THÉORÈME SUR LES NORHALIES
de E et du plan de la section principale tangente en a à N, l'autre est la droite D qui joint le centre de courbure principal ^2 au point de rencontre de E et du plan de la section principale tangente en a à M.
Lions à la figure mobile la normale A, perpendiculaire aux tangentes ab et ac. Quel que soit le déplacement de la figure, cette droite A engendre une normalie à (S). Les éléments de toutes les normalies que peut ainsi engendrer A, à partir de sa première position, peuvent être obtenus au moyen de rotations simultanées autour des droites D, A. Mais le point yi de A appartenant à A ne peut que tourner autour de D et engendre toujours le même élément de ligne. Cet élément de ligne et A déterminent un plan qui est alors tangent à toutes les normalies engendrées par A. De même, on a en ^2 un plan tangent commun à toutes ces normalies. Ainsi : toutes les normalies engendrées par A ont les mêmes plans tangenls aux centres de courbure principaux yi, ^2-
Parmi les normalies engendrées par A, il y a celle qui a pour directrice M, dont le plan tangent en ^2 est le plan de la section principale (A, B) qui contient D; il y a celle qui a pour directrice N, dont le plan tangent en yi est le plan de la section principale (A, C) qui contient A, donc : les plans tangents communs c^ Yi » Ya ^^^ normalies engendrées par A sont les plans des sections principales de (S) pour le point a.
Puisque y^ tourne seulement autour de D, l'élément décrit par ce point est perpendiculaire au plan (A, D). Mais cet élément est dans le plan (A, C) qui contient A, donc : Les plans (A, D), (A, A) sont perpendiculaires entre eux, ou encore, les seclions principales de (S) en a sont rectangulaires.
En résumé, on peut énoncer le théorème suivant :
Si, à partir d'un point a sur une sur/ace (S), on trace des courbes quelconquesj les normalies ^ (S), qui ont ces courbes pour directrices, ont les mêmes plans tangents aux centres de courbure principaux de (S) situés sur la normale en a à cette surface, et ces plans tangents communs, qui sont les plans des sections principales de (S) en a^ sont rectangulaires.
tig4 SECONDE PARTIE. — VINGTIÈME LEÇON.
Théorème de Meusnier. — Nous allons ramener l'étude de la courbure des sections faites dans une surface par des plans menés par un point, et obliques par rapport au plan tangent en ce point, à l'étude des courbures des sections normales, en démontrant le théorème de Meusnier ( * )..
Si, par une tangente a t en a à une surface (S), on mène un plan normal à cette surface et un plan oblique, le centre de courbure de la section faite dans (S) par ce plan oblique est la projection du centre de courbure de la section faite dans (S) par le plan normal.
Établissons d'abord un lemme : Un plan mobile passe successivement par les génératrices d'une surface réglée; pour une position quelconque de ce plan, sa caractéristique passe par le point où il touche la surface réglée.
Fig. 167.
(P) est le plan mobile {fig* 167); il passe par la génératrice G de la surface (G). Après un déplacement infiniment petit, ce plan vient en (P,) et contient la génératrice G|, infiniment voisine de G; la droite d'intersection de ces deux plans, c'est-à-dire la caractéristique de (P), rencontre donc G et G| ; elle est alors tangente à la surface (G), et le point où elle rencontre G est le point de contact du plan mobile (P) avec (G).
Démontrons maintenant le théorème de Meusnier.
Appliquons le théorème relatif aux normalies en prenant cette
(') Mémoire sur la courbure des sur/aces {Recueil des Savants étrangers, t. X, 1785); et Hachette, Éléments de Géométrie à trois dimensions.
COURBURE DES SURFACES. ^gS
fois non plus des courbes quelconques tracées à partir du point a sur (S), mais des courbes ayant pour tangente at {Jig* i68). Puisque toutes les normalies dont les directrices passent par a sont tangentes entre elles aux points y^ et ya situés sur la normale A, celles qui ont pour directrices des courbes tangentes entre elles en a sont, en outre, tangentes entre elles en ce point a\ leur plan tangent commun en a est le plan de la normale A et de la tangente commune at à leurs courbes directrices; ces normalies ont donc les mêmes plans tangents au point a, au point yi et au point ^3; par suite, elles se raccordent.
Prenons l'une d'elles, celle qui a pour directrice une courbe C ;
Fig. 168.
menons au point a le plan normal à cette courbe. Menons de même à C un plan normal passant par le point a', qui est, sur C, infiniment voisin de a. Ces deux plans normaux se coupent suivant l'axe de courbure C, et cette droite est la caractéristique du plan normal en a à la courbe C, lorsqu'on déplace ce plan en le laissant normal à cette courbe. D'après le lemme, cette caractéristique passe par le point où ce plan normal touche la normalie dont la directrice est C, car ce plan, supposé mobile en restant normal à la courbe C, contient constamment une normale de la surface (S), c'est-à-dire une génératrice de la normalie. Ce plan normal, qui a pour caractéristique l'axe de courbure de C, touche au point / la normalie dont C est la directrice, et l'axe de courbure doit alors passer par ce point /.
Prenons une courbe G', tangente en a à la droite a/, et répétons le même raisonnement : nous trouvons que l'axe de courbure de G' passe par le point où le plan normal en a à G' touche la normalie
à (S) dont cette courbe est la directrice. Mais cette normalie se raccorde avec celle qui a pour directrice C ; le plan normal commun à C et G' touche alors ces normalies au même point /. On voit donc que toutes tes courbes tracées sur la surface à partir du point a et tangentes entre elles en ce point ont pour axes de courbure des droites qui passent par le même point L L'axe de courbure d'une courbe étant la perpendiculaire à son plan osculateur élevée du centre de courbure de cette courbe, on obtient donc les centres de courbure des directrices des normalies en projetant le même point l sur les plans osculateurs de ces courbes, c'est-à-dire sur des plans qui passent par la tangente commune at.
Prenons comme directrice d'une normalie la courbe qui résulte de l'intersection de (S) et du plan mené par at normalement à cette surface; on a le centre de courbure de cette courbe en projetant le point / sur son plan; mais le point / est à lui-même sa projection; donc le point / est le centre de courbure de la section faite dans (S) par le plan normal qui contient at. En rapprochant cela des résultats précédents, on voit que le théorème de Meusnier, énoncé comme nous l'avons fait d'abord, est démontré.
Le plan normal, commun à toutes les courbes tracées sur la surface (S) à partir du point a, est tangent aux normalies, dont ces courbes sont les directrices, au même point /, qui est le centre do courbure de la section normale à (S) et tangente à ces courbes directrices. Si l'on fait tourner de 90° ce plan normal autour de A, il devient le plan normal à (S) qui contient at, et Ton a alors ce théorème :
Si Von considère une normalie qui a pour directrice une courbe G tracée sur (S), le plan normal à (S), tangent en a à C, est normal à cette normalie en un point qui est le centre de courbure de la section qu^il détermine dans la surface (S).
Construction du rayon de courbure d'une section normale. — Soient {fig- 169) A la normale en a à (S), normale que nous supposons placée verticalement. Sur A, on a les centres de courbure principaux y«, ya de la surface (S).
Prenons une normalie à (S) qui contienne A, et soit y le point représentatif de l'élément de cette normalie le long de A. Je place y
de façon que la figure formée par les droites Y^n TY»» Y^ ^^^^ égale à la figure formée par les traces horizontales des plans qui touchent la normalie aux points yi, ^2? ^•
Fig. 169.
cv -:Yi
Ta'
Les plans tangents à la normalie en y^ et ^2 sont rectangulaires; les plans tangents en ^2 et en a comprennent entre eux un angle o. L'angle yi yy» ^^^ alors droit, et Fangle ysyti est égal à ç.
D'après le théorème qui vient d'être démontré, le plan tangent à la normalie au centre de courbure de la section faite dans (S) par le plan tangent en a à cette normalie est perpendiculaire à ce dernier plan tangent. On obtient alors ce centre de courbure en / au point où A est coupée par la perpendiculaire y/ à y a.
Le point / est donc facile à construire lorsque l'on a y.
On peut obtenir ce point y au moyen de deux segments capables : l'un, d'un angle droit décrit sur yiy2î l'autre, de l'angle o décrit sur y2a. Nous allons l'obtenir directement. Prolongeons y/ jusqu'à sa rencontre enC| et en C2 avec les perpendiculaires élevées de yi et y2 à A. Les points <?i , yi, y, a appartiennent à la circonférence décrite sur ac^ comme diamètre. L'angle y^ aCi est alors égal àyiyci et, par suite, à <p. Les points a, y2, y, C2 appartiennent à la circonférence décrite sur a2C2 comme diamètre. L'angle C2«y2 est alors égal ày2y/, c'est-à-dire au complément de o. Il résulte de là que l'angle C2<^C| est droit.
La construction qui donne le rayon de courbure d'une section normale peut donc être énoncée ainsi :
On a [fig» 169) la normale k^ les centres de courbure principaux yi , y2 et les perpendiculaires à A issues de ces points. On mène^ du point a, la droite ac\ qui fait a^'ec A V angle cp que le
plan de la section normale, dont on cherche le rayon de courbure, fait avec le plan de la section principale dont le centre de courbure esty^ (*). On élève, au point a, la perpendiculaire ac2 à la droite act ; on joint le point Cx au point c^s ceite droite rencontre A au point l : le segment al est le rayon de courbure de la section normale considérée.
Lorsque l'angle droit c^ac^ tourne autour de a, on retrouve bien par cette construction que / se trouve toujours entre yj et yj.
Relation d'Eoler. — Nous allons traduire en une formule cette construction du rayon de courbure d'une section normale.
Soient R^ et R2 les longueurs des rayons de courbure principaux de (S) au point a.
Écrivons que Faire du triangle rectangle CxUC^ est égale à la somme des aires des triangles c^al et lac^ >
Ciaci= Cl a /h- /acj.
Le double de l'aire du triangle c^ac^ est aC| x aca*, de même, pour le triangle C| a/, on a ac^ x alx sin?p, et, pour le triangle lac2f alx aCaX coscf ; on a alors
aci X ac^ = aci x al x sinçp -{-alx ac^X cosçp.
En divisant par le produit ac^ x ac2 X a/, il vient
I __ sincp coscp^ at aci aci
al est le rayon de courbure p de la section normale^ ac2 est égal à
-^ > aCi est éffal à — - - On a donc la relation sincp ^ coscp
I sin^cp cos*çp
Cette relation, qui permet de déterminer le rayon de courbure d'une section normale, connaissant les rayons de courbure principaux R|, Ra et Tangle <p que cette section normale fait avec le plan
(') II ne faut pas oublier que le plan de la section principale de (S), tangent en Y, à la normalie, lui est normal en 7-, et que ce point est le centre de courbure de la section que ce plan détermine dans (S).
de la section principale dont le rayon de courbure est R|, est désignée sous le nom de relation d'Euler (*).
SïïPPLËMENT A LA VINGTIÈME LEgON.
Sur les normales infiniment Toisines autour d'un point. — Ces normales sont dans les positions que prend la normale A à (S) en a ijig* 1 70) , lorsque cette droite est entraînée avec le plan (T), tangent à (S) au point a, que Ton déplace, à partir de sa première position , de toutes les manières en le laissant tangent à (S) au pied de A.
Fig. 170.
Tous ces déplacements peuvent être obtenus au moyen de deux axes simultanés de rotation D, A que nous prenons perpendiculairement à A.
La droite A, issue du centre de courbure principal Yi> 6st dans le plan de la section principale qui est tangent en ce point à toutes les normalies à (S), dont les directrices partent de a. La droite D, issue de Yi> est dans le plan de l'autre section principale.
En tournant autour de D, la normale A vient prendre la position q'^\\ puis, en tournant autour de A, cette droite vient en q' p' a^»
Nous désignons par A| cette nouvelle position de A. La droite Aj est normale en a^ à (S); sa projection sur (T) estaj^^.
Appelons &> Tangle que fait aa^ avec ax, trace sur (T) du plan de
(») Rechercha sur la courbure des sur/aces (Mémoires de l'Académie de Berlin, 1760).
]a section principale qui contient D. On a, au moyen des triangles semblables Yi^Wu ï«^<^>
aai sinct) Rj
d'où
de même on a
, ««1 sino)(R, — Rj) ^'^ = Ri '
, aa|Cosw(R| — R») ttP =
Ri
Expression de l'angle da que fait A avec la normale infiniment voisine A,. — La tangente de cet angle est égale à i^ ^ ' On
Kl — Kj
a alors, en employant les valeurs de yi<7' et de Yî/>',
,. pg — «/cos'o) sin*a)\
