sa position infiniment voisine. Les points de cette droite jouissent de la propriété de se déplacer sur le plan (P) lui-même pour un déplacement infiniment petit de ce plan (P), puisqu'ils tournent seulement autour de la perpendiculaire à (P) en/ : leurs rotations autour de la droite C ne changeant pas leurs positions.

Si une droite D du plan (P) est entraînée pendant le déplacement de ce plan, elle engendre une surface réglée (D); la perpendiculaire fn abaissée du foyer f du plan (P) sur la droite D est normale à la surface réglée (D), car la droite //i est perpendiculaire à D, et, en outre, elle est normale à la trajectoire décrite par le point n\ elle est donc normale à deux lignes tracées sur la surface (D) à partir du point n; donc elle est normale à cette surface.

La réciproque de cette propriété est évidemment vraie.

Déplacement d'une droite. — Prenons la droite d'intersection D de deux plans (P) et (P'). Le plan normal à la trajectoire du point a de cette droite passe par le foyer /du plan (P); il passe aussi par le foyer/' du plan (P'); il contient donc la droite//. Cela est vrai pour un point quelconque de D ; on voit donc que :

Les plans normaux aux trajectoires des points d'une droite se coupent suivant une même droite.

plans normaux aux trajectoires de ces points, on obtient un mode de constt action de figures corrélatives dont M. L. Gvuiona a fait une élégante application dans son Mémoire Le figure reciproche nella Statica grafica, publié d'abord à Milan, en 1872, et depuis traduit en français par M. le capitaine Bossdt ( Gauthier-Villars> i885).

Nous sommes déjà arrivés à cette propriété (p. i6o) et nous avons vu, en outre, que cette droite est l'axe instantané de rotation à Taide duquel on obtient le déplacement infiniment petit de la droite D.

La connaissance des trajectoires de deux points d'une droite suffit pour déterminer cet axe de rotation. Si le point a décrit la courbe (a), si le point b décrit la courbe (6), en menant par les points a et 6 des plans respectivement normaux aux trajectoires de ces deux points et prenant leur droite d'intersection, on a Taxe A autour duquel il faut faire tourner le segment ab pour faire décrire à chacun des points a et è les éléments des courbes (a) et (6).

Si le segment aè, pour une de ses positions, est normal à la trajectoire du point a, le plan normal en a à cette trajectoire contient le segment ab\ il coupe alors le plan normal en 6 à la trajectoire (è) suivant une droite A qui passe par le point 6. Le déplacement de ab est donc, dans ce cas, une rotation infiniment petite autour de A, qui fait décrire aux points de la droite ah des éléments dans un même plan, à l'exception du point 6, qui reste dans la même position. Cela veut dire que, pour un déplacement infiniment petit du premier ordre du point a, le déplacement du point b est infiniment petit d'ordre supérieur au premier.

Si la droite ab^ dans l'une de ses positions, est normale en a et 6 aux trajectoires de ces points et si les tangentes en a et 6 à ces trajectoires sont dans le même plan, les plans normaux en a et i sont confondus ; la droite A est une certaine droite de ce plan normal à la fois aux trajectoires des points a et è, et le déplacement autour de cette droite est une rotation qui fait décrire aux points de ab des éléments normaux à ab et silués dans le même plan.

Enfin, si le segment ab^ dans l'une de ses positions, est normal aux trajectoires des points a et 6 et si les tangentes en ces points à ces trajectoires ne sont pas dans le même plan, la droite A est confondue avec aè, et le déplacement de ce segment ab ne peut plus être obtenu par une rotation. Les points de ce segment décrivent des éléments normaux à ab\ car, si l'un d'eux, m, ne décrivait pas un élément normal à ab^ nous nous trouverions dans le premier cas examiné et nous aurions un axe de rotation passant par ce point m. En vertu de cet axe de rotation, tous les points du

GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. 249

segment ab décriraient des éléments normaux à ab dans un même plan; or, par hypothèse, les éléments décrits parles points a et b ne sont pas dans un même plan^ on ne peut donc pas admettre que le point m ne décrive pas un élément normal à ab. On voit alors que le segment ab est tel qiCil est normal aux trajectoires de tous ses points, et, d'après tout ce que nous venons de dire, on peut conclure que :

Lorsqu'une droite se déplace normalement à la trajectoire dhin de ses points, elle est, en général, normale aux trajectoires de tous ses points.

sïïppl£ment a la dix-septiëme leçon.

Courbes gauches et surfaces déyeloppables. — L'enveloppe des plans normaux à une courbe gauche C est une surface développable que Monge (*) a nommée sur/ace polaire de C. Les génératrices de cette surface polaire sont les axes de courbure de C. L'axe de courbure deC, relatif au point a de cette courbe, touche Tarête de rebroussement de la surface polaire en un point qui est le centre d'une sphère qui a, avec C, quatre p )ints infiniment voisins confondus en a, comme il est facile de le voir en prenant d'abord quatre points de C à distances finies les uns des autres. Cette sphère est appelée sphère osculatrice deC.

Le plan mené par la tangente en a à C, perpendiculairement au plan osculateur de cette courbe en ce point, est appelé plan rectifiant (*) de C.

L'enveloppe des plans rectifiants de C est la surface rectifiante de celte courbe. Les génératrices de cette surface développable sont les droites rectifiantes de C. Après le. développement de la surface reclifianle de C, cette courbe esl transformée suivant une droite.

Relativement à la surface développable formée par les tangentes à C, les plans rectifiants de celte courbe sont des plans normaux menés par les génératrices de celle surface. La droite rectifiante est Tinterseclion de deux de ces plans normaux infiniment voisins; aussi je

(») RecueU des Savants étrangers, t. X, p. 5ii; 1875.

(■) LiifcaET, Mémoire sur les courbes à double courbure, môme Recaeil, l. I, i8o5. Mémoires sur les développoides, même Recueil, t. II, 181 1.

ll3o SECONDE PABTIE. -- DIX-SEPTIEME LEÇON.

donne à celte droite le nom A' axe de courbure de U surface développable.

Les axes de courbure de cette surface développable sont aussi le> axes de courbure des trajectoires orthogonales des génératrices d« cette surface, ce qui fait que les points de Farête de rebroussement de la surface rectifiante de C sont les centres des sphères osculatrices de ces trajectoires.

Théorème relatif i rintersection de deux anifaces qui se conpent tou le même angle. — Soient {Jig> i47) deux surfaces (M) et (N) qui se

Fig. 149.

coupent suivant la courbe (a) et toujours sous le même angle aux différents points de cette courbe.

Prenons un arc infiniment petit aa^ sur (a), et menons, à partir Atn et eii, les normales aux surfaces (M) et (N).

Les normales issues de a sont am et an\ celles qui sont issues de a, sont ai/nj et ai/ii.

On a Tangle mariy qui est égal à Tangle m^a^n^. On peut amener ces angles en coïncidence au moyen de deux rotations : Tune, qui amène en coïncidence les plans de ces angles, a lieu autour de la caractéristique du plan man\ l'autre a lieu autour dVne perpendiculaire à ce plan issue de son foyer.

La caractéristique du plan man, qui reste normal à {a) pendant son déplacement, est Taxe de courbure C de cette courbe. La perpendiculaire au plan man issue de son foyer est tangente en a à (a).

En tournant autour de C, a vient en a^ et Tangle man vient en main\ puis cet angle tourne autour de ai et vient coïncider avec Tangle m^a^n^.

Il résulte de là que Tangle m^aim est égal à Fangle /i|a,/i, et, comme aa^ est normal au plan de Tangle mobile, ces angles mesurent les angles des normales aj/w,, a,/i, avec les plans maax et /loa^.

Ainsi, lorsque a décrit aaiy la normale am ^ (M) vient en ai/to

GÉOUÉTBIE CINÉMATIQUE. 25l

gui fait avec le plan maax, normal à (M), un angle (*) égal à l'angle que a^n^ fait avec le plan naa^ qui est normal à (N).

Il est important de remarquer que, tandis que aimi est extérieur au dièdre dont les faces sont maa^, naa^y la normale a^n^ est à Tintérieur de ce dièdre. Si a^m^ avait été à l'intérieur, «i/i, aurait été à Textérieur.

(») Angle de torsion géodésique, dont la considération est due à M. J. Rertrano {Journal de Mathématiques, i" série, t. IX, p. i33; i844).

l52 SECONDE PARTIE. — DIX-HUITIÈME LEÇON.