LEÇON D OPTIQUE GEOMETRIQUE

Soient ad {fi g- i54) la conique et 66' la circonférence de cercle sur le plan des xz. Sur le plan des xy on a une circonférence de cercle qui passe par le point a et dont le rayon est oa* Sur le plan des zy la circonférence de cercle a pour rayon od. Sur le plan des ûcy la conique a pour demi-axes ob' et oc^ et sur le plan des yz elle a pour axes ob et oa',

La surface de l'onde se compose de deux nappes : l'une, exté-

Fig. 154.

rieure, qui a pour traces les arcs ga^ gb, aa\ ba'\ l'autre, intérieure, qui a pour traces les arcs gV^ gc\ b' c^ ce'*

Points singuliers. — Aux points tels que g^ la surface de Tonde a une infinité de plans tangents dont l'enveloppe est une surface conique. C'est pourquoi le point g est appelé point conique. Nous allons montrer qu'en un point conique de la surface de l'onde l'enveloppe des plans tangents est une surface conique du second degré.

Prenons {fig. i55) l'ellipsoïde et l'un des cylindres de révolulion qu'on peut circonscrire à cette surface. Employons la deuxième définition de la surface de l'onde, celle qui détermine par points cette surface en faisant correspondre ses points aux plans tangents de l'ellipsoïde. Puisque les distances du point o aux plans tangents de l'ellipsoïde, qui sont des plans tangents à ce cylindre de révolution, sont égales, les distances du point o aux points de la surface de Tonde qui correspondent à tous ces plans tangents sont égales. Ainsi, à tous ces plans tangents correspondent sur la sur-

face de Tonde les deux seuls points g, g' qu'on obtient en menant du point o une parallèle aux génératrices du cylindre et en portant à partir du point o une longueur og ou og égale à K^ divisé parla distance du point o aux plans tangents du cylindre circonscrit.

Le point g ainsi déterminé est un point conique. Construisons le plan tangent à la surface de l'onde en g qui correspond au plan tangent en m. Menons un plan parallèle au plan de la courbe de contact E de l'ellipsoïde et du cylindre circonscrit. La trace du

plan gom sur ce plan est la droite sm! parallèle à om. D'après ce qui précède, le plan tangent au point ^ à la surface de Tonde est parallèle au plan mené par sm! perpendiculairement à in'os^ ou encore, le plan tangent à la surface de l'onde est perpendiculaire à

perpendiculaire abaissée du point o sur m' s.

Lorsque m varie sur E, les plans tangents en ^ à la surface de 'onde sont toujours respectivement perpendiculaires aux perpendiculaires abaissées du point o sur les droites, qui partent du point s et sont tracées sur le plan parallèle au plan de E. L'ensemble de ces perpendiculaires forme un cône du second degré, et, comme ce cône est supplémentaire du cône formé par les plans tangents à la surface de Tonde, on voit que les plans tangents au point g à la sur/ace de l'onde enveloppent une surjace conique du second degré.

Plans tangents singuliers. — Prenons l'ellipsoïde et Tune de ses

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sections circulaires C {Jig* i56). Employons la première définition de la surface de l'onde; à un point m pris sur C correspond un plan (P) parallèle au plan de cette section circulaire, et ce plan est le même quel que soit le point pris sur C. On a donc là un plan (P) qui est tangent à la surface de Tonde en des points qui varient lorsqu'on prend différents points sur la section circulaire de rellipsoïde.

Cherchons le lieu des points de contact de (P) et de la surface

Fig. i56.

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