DIX-HUITIEME LEÇON

Le théorème que nous venons de démontrer s'applique lorsqu'au lieu de réfraction on parle de réflexion, et lorsqu'au lieu d'une surface d'où partent normalement des rayons lumineux on a simplement un point lumineux.

Construction de la normale k la surface podaire. — Soient a {Jig. i j.x le point lumineux, ab un rayon lumineux, hn la normale à la surface réfléchissante. Prenons comme plan de la figure le plan ahn\ le rayon réfléchi est alors dans le plan de la figure, et il faita\tt bn un angle égal à abn. La droite T de la figure précédente e5l maintenant projetée au point /, intersection de la tangente en fc à (B) et de la perpendiculaire menée par le point a au rayon ab. Le

Fig. i5a.

plan mené, par la droite projetée en /, perpendiculairement au rayon réfléchi est projeté suivant la perpendiculaire te abaissée du point t sur le rayon réfléchi. D'après ce que nous venons de démontrer, le lieu des points, tels que c, est une surface (C) qui a pour normale la droite cb.

Comme l'angle d'incidence et l'angle de réflexion sont é^uj entre eux, la droite ac est perpendiculaire sur bt^ et le point/» où elle rencontre cette droite est le milieu du segment ac. Le lieu \f\ des points, tels que />, c'est-à-dire le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du point fixe a sur les plans tangents à la surface (B) est alors une surface homothétique à la surface (C). On a donc la normale en /> à la surface [/?], en menant une parallèle à cfe.

La surface [/?] est ce que l'on appelle la surface podaire de (B) par rapport au point a. On voit que, pour construire en/? h

LEÇON D*OPTIQVE GÉOMÉTRIQUE. iS'j

normale à la surface podaire, on doit mener une droite qui rencontre ab et qui fasse avec ap le même angle que ai (*).

Cette dernière construction va nous être utile pour Tétude d'une surface que l'on emploie en Optique : la sur/ace de l'onde lumineuse.

Surface de Tonde. — Prenons comme première définition de celte surface celle que Ton rencontre dans la théorie de la lumière.

On donne un ellipsoïde dont le centre est en o {fig- i53); on joint le point o à un point m de cet ellipsoïde. Dans le plan mené par om et par la normale en m à rellipsoïde (plan que nous prenons

Fig. i53.

In I ,

' «A. JX J'^ J""

pour plan de la figure), on élève une perpendiculaire kom, et Ton

porte sur celte droite une longueur op = — • Par le point p on

mène un plan perpendiculaire d op : ce plan est tangent à la surface de l'onde.

Menons par om un plan perpendiculaire au plan omn ; il coupe le plan tangent en m à l'ellipsoïde suivant une droite tangente à la section qu'il détermine dans Tellipsoïde et qui est perpendiculaire à om. On voit ainsi que le point m est un sommet de la section faite dans F ellipsoïde par le plan diamétral mené par om perpendiculairement au plan de la figure; om est l'un des demi-axes de cette section, et la longueur op est inversement proportionnelle à la longueur de cet axe. On peut dire, d'après cela, que la sur/ace

( ' ) Voir le Supplément à cette Leçon.

258 SECONDE PARTIE. — Dl X-H UITIÉIIE LEÇON.

de l'onde est la surface dont les plans tangents sont menés parallèlement aux plans diamétraux d\in ellipsoïde et à des distances de ces plans im^ersement proportionnelles aux axes des sections faites dans V ellipsoïde par ces plans diamétraux.

Proposons-nous de construire le point où le plan tangent à h surface de l'onde que nous venons de mener par le poinl p louche celle surface. Puisque ce plan tangent à la surface de Ponde a élc mené perpendiculairement à op^ le point p est le pied de la per- |)endiculaire abaissée du point o sur ce plan, et les points lels qut p appartiennent à la surface podaire [/?] de la surface de l'onde relative au point o.

Si nous savions construire la normale à cette surface podaire [/>J, nous aurions le point de contact demandé en menant du point o une droite rencontrant la normale à [/?] et faisant avec op un angle égal à Pangle que celte normale fait avec cette droite.

Cherchons la normale à la surface podaire [/?]. Portons sur op une longueur onii égale à om\ au point m de Pellipsoïde correspond ainsi un point m<, et Ton peut dire qu'à Pellipsoïde correspond une surface [/?2|] lieu des points tels que /?i|.

On a

op X om = K*, et aussi alors

op X onii = K*.

La surface podaire et la surface \niy ], ayant leurs points corresj)ondants liés entre eux par cette dernière relation (* ), jouissent de cette propriété : la sphère tangente enpà [/?] et qui contient m^ est tangente en ce point à la surface [/^«i]. Mais les normales en m| et en p à celte sphère sont deux droites qui se rencontrenl et qui sont également inclinées sur op\ rapprochant alors ce résidlal de ce qui a été dit précédemment, on voit que la normale au point /?i, à la surface [^i] est parallèle à la droite que nous nous proposons de trouver et qui rencontre le plan tangent à h surface de Tonde au point de contact qu'il s'agit de construire.

Le problème est donc ramené à la construction de la normale en nix à la surface [/7i|].

(') La surface [mj est la transformée de [p] par rayons vecleiii's réciproque». Voir lu Noie au bas de la page qiq.

LEÇON , d'optique GÉOHÉTaïQUE. ^5g

Joignons le point m^ au point m. Le triangle monii est un Iriangle rectangle isoscèle de grandeur variable. Pour construire la normale à la surface sur laquelle reste le sommet /?i< , nous allons profiter des éléments de grandeur invariable qui existent dans ce triangle. Prenons Tangle omnit de grandeur invariable; cherchons le foyer du plan de cet angle que Ton déplace de façon que, m restant sur Tellipsoïde, ce plan contienne toujours la normale en ce point à cette surface; en outre, le côté om passe constamment par le centre o. Quand le point m se déplace sur l'ellipsoïde dans une direction arbitraire, le foyer de ce plan est sur la normale à la trajectoire du point m; donc il est un point de la normale mn à l'ellipsoïde . Comme le côté om passe toujours par le point o, le point de cette droite qui, après le déplacement infiniment petit, vient au point o, décrit un élément dans la direction même de om; la normale, dans le plan omn, à la trajectoire de ce point est alors la perpendiculaire élevée du point o à la droite om. Cette droite rencontre mn au point/, qui est le foyer cherché.

En appliquant une propriété démontrée dans la Leçon précédente, nous n'avons qu'à abaisser du point / une perpendiculaire sur le côté mmt pour avoir le point q où la surface engendrée par mmi est normale au plan omm^.

Prenons maintenant l'angle om^m de grandeur invariable. Le plan de cet angle coïncide toujours avec le plan du premier angle omm^ \ mais ces deux angles ne sont pas soumis au même déplacement, puisque le triangle ommx est variable. Cherchons le foyer relatif au déplacement du plan de l'angle omi m. Le côté om^ passant par le point o, le foyer cherché se trouve sur la perpendiculaire élevée au point o à la droite om\ , c'est-à-dire sur mo ou sur son prolongement. Ce foyer se trouve aussi sur la normale à la surface engendrée par m^m^ menée du point q où cette surface est normale au plan mobile. Le foyer se trouve donc au point /i, à la rencontre de Jq et de mo. La droite f^ m y est alors la normale à la trajectoire du point m<, et, comme le point /i ne dépend pas de la direction du chemin suivi par /n, la droite /i mi est normale à la trajectoire du point mx quelle que soit cette trajectoire; donc cette droite est normale à la surface [//«i], sur laquelle se déplace le point /W|.

Dans le iriangle /i m /ni, l'angle m^om est droit, l'angle /i y m

a6o SECONDE PARTIE. — DIX-HUITIEME LEÇON.

est droit; le point/ est donc le point de rencontre des hauteurs de ce triangle, et la droite /< rrit est perpendiculaire sur mn. On ^oit ainsi que, pour avoir la normale à la surface [/Wi ], il suffit d'abaisser du point m 4 une perpendiculaire sur la normale mn à Tellipsoïde. En se reportant à ce que nous avons déjà dit, comme il faut mener du point o une parallèle à cette normale pour avoir le point de contact du plan tangent à la surface de Tonde, on voit qu'/7 su/fil d'abaisser du point o une perpendiculaire sur la normale mn et que le point r où cette perpendiculaire rencontre le plan tangent à la surface de l'onde est le point de contact de Cf plan.

Du point o abaissons la perpendiculaire ot sur le plan tangent a Tellipsoïde. Les deux triangles opr^ otm sont semblables; on a

ot __ op ^ ont ~~ or' d'où

ot x or = op X ont = K*.

Puisque o^X or est un produit constant, nous tirons de là une deuxième définition de la surface de Tonde en faisant correspondre le point r au plan tangent mt de l'ellipsoïde. On peut dire qu'o/i obtient le point r de la surface de l'onde en menant du point o une parallèle à la projection de om sur le plan tangent en m à l'ellipsoïde et en portant sur cette droite une longueur or inversement proportionnelle à la distance du point o à ce plan tangent.

On a ainsi une définition de la surface de Tonde qui donne le< points de celte surface correspondants au plan tangent de Tellipsoïde. tandis que la première définition faisait correspondre les plans tangents de la surface de Tonde à des points de Tellipsoïde.

En employant ces définitions, il est facile de se rendre compte de la forme de la surface de Tonde. Cette surface a les mêmes plans principaux que Tellipsoïde, et l'on démontre aisément que sur un quelconque de ces plans principaux la trace de la surface de l'onde se compose d'un cercle et d'une conique homothétique à la conique trace de l'ellipsoïde sur ce plan principal. Dans le plan principal perpendiculaire à Taxe moyen de Tellipsoïde, la circonférence cl la conique, traces de la surface de Tonde, se rencontrent en des points réels.