DIX-NEUVIEME LEÇON

elles rencontrent donc la conjuguée de cette droite relative à ce déplacement.

Cela est vrai pour tous les déplacements qu'on peut imprimer à G. On voit donc que le lieu des conjuguées d'une droite, qui /ait partie d* une figure de forme invariable assujettie à quatre conditions, est un hyperboloïde qui contient G et les axes simultanés D, A.

Comme on Ta vu dans cette Leçon, lorsque G se déplace sur une surface réglée, le lieu des conjuguées de cette droite est le paraholoïde des normales à cette surface.

De la droite auxiliaire.— Prenons (yî^'. i6i) une surface réglée (D) et le paraboloïde des normales à cette surface pour la génératrice D,

Fi|(. iGi.

que nous supposons verticale. Projetons ce paraboloïde sur deux plans : Tun perpendiculaire à D en o, l'autre vertical mené par cette droite.

Les normales à (D), issues des points de D et qui sont les génératrices du premier système pour le paraboloïde des normales, se projettent horizontalement suivant des droites passant par o et verticalement suivant des perpendiculaires à D. L'une de ces normales se projette verticalement au point /i, où le plan vertical de projection est tangent à (D). Les génératrices du paraboloïde du second système se projettent verticalement suivant des droites passant toutes par ce point /î. Horizontalement, elles se projettent suivant des droites parallèles à la trace horizontale du plan central de (D), puisque ce plan central est un plan directeur du paraboloïde et qu'il est perpendiculaire au plan horizontal de projection.

Par le point n menons une parallèle à celte trace du plan central; nous obtenons une droite A, qui est à la fois la projection horizontale et la projection verticale d'une génératrice du second système du paraboloïde des normales.

La normale en a à (D) est projetée verticalement suivant la perpendiculaire ^2 à D et horizontalement suivant oa.

GÉOUÉTRIB CINÉMATIQUE. 281

La normale en n est perpendiculaire au plan vertical; la normale en o est confondue avec ox, c'est-à-dire que le plan vertical est tangent en /i à (D) et normal en o à cette surface.

L'angle que le plan tangent en a à (D) fait avec le plan tangent en Oy étant égal à Tangle des normales en ces points, n'est autre que 07001. De même, les plans tangents en a et 6 comprennent entre eux un angle égal à ao^.

Connaissant les plans tangents en c^ a et 6, c'est-à-dire en trois points de D, il est aisé de construire la droite A au moyen de a et p, qu'on détermine facilement.

La droite A étant parallèle à la trace horizontale du plan central, la normale à (D), menée du point central sur D, se projette horizontalement suivant la perpendiculaire o^ abaissée du point o sur A. En abaissant du point y la perpendiculaire yc sur D, on a la projection verticale de cette normale ; par suite, c est le point central.

Dans le triangle co-f, Ton a

oc — CY tangcyo = cy tang/>0Yî d'où

co

tang/70Y

et, comme po^ est l'angle que le plan tangent en o fait avec le plan tangent en c, c'est-à-dire le plan central, on voit que c^ est le paramètre de distribution k des plans tangents à (D) pour la génératriée D.

Puisque A est à la fois la projection horizontale et la projection verticale d'une droite de l'espace, celle-ci est dans le plan bissecteur de l'un des dièdres formés par les plans de projection. Par suite, le point/? est, sur la génératrice op du paraboloïde, le point de contact de ce paraboloïde et d'un plan tangent incliné à 4^** sur le plan vertical de projection. Mais le plan vertical est le plan central relatif à ce paraboloïde pour op, puisque D est perpendiculaire commune à toutes les génératrices du premier système du paraboloïde; donc le point p est sur op, à une dislance du point central o relatif à cette droite, égale au paramètre A, pour celte génératrice.

On voit qu'on obtient op ou k^ en portant, sur la perpendiculaire à D élevée du point central c, cy égal au paramètre k, et en élevant la perpendiculaire y/? à -^o.

C'est la construction même à laquelle nous étions déjà arrivés (p. 271).

Nous disons que A est la droite auxiliaire de (D) pour la génératrice D et relative au point o.

a82 SECONDE PARTIE. — DIX-NEU VIÉHE LEÇON.

Pour un autre point Oi, on obtient la droite auxiliaire en prenant la perpendiculaire élevée du point y à la droite y^i-

Relativement au point central, la droite auxiliaire est parallèle àD.

Le point y est le point fixe que nous avons appelé point représentatif (p. 282) : c'est par ce point que passent toutes les droites auxiliaires pour D ; l'angle sous lequel on voit du point y w'i segment ab de D est égal à l'angle qu^e font entre eux les plans tangents en a et b à (D), théorème déjà trouvé (p. 282) (*).

Des pinceaux de droites (<). — Des droites assujetties à deux conditions forment une congruence. Prenons une droite G et des droites voisines de celle-ci faisant partie d'une congruence. Par un point a de G, menons une surface [a] qui coupe ces droites. Amenons successivement G en coïncidence avec les droites qui lui sont voisines en laissant a sur [a]. Chacun des points de G reste alors sur sa surface trajectoire, et, d'après ce que nous venons de démontrer à la fin de cette Leçon, il y a, sur G, deux points /et/' dont les surfaces trajectoires sont tangentes à G. Sur chaque droite de la congruence, il y a deux points analogues à /et/'. Lorsque la droite G vient coïncider avec Gj, qui lui est infiniment voisine, elle engendre une surface réglée tangente en / à la surface trajectoire de ce point. La ligne qui joint / au point analogue / de Gi est alors tangente à cette surface. Il résulte de là que la surface lieu des points tels que / et /', qu'on appelle surface focale de la congruence, est tangente à G en / et aussi en/' ; on peut dire alors :

(») Relativemeat à la droite auxiliaire, j'ai publié un Mémoire sur les pinceaux de droites, etc. {Journal de Mathématiques de Liouvilld 2* série, t. XVII); dans le môme Recueil, même Volume, une Note intitulée Démonstration géométrique d'une proposition due à M. Bertrand, et un travail Sur la surface gauclie lieu des normales principales de deux courbes; dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences, Nouveau mode de représentation plane de classes de surfaces réglées (séances des 29 octobre, 5 novembre, 19 novembre 1877 et ao mai 1878), Sur un mode de transformation des sur/aces réglées (3 juin 1879), Transformation d'un pinceau de normales (9 juin 1879); Association française pour l'avancement des Sciences (Conprès de Paris, 1878), une Note Sur la surface de l'onde; voir aussi Traité de Géométrie descriptive de M. DE LA GocRNERiE, IIP Partie, p. 4>-

(») Indépendamment des travaux que je viens de citer, j'ai publié relativement aux pinceaux de droites : Sur la surface de l'onde et sur la transformation d'un pinceau (16 juin 1879), Représentation plane relative aux déplacements d'une figure déforme invariable assujettie à quatre conditions {2 février i885), Mémoire d'Optique géométrique (loc. cit.)

GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. a83

Les droites d'une congruence sont tangentes aux nappes de la surface focale (*).

L'élément infinitésimal d'une congruence est un pinceau. Pour définir un pinceau [G], on donne {fig» 164 ) une droite G ou rayon du pinceau, les points / et /' foyers du rayon G, et les nappes (F), (F') de la surface focale que G touche en / et/'. Les plans tangents aux nappes (F), (F') aux foyers/ et/' sont les plans focaux du pinceau [G] (*). Lorsque l'on déplace le rayon G, de manière à l'amener dans une position infiniment voisine, il engendre

Fig. 162.

ri

un élément de surface réglée que j'appelle surface élémentaire du pinceau.

Toutes les surfaces élémentaires du pinceau [G] ont pour plans tangents communs enfelf les plans focaux.

Représentons ces surfaces élémentaires par des droites auxiliaires relatives au foyer/

Toutes ces droites passent par ie point «p situé sur la perpendiculaire /'cp à G et tel que l'angle /'©/est égal à l'angle compris entre les plans focaux.

Projetons/ sur toutes les droites auxiliaires des surfaces élémentaires de [G]. Le lieu de ces projections est une circonférence G qui a /y pour diamètre.

Au moyen de cette circonférence G, on peut déterminer les propriétés du pinceau [G].

Par exemple, puisqu'il suffit de projeter les points de cette circonférence sur G pour avoir les points centraux des surfaces élémentaires du pinceau [GJ, on voit que :

(*) Malus, Journal de l'École Polytechnique, XIV* Cahier. (■) Les expressions de rayon, foyer, sur/ace focale^ sont tirées de l'Optique, où l'on considère des pinceaux de rayons lumineux.

Les points centraux de toutes les surf aces élémentaires d'un pinceau [G] se trouvent sur un segment déterminé de G.

M. Kummer a nommé points limites les extrémités de ce segment (*).

LesT surfaces élémentaires dont les points centraux sont aux points limites ont pour plans centraux des plans que M. Kummer appelle plans principaux du pinceau [G].

Au moyen de la circonférence G, on voit tout de suite que :

Les plans principaux d'un pinceau sont rectangulaires.

De même on voit que :

La distance focale ff est égale à la distance qui sépare les points limites multipliée par le sinus de l'angle que font entre eux les plans focaux.

L'existence de C prouve que :

Si dans un plan passant par un rayon d'un pinceau on porte sur des perpendiculaires à ce rayon élevées des points centraux des surfaces élémentaires et, à partir de ces peints, des longueurs égales aux paramètres de distribution de ces surfaces, les extrémités des longueurs ainsi portées sont sur une circonférence passant par les foyers du rayon et qui coupe ce rayon sous des angles égaux à l'angle que font entre eux les plans focaux .

Pincean de normales. — Les normales à une surface (S) autour d'une normale A forment un pinceau [A] pour lequel les plans focaux sont rectangulaires. Les foyers et les points limites sont, dans ce cas, confondus avec les centres de courbure principaux ^i et ^2- Î-'CS surfaces élémentaires sont des éléments des surfaces que j'appelle nor/wa/Ze,? à (S), et la circonférence précédente est décrite sur YiYj comme diamètre (*).

Au moyen de celte circonférence C, on trouve facilement des propriétés des normalies (^).

( ' ) Théorie générale des systèmes de rayons rectUignes ( Journal de Mathématiques de C relie, t. LVII); \cs Nouvelles Annales de Mathématiques^ t. XI \, W, XXI, contiennent une traduction de ce Mémoire faite par M. I)ewui.f.

(') Voir la Leçon suivante.

(») Pour plus de développement, voir mon Mémoire sur les pinceaux de droites et les normalies {Journal de Mathématiques de Liouville, 2* série, t. XVII); HiBAUCouR, Propriétés relatis^es aux déplacements d'un corps assu-

GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. 285

Méthode des normales dans le cas d'une figure mobile dans l'espace et de grandeur invariable (*). — Les normales au\ surfaces trajectoires décrites par les points d'une figure dont quatre points restent sur quatre surfaces données rencontrent les deux mêmes droites D et A : de là un moyen de construire la normale à la surface trajectoire décrite par un point de la figure mobile quand D et A sont réels.

Fig. i63.

Comment doit-on opérer lorsque ces droites sont imaginaires? — Appelons a, ^, c, e {fig- i63) les points qui décrivent les surfaces données [a], [6], [c], [ej, et A, B, C, E les normales à ces surfaces dont les pieds sont en ces points.

Soit / le point de la figure pour lequel on demande la normale à la surface trajectoire [/] qu'il décrit. Menons la droite ai et désignons par g le point oii elle rencontre riivperboloïde définie par les droites A, B, C. 11 est facile de construire g\ pour cela, on prend la droite suivant laquelle l'hyperboloïde est coupé par le plan (A, ai) : le point où cette droite rencontre ai est le point g. Par ce point passe une génératrice de l'hyperboloïde (A, B, G) de même système que A, B, C; désignons celte droite par G. De la même manière, en prenant les trois droites A, B, E, déterminons une droite 11.

Les trois droites A, G, H déterminent un hyperboloïde, et la génératrice de cette surface, du même système que ces droites, qui passe par le point iy est la normale demandée.

jetti à quatre conditicms {Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, a juin 1870). M. Kidaucocr montre que les droites du corps qui engendrent des pinceaux de normales appartiennent à un complexe du premier degré. (* ) ScHuxEMANN {toc. cit.) et mon Étude sur le déplacement d'une figure de forme invariable.

Car les droites D, A, étant des génératrices des hyperboloïdes (A, B, G) et (A, B, E), sont rencontrées par G et H, et par suite sont des génératrices de Thyperboloïde (A, G, H) : la génératrice de ce dernier hyperboloïde, issue de «', rencontre donc D, A et est la droite demandée.

Cette construction, indépendante de Texistence des droites D, A, répond à la question posée.

Prenons le cas particulier où le point i est à Tinfîni dans la direction d'une perpendiculaire à un plan (P) (Jig- i64).

Tout ce qui précède est applicable. On détermine encore les

Fi g. i6'|.

droites G', H', comme on vient de déterminer G, H, en employant une perpendiculaire à (P) menée de a. L'hyperboloïde (A, G', H'), qui contient déjà la perpendiculaire à (P) issue de a, contient encore une autre perpendiculaire à ce plan. Celle-ci est la normale I demandée.

Pour déterminer son pied p sur (P), on construit deux droites qui rencontrent A, G', H' : les projections de ces droites sur (P) se coupent au point/?.

La normale que nous venons de déterminer est normale aux surfaces trajectoires de chacun de ses points; par suite, le plan (P) est tangent en/7 à la surface trajectoire de ce point.

En d'autres termes, nous avons construit le /?om^/> où le plan (P) touche la surface à laquelle ce plan reste tangent pendant le déplacement de lajîgure mobile.

Supposons que les points a et & soient confondus, les surfaces [a \ et [b] étant distinctes. On a alors une figure dont un point a décrit une ligne (a), intersection des surfaces [a] et [b] et dont les points restent sur des surfaces données.

La solution est toujours la même; les droites A, B partent maintenant du même point a. Les droites D et A sont alors, Tune la droite

GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. 287

qui joint les traces des normales G, E sur le plan (A, B), c'est-à-dire sur le plan normal en a à (a), Tautre est la droite issue du point a et qui rencontre G et E.

La construction de la normale à la surface trajectoire d'un point d'une figure mobile dont quatre points restent sur quatre faces données conduit immédiatement à la construction du plan normal à la trajectoire décrite par un point d'une figure mobile dont cinq points restent sur cinq surfaces données.

Soient a, 6, c, e, / les points qui décrivent les surfaces données. Faisons abstraction de la surface [/] sur laquelle se déplace le point /, on a, pour un point / invariablement lié à la figure mobile, la normale I à sa surface trajectoire [i]. Reprenons [/] et faisons abstraction de [e]] le point i se déplace sur une nouvelle surface trajectoire [«'] qui donne lieu à une normale V.

Le plan (I, F) est alors le plan normal à la ligne trajectoire (t) décrite par le point i lorsque les cinq points donnés restent sur leurs surfaces trajectoires.

Exemple relatif an déplacement d'nne flgnre mobile de grandenr variable (*). — Dans l'espace comme sur le plan, on peut arriver facile-

(') A. PicART, Nouvelle théorie du déplacement continu d'un corps solide {Nouvelles Annales de Mathématiques, a* série, t. VI, p. i58).

DuRRAïtDE^ Essai sur le déplacement d'une figure de forme variable {Annales scientifiques de V École Normale supérieure, î* série, t. II, 1873); Étude de l'accélération dans le déplacement d'un système de forme variable {Annales scientifiques de l'École Normale supérieure, 1* série, t. III, 187^).

D1RIC111.BT, Becherches sur un problème d'Hydrodynamique {Journal de Borchardt, t. LVIII).

Brioschi, Développements relatifs aux recherches de Dirichlet {Journal de Borchardt^ t. LIX).

TuoMso:i cl Tait, Philosophie naturelle.

Beltrami, Sur les principes fondamentaux de l'Hydrodynamique rationnelle {Mémoires de l'Académie de Bologne, 1872-187^).

EvERETT, Cinématique d'un système solide {Quarterly, etc., t. XIII, 1875).

JouKOFSKY, Cinématique d'un corps liquide {Bulletin de la Société mathématique de Moscou, t. VIII, 1876).

Lévy, Sur la composition des accélérations d'ordre quelconque et un problème plus général que celui de la composition des mouvements { Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 29 avril 1878).

G. FooRET, Sur le mouvement d'un corps qui se déplace et se déforme en restant homothétique à lui-même {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 3 février 1879).

Ad. Sciiuuamn, Sur la cinématique des systèmes variables {Journal de Schlômilch, t. XXVI).

ment au cas de la figure de grandeur variable en utilisant les propriétés relatives à une figure de grandeur invariable. Je vais en montrer un exemple :

Déterminer V expression de la variation de longueur d^iin seg" ment d'une droite mobile dans Vespace. — La droite mobile G {Jig. i65) se déplace en restant tangente à trois surfaces données (L), (M), (N); elle est limitée en a et 6 à deu^t surfaces [a], [h] : on demande la variation de longueur de ab pour un déplacement infiniment petit de G.

Les normales aux surfaces (L), (M), (N) dont les pieds sont les

Fig. i65.

points de contact de G avec ces surfaces définissent le paraboloïde des normales à la surface (G) engendrée par G pendant son déplacement.

Menons du point a la normale A*à [a]. Cette droite rencontre ce j)araboloïde des normales en un point. La génératrice A de ce paraboloïde qui passe par ce point est Taxe de rotation instantané qui permet d'amener G dans sa position infiniment voisine, le point a restant sur [a].

Menons la perpendiculaire commune à G et A; elle rencontre G au point c, qui est le point central de (G), et A en un point que nous désignons par a.

De même, en considérant le point b, nous avons de la même manière une droite A'. Cette droite rencontre à angle droit la perpendiculaire commune à G et A, en un point que nous désignons par p.

Après le déplacement infiniment petit de G tournant autour de A, cette droite vient en Gi; le point central c vient en Ci sur Gi-

De même, on peut faire tourner G autour de A' pour l'amener à coïncider avec Gj; le point c vient alors en Cj.

La variation de longueur de a^ est le segment infiniment petit CiCj.

Pour évaluer ce segment, abaissons du point c une perpendiculaire cp sur Gi-

GËQUÉTRIE CINÉMATIQUE. 289

On a

Cip = ccisinpcciy

dp = CC| sinpccf.

Mais les angles pcci et pcc^ sont respectivement égaux aux angles (G, A) et (G, a'), et Ton a, comme il est facile de le voir,

cci = ca