THÉORÈME SUR LES NORHALIES

aussi la normale A. La normale à (S), qui est dans ce plan normal à G, renconlre donc A.

Pour chacune des sphères décrites du point a comme centre, on a une courbe telle que G, et sur chacune de ces courbes un point tel que b. Tous ces points appartiennent à la directrice d'une normalie dont les génératrices rencontrent A, directrice dont il fallait établir l'existence .

Fig. 166.

Cette directrice comprend aussi le lieu des points, tels que c, qui, sur les courbes G, sont chacun à une distance maxima du plan (T). Appelons M la branche de cette directrice, lieu des points 6, et N la branche relative aux points c.

Si le rayon de la sphère décrite du point a comme centre est infiniment petit, le point yi, où la normale à (S) issue de b rencontre A, est le centre de courbure de la section faite dans (S) par le plan mené par A tangentiellement à M en a. Le point b étant à une distance minima du plan (T), le rayon de courbure a-^^ est le plus grand parmi les rayons de courbure des autres sections normales à (S) en a.

De même, la normale en c à (S) rencontre A en un point ^21 et 0-^2 est le rayon de courbure le plus petit parmi les rayons de courbure des sections normales à (S) en a. Le plan de la section normale, qui a a-^^ pour rayon de courbure, est tangent à N en a.

Les rayons de courbure a^i, a'^2 sont appelés rayons de courbure principaux de la surface (S) pour le point a\ les points y^, Vo sont les centres de courbure principaux, et les plans des sections de (S) qui ont yi, ^2 pour centres de courbure sont appelés plans des sections principales de (S),

Les plans des sections principales de (S) en a sont distincts, c'est-à-dire que les branches M et N ne sont pas tangentes entre elles en a\ car, si Ton admettait le contraire, les centres de courbure Yi, Y2 coïncideraient, et, par suite, il en serait de même des centres de courbure de toutes les sections normales de (S) en «, ce qui ne peut avoir lieu que dans un cas particulier.

Théorème sur les normalies. — Conservons {fig> 166) la surface (S) sur laquelle on a M et N qui se rencontrent sous un angle fini. Du point «, décrivons une sphère. Elle coupe M en 6' et N en c'(*). Supposons que les points a, 6', d^ invariablement liés entre eux, appartiennent, avec un quatrième point e, à une figure de forme invariable.

Déplaçons cette figure de façon que a, 6', d restent sur (S), tandis que e reste sur une surface [e]. Le déplacement de la figure mobile peut être effectué d'une infinité de manières, puisqu'elle n'est assujettie qu'à quatre conditions. On obtient tous ces déplacements au moyen de rotations simultanées autour de deux axes, et, dans les circonstances actuelles, il est facile de construire ces axes, comme on va le voir.

Menons en a, 6', d les normales A, B', C à (S), et en e la normale E à [e]. L'un des axes de rotation est la droite qui joint le point de rencontre de A et de B' au point où E rencontre le plan (A, C). L'autre axe est la droite qui joint le point de rencontre de A et de C au point où E rencontre le plan (A, B'). Car on a bien ainsi deux droites qui rencontrent à la fois les quatre droites A, B', G', E.

Tout cela est vrai, quel que soit le rayon de la sphère qui a donné V et d . Passons au cas limite où ce rayon est nul, et figurons en 6 et c les points V et d. Les droites a6, ac sont maintenant des tangentes à (S). La figure mobile doit alors se déplacer, de façon que les droites «6, ac restent tangentes à ( S) en leur point de rencontre a, tandis que e reste sur \e\ Appelons D et A les axes simultanés de rotation relatifs à tous les déplacements de cette figure. D'après ce qui précède, l'une de ces droites est la droite A, qui joint le centre de courbure principal yi au point de rencontre

(') Les points h' et c' ne sont pas sur la figure.