LEÇON D'OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE

(application DE GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE).

Variation de longueur d'un segment de droite mobile. — Théorème de Malos et de Dupin. — Construction de la normale à la surface podaire. — Surface de l'onde. — Points singuliers. — Plans tangents singuliers.

Supplément. — Construction de la normale à la surface podaire. — Surface de l'onde : autres définitions. — Détermination de la normale à la surface de l'onde. — Noms des auteurs qui ont traité de la surface de Fonde.

Nous allons consacrer cette Leçon à des applications des propriétés déjà démontrées relativement au déplacement dans l'espace d'une figure de forme invariable. Ces applications ont un double objet : d'abord, elles font bien comprendre les propriétés relatives au déplacement des figures; ensuite, elles donnent des résultats utiles en Optique.

Variation de longueur d'un segment de droite mobile. — Nous avons vu que, lorsqu'une droite se déplace sans rester dans le même plan, si elle est normale à la trajectoire d'un de ses points, elle est normale aux trajectoires de ses autres points. Il résulte de cette propriété le moyen de déterminer une expression de la variation de longueur d'un segment mobile de grandeur variable.

Fi g. i5o.

«if-a

Le segment ab {fig- i5o) devient a^ b\ : quelle est la variation de longueur de aè? Menons à partir des points a et 6 les trajectoires orthogonales des droites aô, ai b^ ; on peut confondre les

LEÇON D*OPTIQUB 6É0UÉTB1QLE. 'l53

éléments de ces trajectoires avec les perpendiculaires abaissées des points a et b sur a^bt. On obtient ainsi, aux pieds de ces perpendiculaires, les points a et p, et, d'après le théorème que nous venons de rappeler, ap est égal à ab. La variation de longueur du segment est donc la somme des segments ««<, ^64, et l'on peut dire que la variation de longueur dUin segment de droite est égale à la somme algébrique des projections, sur la direction de ce segment, des chemins parcourus par ses extrémités ( ' ).

Si la variation de longueur du segment est réduite à la projection du chemin parcouru par l'une de ses extrémités seulement, Fautre extrémité se déplace normalement au segment mobile. C'est ce cas particulier dont nous allons faire usage pour démontrer la généralisation faite par Dupin (2) d'un théorème dû à Malus (') :

Théorème de Mains et de Dnpin. — Des rayons lumineux sortent normalement d'une surface; ils rencontrent une surface et sont réfractés de façon qu'un rayon incident et le rayon réfracté correspondant soient dans un même plan normal à cette surface et qu'entre le sinus de l'angle d'incidence et le sinus de l'angle de réfraction il y ait un rapport constant : après la réfraction^ tous ces rayons sont encore normaux à une surface.

ab {fig. i5i) est un rayon lumineux qui est normal à une surface (A); ce rayon rencontre en b une surface (B); après la réfraction, il est dirigé suivant bl'j les droites ba, bl font avec la normale au point 6 à la surface (B) des angles i et r, tels que

sin * __ >

sinr "" ' X étant une constante.

Nous allons démontrer que les rayons, tels que bl, sont normaux à une même surface. Menons au point a le plan tangent à la sur-

(*) A roccasioD de ce théorème, voir Gilbert, Note sur quelques propriétés des lignes tracées sur une surface quelconque {Bulletin de r Académie royale de Belgique, 7* série, t. IX, n" l).

(") Applications de Géométrie et de Mécanique, quatrième Mémoire.

(') Premier Mémoire sur V Optique {Journal de l'École Polytechnique y \IV Cahier).

SECONDE PABTIE. — DIX-HVITlÂHE LEÇON.

face (A), au point b le plan tangent à la surface (B). Ces deux plans se coupent suivant une droite T, qui est alors perpendiculaire au plan du rayon incident, du rayon réfracté et de la normale à la surface (B). Par cette droite T menons un plan perpendiculaire tu rayon réfracté bl\ il rencontre ce rayon au point c. Les trois plans, qui se coupent suivant la droite T, étant respectivemeal perpendiculaires au rayon incident, au rayon réfracté et à la noi^ maie à (B), comprennent entre eux des angles égaux à i et r ; et,

Fig. i5i.

comme les sinus des angles compris par ces plans sont entre eux comme t- > on voit que

Si le rayon lumineux issu de la surface (A) part d'un point infiniment voisin du point a, il rencontre la surface (B) en un point b% infiniment voisin de b. Joignons le point b au point 6| ; cette droite coupe T au point /. Joignons le point t aux points c et a; les droites /c, ta sont respectivement perpendiculaires au rayon réfracté et au rayon incident. En abaissant du point bi une perpendiculaire b\p sur ab et une perpendiculaire b^ q sur bCy on a alors des droites respectivement parallèles à ta et te. Comme le rayoD lumineux ab^ quand on le déplace de façon à amener le pointeau point 64, est tel que le point a décrive sur la surface (A) une trajectoire normale à ab^ la variation de longueur de ce rayon est simplement bp. Nous allons faire voir qu'en même temps la variation

LEÇON D*OPTIQUE GBOMBTBIQUE. a55

de longueur de bc n'est autre chose que bq, et alors le point c luimême se déplace sur une surface tangente en c au plan mené par la droite T perpendiculairement au rayon réfracté. De la relation (i) on tire

(2) dba=i\dbCf

c'esl^à-dire que la variation de longueur de ba est à la variation de longueur de bc dans le rapport constant \,

On a

bp ba ^.

b^-b^-^' d'où

bp = "kbg.

Mais bp = dba'j on a alors

dba = Xbq.

En rapprochant cette relation de la relation (2), on trouve que bq est la variation de 6c, et le point c se déplace alors normalement à bc. Gomme cela est vrai quelle que soit la direction de bb^^ on conclut que le rayon réfracté est normal à une surface tangente en € au plan (T, c) (*).

{* ) Montrons que, pour arriver au théorème de Dupin, on doit avoir la loi des sinus. Soient ab un rayon incident et cb la direction du rayon réfracté; nous supposons que le plan de ces rayons est normal en 6 à (B), que ces rayons sont respectiTement normaux aux surfaces (A), (G), et que cela est constamment ▼rai.

Prenons le rayon infiniment voisin de ab qui rencontre (B) au point b^, projetons b^ en p sur ab. Le segment pb est la variation de longueur de ab^ lorsque b vient en b^. On a

pb ou d.ab __ b^b

de même

Oo a donc d'ob, en intégrant, Par suite

[Voir Mémoire sur la théorie des surfaces, par M. Bbrteând {Journal de Liouville f i* série, t. IX).]

ab

d.cb

cb

= ib'

d.ab ab

d.cb = cb

cb ab'^

const.

sini sinr

= const.

SECONDE PARTIE