RACCORDEMENT DES SURFACES REGLEES

maies « (D) pour la génératrice D. Les droites A sont les génératrices de ce paraboloïde qui ne sont pas perpendiculaires à D.

L'axe du paraboloïde des normales est parallèle à l'intersection des plans directeurs; il est alors parallèle à une droite perpendiculaire à D et parallèle au plan de projection. Le plan mené par D perpendiculairement à cette droite contient la normale au point c; donc ce plan est tangent au paraboloïde des normales au point c de là droite D. Nous avons vu que ce point c est le point central relatif à cette génératrice, et comme, d'après ce que nous venons de dire, c'est le point de contact d'un plan perpendiculaire à la direction de l'axe du paraboloïde des normales, nous pouvons ajouter que le point central sur D est le sommet du paraboloïde des normales relatif à cette génératrice.

De la relation / = A* tango on lire, en difierentianl,

dl = r^-, , d OU -=r

cos»6 ^0 cos^ô'

dl est l'accroissement de ca quand le point a se déplace sur D et rf8 est l'angle dont tourne la normale aa] ^ est alors le paramètre de distribution des plans tangents au paraboloïde des normales pour la génératrice de ce paraboloïde, qui est la normale aa\ Si nous désignons par k^ ce paramètre de distribution, on voit

(jUC

Construisons le paramètre A|. Élevons {Jlg* iSj), du point central c, une perpendiculaire à D. Portons sur cette droite une longueur cy égale k k\ la perpendiculaire ^p à ^a rencontre la perpendiculaire a/> à D au point p ; le segment ap est égal à A*|. On a, en effet,

Ya c^ k ^ ~ co^pac' ~ QOfi^cc'a ~ cos*0

Lorsque 6 est nul, c'est-à-dire lorsque l'on considère la génératrice du paraboloïde des normales issue du point c, alors k^ = A",

C) Dans le Supplément de celte Leçon, nous arriverons géométriquement à celte formule.

c'est-à-dire que le paramètre de distribution des plans tangents au parabololde des normales^ pour la génératrice menée normalement à la surface (D) à partir du point central sur D, est égal au paramètre de distribution des plans tangents à la sur^ face (D) pour la génératrice D.

Démontrons directement ce dernier résultat.

Pour la génératrice C du paraboloïde des normales, issue du point c, le plan central est le plan mené par cette droite et par D, et le point central est aussi le point c.

Appelons g le point où C rencontre A. Le plan tangent en g au paraboloïde des normales est le plan (C, A). Ce plan fait avec le plan central (D, C), relatif à C, l'angle (D, A). La distance ^e n'est autre que/?. Le paramètre de distribution A'i pour C, en vertu de

la formule tangO = y , est alors ,.. ,, » qui est éffal à A\ On a

® k lang(D, A) ^ ^

donc /ci = k.

Raccordement des surfaces réglées. — Pour construire le paraboloïde des normales, on doit connaître trois de ses génératrices, c'est-à-dire trois normales à la surface réglée. Cela revient à dire que la connaissance de trois plans tangents à la surface réglée, pour trois points d'une génératrice, entraîne la connaissance de tous les plans tangents de la surface réglée pour cette génératrice, donc : si deux surfaces gauches ont une même génératrice et, pour trois points de cette génératrice commune, les mêmes plans tangents, elles auront les mêmes plans tangents pour tous les points de cette génératrice commune. On dit alors que ces deux surfaces gauches se raccordent le long de cette génératrice.

L'un des plans tangents communs à ces deux surfaces, qui ont une même génératrice, peut les toucher au point qui est à l'infini sur cette droite. Ce plan tangent est parallèle au plan tangent au cône directeur le long de la génératrice correspondant à celle des surfaces gauches. D'après cela, on peut dire : Lorsque deux surfaces gauches ont même cane directeur ou même plan directeur, elles se raccordent si elles ont, en deux points d'une génératrice commune, les mêmes plans tangents.

Reprenons une génératrice D d'une surface réglée (D) et supposons qu'en trois points a, b, e de cette droite on connaisse les

RACCORDEMENT DES SURFACES RÉGLÉES. ajS

plans tangents à la surface réglée. Dans chacun de ces plans et par les points a, 6, e traçons une droite; Thyperboloïde qui a ces trois droites pour directrices est de raccordement avec la surface gauclie, puisqu'il a les mêmes plans tangents que celle surface aux trois poinls a, 6, e. Gomme, par les points a, 6, e, on peut tracer des droites quelconques dans les plans tangents en ces points, on voit que: le long d'' une génératrice d\me surface réglée, on peut construire une infinité dliyperboloî'des de raccordement.

On peut remarquer que chacun de ces hyperboloïdes a son centre dans le plan tangent à (D) au point qui est à Finfîni sur D. Parmi tous ces hyperboloïdes, il j en a une infinité qui sont de révolution : ce sont ceux qui sont engendrés par D qui tourne autour d'une des droites, telles que A, c'est-à-dire autour d'une des génératrices du paraboloïde des normales à (D).

Par une droite donnée arbitrairement on peut faire passer un hyperboloïde de raccordement avec (H) le long de la génératrice D. On prend les traces de la droite donnée sur les points «, 6, e et Ton joint respectivement ces traces à ces trois poinls; on obtient ainsi les directrices de l'hyperboloïde de raccordement qui contient la droite donnée.

Par chacun des points a, 6, e, on peut mener parallèlement à un plan donné des droites sur les plans tangents en ces points; ces trois droitesdéfinissent un paraboloïde qui est de raccordement avec la surface réglée, et, comme le plan, parallèlement auquel on mène des droites par les points a, 6, e, a une direction arbitraire, on voit que, le long dUine génératrice D, on peut construire une infinité de paraboloïdes de raccordement.

Si l'on fait tourner d'un angle droit autour de D l'un quelconque de ces paraboloïdes, on obtient un paraboloïde normal à la surface réglée en chacun des points de D. L'un de ces paraboloïdes normaux est le paraboloïde des normales : c'est celui qui a l'un de ses plans directeurs perpendiculaire à la génératrice D.

Ce que nous venons de dire constitue les propriétés relatives au raccordement des surfaces réglées; c'est, comme on peut le remarquer, une application immédiate de la propriété que nous avons démontrée : que tout déplacement infiniment petit d une droitt* peut s'obtenir par une simple rotation.

Nous allons maintenant reprendre l'étude des propriétés relatives au déplacement d'une figure de forme invariable, et nous continuerons les applications à mesure que nous avancerons dans cette étude.

GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE.

Droites conjuguées. — Prenons une droite D {fig* i58), des plans (P), (P*), (Pa) menés par cette droite et liés entre eux, constituant alors une figure de forme invariable. Nous avons déjà dit que, pour un déplacement infiniment petit de cette figure, le déplacement de la droite D peut s'obtenir par une rotation autour d'une

Fig. i58.

droite A, et que cette droite A contient les foyers de tous les plans menés par la droite D.

Supposons que A soit elle-même liée à la figure mobile. Pour un déplacement de cette figure, cette droite A est entraînée et son déplacement peut lui-même être obtenu au moyen d'une rotation autour d'une certaine droite : cette droite n^est autre que D, comme nous allons le voir.

Le foyer / du plan (P) est, d'après ce que nous savons, un point dont la trajectoire est normale au plan (P), ou, ce qui est exactement la même chose, le plan (P) est normal à la trajectoire

GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. ayS

du point/. De même le plan (Pi) est normal à la trajectoire du point /o et ainsi de suite. Les plans (P), (Pi), (P2) sont donc les plans normaux aux trajectoires des points de la droite A, et ils se coupent suivant la droite D, qui est alors l'axe instantané relatif à A. Ainsi la droite D est l'axe instantané relatif à la droite A. •

Les droites D et A jouissent alors de cette propriété que, pendant le déplacement infiniment petit de la figure, Tune d'elles peut être considérée comme tournant autour de l'autre ; c'est pourquoi l'illustre géomètre, Chasles, les a appelées droites conjuguées (*).

Une rotation infiniment petite de la figure mobile autour de D fait prendre à la droite A sa nouvelle position A| ; une autre rotation de la figure autour de A fait prendre à D la place que cette droite doit avoir. Le déplacement de A|, en vertu de cette dernière rotation, est négligeable, puisque les points de cette droite décrivent des éléments infiniment petits du second ordre. Ces rotations autour de D et de A, qui amènent ces droites dans leurs nouvelles positions, amènent aussi la figure tout entière dans la position que celle-ci doit occuper.

Le déplacement de la figure mobile peut donc être obtenu' au moyen de deux rotations, et, comme D est une droite arbitraire,

(*) Propriétés géométriques du mouvement infiniment petit d'un corps solide libre dans l'espace {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, iH\3). Ce beau Mémoire renferme de nombreuses propriétés des droites conjuguées. CDA8LF.8 avait déjà fait connaître ces propriétés dans un Mémoire intitulé Propriétés nouvelles de l' hyperboloide à une nappe {Journal de Mathématiques de Liouville, 1" série, t. IV; iSSg). Plccker a retrouvé ces propriétés en étudiant rcnsemblc des droites auquel il a donné le nom de complexe linéaire de rayons [On a neiv Géométrie 0/ Space { Philosophical Transactions^ vol. CLV; i865), et la traduction de ce Mémoire {Journal de Mathématiques de Liouville, 2* série, t. XI); iXeue Géométrie des Baumes^ Leipzig, 1868]. Les travaux de Plccker ont été le point de départ de nombreuses recherches sur les complexes et les congruences de droites, dues à MM. Clebscu,Cayley, Reye, Cheli:<i, Zecthes, V. Ki.ei:<, Drach, Voss et I1alphe:<. A l'occasion de communications faites à l'Académie des Sciences par M. Sylvester (i3 avril et i3 mai 1861), Cbasles est revenu sur les propriétés des droites conjuguées dans son travail Sur les six droites qui peuvent être les directions de six forces en équilibre { Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences^ 3 juin 1861). Pour cette dernière question, voir aussi MJiBius (A.-K.), Ueber die Zusammensetzung unendlich klelner Drehungen {Journal de Mathématiques de Crelle, t. XVIII, p. 189; i838).

on a alors ce* résultat : Ze déplacement infiniment petit d^ une figure mobile de grandeur invariable peut être obtenu d*une infinité de manières au moyen de deux rotations.

Pendant le déplacement de la figure, les droites D et A sont telles, que l'une tourne autour de Fautre. Il résulte de là (\\xhine droite G de la figure mobile j qui rencontre D et ùi^ jouit de la propriété d^étre normale aux trajectoires de ses points, car le point a où* G rencontre D, par e^Lcmple, ne fait que tourner autour de A, la rotation autour de D n'ayant pas d'influence sur le déplacement du point a; la trajectoire de ce point est donc normale à la droite G.

Normales aux lignes décrites par les points d'une figure dont le déplacement est assujetti à cinq conditions. — Prenons {fig- 1 09) un point quelconque i de la figure mobile. Menons, du point i, la normale à la trajectoire de ce point qui rencontre D. Cette droite est dans

■ÉX

le plan (P), qui passe par le point i et par la droite D; elle est la trace sur (P) du plan normal à la trajectoire du point i\ elle passe donc par le foyer /du plan (P), c'est-à-dire qu'elle rencontre la droite A conjuguée de D. Comme cela est vrai, quel que soit le point i, on a la propriété suivante :

Pour une position quelconque dhine figure mobile de j or me invariable, les normales aux points entraînés qui s'' appuient sur une droite D rencontrent la droite A, conjuguée de D.

On peut supposer que la droite D est à l'infini et donner cette droite au moyen d'un plan dont elle est la droite à l'infini. Le théorème précédent devient alors celui-ci :

Pour une position quelconque de la figure mobile, parmi les normales aux trajectoires des points entraînés, celles qui sont

GEOMETRIE CINEMATIQUE. 277

parallèles à un même plan rencontrent toutes une même droite, qui est la conjuguée de la droite à l' infini sur ce plan.

Nous verrons plus loin que la direction de celle droite est indépendante de la direction du plan donné.

Ces théorèmes sont relatifs à une figure mobile dont les points décrivent des lignes trajectoires, c'est-à-dire qu'ils concernent une figure mobile dont le déplacement est assujetti à cinq conditions.

Normales anx snrfaces trajectoires des points d'une figure dont les déplacements sont assujettis à quatre conditions. — Prenons maintenant une figure de forme invariable, assujettie simplement à 'quatre conditions (*). Les points de cette figure décrivent alors des surfaces trajectoires. Cherchons la situation relative des normales aux surfaces trajectoires de tous les points de la figure.

Fîg. 160.

Supposons que quatre points de la figure a, i, c, e se déplacent sur quatre surfaces données {fig* 160). On connaît, par exemple, pour une position de la figure mobile, les normales A, B, C, E, menées des points a, 6, c, e aux surfaces sur lesquelles se déplacent

(') Pour le cas où le déplacement de la figure est assujetti à moins de cinq conditions, voir SciioNEMAN:f, Ueber die Construction von Normalen und Normalebenen gewisser krummer Fldchen und Linien {Journal de Borchardt, 90* Cahier) ; SoxoFF, Sur les vitesses virtuelles d'une figure invariable, assujettie à des équations de condition quelconques de forme linéaire {Bulletin de V Académie de Saint-Pétersbourg f t. IV; 187-2); Halphen, Sur le déplacement d'un solide invariable {Bulletin de la Société mathématique de France, t. II, p. 56; 1873); RoDERT Stawell Ball, The theory of screws : a study in the dynamics of a rigid body; Dublin, 1876, et mon Étude sur le déplacement^ etc. {loc. cit.).

ces points. Il y a deux droites D, A réelles ou imaginairesy qui rencontrent ces quatre droites; il est facile de le voir : les trois droites A, B, C déterminent un hyperboloïde ; parmi les génératrices qui rencontrent A, B, C, si Ton prend celles qui passent par les points où cet hyperboloïde est rencontré par E, on a les droites qui s'appuient sur les quatre droites A, B, C, E.

Les droites Det ^ sont conjuguées. — En effet, quel que soit le déplacement de la figure, la droite A est normale à la trajectoire du point a et elle s'appuie sur D-, donc elle doit rencontrer la conjuguée de D. On peut répéter la même chose pour B, C, E, et l'on voit que la conjuguée de D doit rencontrer les quatre droites A, B, C, E; par conséquent, cette conjuguée est la droite A.

Prenons maintenant un point quelconque i de la figure mobile, et menons du point i une droite I qui rencontre D et A. Quel que soit le déplacement, la trajectoire du point i est normale à cette droite, d'après une remarque faite précédemment. Cette droite I, étant normale aux trajectoires qu'on peut faire décrire au point i à partir de sa position, est alors la normale à la surface trajec- K)ire de ce point.

Ainsi, la normale à la surface trajectoire .d'un point quelconque ie la figure est la droite issue de ce point et qui s'appuie sur D et L; on peut dès lors énoncer cette propriété ;

Lorsqu'une figure de forme in^^ariable se déplace de manière que quatre de ses points restent sur quatre surfaces données, pour une position quelconque de cette figure, les normales aux surfaces trajectoires de tous ses points rencontrent deux mêmes droites (*).

Il est important de remarquer que, pendant qu'un point arbitraire de la figure mobile se déplace, à partir de sa position, d'une infinité de manières sur sa surface trajectoire, un point de D ou A ne décrit qu'un même élément de ligne, parce que le déplacement

(») Voir : Scboneman!! {loc. cit.); ce que j'ai publié dans mon Étude sur le déplacement y etc. (loc. cit,); dans le Bulletin de V Association française pour l'avancement des Sciences (Congrès de Lyon, 1878); dans le liecueil des Savants étrangers, t. XXII, et dans le Journal de Mathématiques de M. Besal, 3* série, t. I, p. 57; E. CoLLiGNON, Traité de Mécanique, II* Partie: Statique, p. 216; Geiseb, Journal de Borchardt, 90* Cahier.)

GEOMETRIE CINEMATIQUE. 279

infiniment petit d'un point d'une de ces droites est une simple rotation autour de l'autre.

Dans le cas du déplacement d'une figure plane sur son plan, on a vu que, pour une position de cette figure, les normales aux trajectoires de ses points passent par un même point, centre instantané de rotation; dans le cas de l'espace, au lieu de lignes trajectoires, on a des surfaces trajectoires, et les normales à ces surfaces trajectoires rencontrent les deux mêmes droites; ces deux droites sont les axes instantanés de rotations simultanées à l'aide desquelles on obtient tous les déplacements de la figure mobile (*).

Si l'on prend une droite quelconque G de la figure mobile, les normales aux surfaces trajectoires des points de celte droite partent des points de G et s'appuient sur D et A ; ces normales, rencontrant trois droites, appartiennent à l'hyperboloïde défini par ces trois droites. Ainsi, les normales aux surfaces trajectoires des points d'une droite forment un hyperboloïde.

Parmi les génératrices de cet hyperboloïde, il y en a deux, réelles ou imaginaires, qui sont perpendiculaires à G. Les points/ et /', où ces génératrices rencontrent G, décrivent des surfaces trajectoires tangentes à G, et, pour tous les déplacements infiniment petits de la figure, la droite G, à partir de la position qu*elle occupe, décrit des éléments de surfaces qui sont tangents à ces surfaces trajectoires.