RACCORDEMENT DES SURFACES RÉGLÉES

nous l'avons démontré, peut être obtenu au moyen d'une rotation infiniment petite autour d'une certaine droite A^ les différents points de D, pendant cetle rotation infiniment petite, décrivent des éléments pour venir se placer sur la génératrice D' infiniment voisine de D. Pour étudier ce qui est relatif aux plans tangents à la surface (D) aux différents points de cette droite, nous n'avons alors qu'à considérer les plans tangents à la surface engendrée par D qui tourne infiniment peu autour de la droite A.

Prenons comme plan de projection un plan parallèle aux droites D et A. Les normales à l'élément de surface engendré par D, qui tourne autour de A, se projettent suivant des perpendiculaires à D, et ces droites rencontrent la droile A. Au point a, la normale est aa'j le point a' étant sur la droite A. Le plan tangent en a est le plan mené par D perpendiculairement à la normale aa\

Lorsque le point a s'éloigne sur la droite D, la normale aa^ tend à devenir parallèle au plan de projection, et, lorsque le point a est à l'infini, le plan tangent en ce point est le plan mené par D perpendiculairement au plan de projection.

Lorsque le point a vient au point c, qui se projette au point de rencontre des projections des deux droites D et A, la normale en c se projette en ce point de rencontre; le plan tangent est alors un plan mené par D parallèlement au plan de projection. Ce plan est perpendiculaire au plan qui touche (D) à l'infini sur D; donc c'est le plan central, et alors le point de contact c est le point central sur la génératrice D.

On voit ainsi que le pied de la perpendiculaire commune à D ^^ A estj sur la droite D, le point central relatif à cette génératrice, et que le plan central est parallèle à A.

Pour deux points également éloignés du point central, on retrouve des plans tangents qui sont également inclinés sur le plan central.

Appelons p la plus courte distance de D et A, 6 l'angle que le plan tangent en a fait avec le plan central ou encore l'angle que la normale aa' fait avec la normale en c. On a

aa = p tangO;

eu désignant par / la distance ac^ on a aussi

aa'=/tang(D, A).

a70 SECONDE PARTIE. — DIX-NEUVIEME LEÇON.

Il résulte de là

tang6 =

tang(D, A)

Comparant cette valeur de tangO à la valeur tangO = t > trouvée

précédemment (p. 23o), on voit que A* est égal à - — ^^^ > c'està-dire que le paramètre de distribution des plans tangents à (D), pour la génératrice D, est égal à la plus courte distance entre D e^ A, divisée par la tangente de l'angle compris entre ces deux droites.

Paraboloîde des normales. — Les normales à (D) aux différents points de la droite D sont perpendiculaires à celte droite et rencontrent A; ces normales sont donc parallèles à un plan perpendiculaire à D et rencontrent les deux droites D et A. Elles appartiennent alors à un paraboloîde hyperbolique, et l'on peut dire : Les normales à une surface réglée, dont les pieds sont les points dUme génératrice de cette surface, appartiennent à un paraboloîde hyperbolique.

On désigne ce paraboloîde sous le nom de paraboloîde des normales.

Les plans directeurs de ce paraboloîde sont, Pun perpendiculaire à D, et l'autre parallèle aux droites D et A. Mais le plan central de la surface gauche pour la génératrice D est parallèle aux droites D et A; par conséquent, pour la génératrice D le paraboloîde des normales à la surface gauche (D) a pour plans directeurs un plan perpendiculaire à D et le plan central relatif à cette génératrice.

Si D est une génératrice d'une surface développable, le paraboloîde des normales se décompose en deux plans. L'un de ces plans est le plan normal à la surface développable mené par D, l'autre est le plan perpendiculaire à D mené par le point où cette droite touche l'arête de rebroussement de la surface développable.

Reprenons la surface gauche (D). Un autre déplacement de D sur(D) se fait autour d'une autre droite A; mais cette nouvelle droite doit toujours conduire au même paraboloîde des normales : donc le lieu des droites telles que A est le paraboloîde des nor-