RT^O' = """ (-HT ^ -RT
En désignant aoi par ds, il vient
Expression de l'angle db que fait Aj ai^ec le plan (A,âraJ. — La tangente de cet angle est égale à la distance du point p' à ce plan normal divisée par R,.
Comme la dislance du point />' au plan {A,aai) est égale à Ys/>'sinco, on a
,û aai sin(ocosa)(R, — R») , . / i i \
'^^ RTr; =rf.s.na,coso,^^-^j.
Cette formule est due à M. Bertrand (*), qui en a déduit ce théorème :
(( Si en un point A, pris sur une sur/ace, on mène une nor- » maie ATijpuis que par le point A on fasse passer sur la sur/ace » deux lignes perpendiculaires sur lesquelles on prenne des Ion-- » gueurs infiniment petites et égales AB, AC, la normale au point B » fera avec le plan ZAB un angle égal à celui que la normale au » point C forme avec le plan ZAC; j'ajouterai que les deux nor- )) maies seront toutes deux dans l'intérieur de l'angle dièdre BAC )) ou toutes deux en dehors de cet angle, »
On peut aussi démontrer ce théorème en faisant usage de la yî^. 170 et sans employer l'expression de d^.
(') Journal de Mathématiques de LiouvUle, r* série, t. IX, p. i33; 184^.
COURBURE DES SURFACES. 3oi
Remarque. — La normale A, dans toutes ses positions infiniment voisines, rencontre D et A. Nous serions arrivés à un résultat analogue avec d^autres axes simultanés de rotation. Il est bien clair pourtant que les normales à (S), infiniment voisines de A, ne rencontrent pas toutes les droites tracées à partir de Yi et Yi dans les plans des sections principales, et qu'on peut prendre par couples comme axes de rotalion. C'est qu'il ne faut pas oublier que nous n'avons conservé dans ce qui précède que les infiniment petits du premier ordre.
On voit donc comment il faut comprendre ce théorème de Sturm (* ) : Les normales infiniment voisines de A rencontrent deux droites,
Constraction directe du centre de courbure d'une section obliqae. — Connaissant les centres de courbure principaux Yi, y« ^^ ^^* plans des sections principales de (S) relatifs au point a, construire direC' tement le centre de courbure de la section E faite dans (S) par un plan quelconque (P) mené par la tangente atà cette surface (*).
Prenons la normalie à (S), qui a E pour directrice. Le contour apparent de cette normalie sur le plan (P) est la développée de E. Le centre de courbure e que nous cherchons est, sur la normale as en a à E, la projection sur (P) du point où le plan normal en a à E touche la normalie.
Pour le construire, prenons, le long de la normale A à (S) au point a, un paraboloïde de raccordement de la normalie. Choisissons celui qui a pour plan directeur le plan mené par at perpendiculairement à (P).
Nous connaissons les plans tangents à la normalie en a, Yi» Yi* Nous pouvons alors construire les directrices de ce paraboloïde : ces droites sont at et les intersections des plans des sections principales de (S) avec des plans menés des points Yi> Yi parallèlement au plan directeur.
Au moyen de ces directrices, nous construisons une génératrice du même système que A. La projection de cette droite sur (P) coupe as au point e demandé, parce que toutes les généralrices du paraboloïde du même système que A se projettent suivant des droites qui passent par un même point, et que, pour A et la génératrice qui lui est infiniment voisine, le point de rencontre des projections de ces droites est le point e.
( ' ) Mémoire sur la théorie de la vision ( Comptes rendus dss séances de l'Académie des Sciences, i8^5).
{') Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences f 6 avril 1874.
