VINGT ET UNIÈME LEÇON

COURBURE DES SURFACES (suite).

Indicatrice elliptique, ombilic. — Indicatrice hyperbolique. — Tangentes à la section faite dans une surface à courbures opposées par l'un de ses plans tangents. — Tangentes à la courbe d'intersection de deux surfaces tangentes entre elles. — Indicatrice parabolique.— Lignes de courbure d'une surface. — Lignes de courbure d'une surface de révolution. — Surface^ osculatrices. — Surfaces du second degré osculatrices. — Hyperboloïde osculateur. — Surface du second ordre de révolution osculatrice d'une surface de révolution le long d'un parallèle.

Supplément. Autre démonstration du théorème de Meusnier. — Théorème sur les normal ies.

Indicatrice elliptiqae. — Reprenons la relation d'Euler : , , i ces'© sin*©

Écrivons

p = 'kdj Ri = 'ka , R2=:X6;

portant ces valeurs dans la relation précédente et supprimant It» facteur X, il vient

équation en coordonnées polaires d'une ellipse dont les demi-axes sont aeib]d est le rayon vecteur : par conséquent, c'est un demidiamètre de cette ellipse.

Construisons cette courbe (Jiff- 171) sur le plan (T) tangent à la surface (S) de façon que son centre soit au point de contact a de ce plan tangent et que son demi grand axe soit dans le plan de la section principale dont le rajon de courbure est R| ; Tautre axe est alors sur (T) la trace du plan de la section principale dont le

COURBURIS DES SURFACES. 3o3

rayon de courbure est Rj. Si, parla normale au point a à (S), nous menons un plan faisant un angle cp avec le plan de la section principale qui donne lieu au rayon de courbure R|, sa trace est sur (T) un diamètre de l'ellipse et la longueur de la moitié de ce diamètre est donnée par l'équation (2).

Ainsi, les sections normales de la surface (S) au point a ont des rayons de courbure proportionnels aux carrés des diamètres d'une conique.

C'est pour cette raison que Dupin, à qui Ton doit 1 -emploi de cette courbe, l'a désignée sous le nom d^ indicatrice (*).

Lorsque les centres de courbure principaux: yi et Y2 sont d'un même côté par rapport au plan tangent (T), la surface est convexe autour du point a; l'indicatrice est une ellipse.

Fig. 171.

Dans le cas particulier où, pour un point de (S), les centres de courbure principaux coïncident, R^ est égal à R2 et, pour une section normale quelconque en ce point, le rayon de courbure est égal à R| ; on a alors sur la surface (S) un point tel, que toutes les sections normales faites dans la surface en ce point ont des rayons de courbure égaux; l'indicatrice est une circonférence de cercle, et le point est un ombilic.

Indicatrice hyperboliqae. — Si les centres de courbure principaux sont de côtés différents par rapport au plan tangent, les rayons de courbure principaux sont de signes contraires et la relation d'Euler devient

(') Développements de Géométrie, p. 48, et Iroisièmc Mémoire.

3o4 SECONDE PARTIE. — VINGT ET UNIÈME LEÇON.

la surface traverse le plan tangent, on dit qu'elle est à courbures opposées et rindicatrice est une hyperbole.

Les plans menés par les asymptotes de rindicatrice déterminent, dans la surface, des sections qui ont un rayon de courbure infini ; par conséquent, pour ces sections, Iç point a est un point d'inflexion et la tangente en a est osculatrice. Cette droite est aussi une tangente osculatrice de la surface, et, comme il y a au point a deux asymptotes de l'indicatrice, on voit qu'^n un point a d'une sur/ace à courbures opposées il y a deux tangentes osculatrices.

Tangentes à la section faite dans nne surface à conrbnres opposées par l'nn de ses plans tangents. — Nous venons de dire que la surface traverse son plan tangent. Soit C {fig* 172) la courbe d'inter-

f>ection de la surface et de son plan tangent (T). Menons par le point a un plan; sa trace sur le plan (T) est une certaine droite qui contient le point a et qui rencontre la courbe C en /n; la seclion faite dans la surface par ce plan est une courbe tangente en a à la droite am et qui passe par le point m. Lorsqu'on fait tourner ce plan autour du point a de façon que le point m se rapproche infiniment du point a, la section qii'il détermine dans la surface devient une courbe E tangente en a à sa trace sur (T) et qui contient un point de C, infiniment voisin du point a, c'est-à-dire que cette trace est une tangente osculatrice de la courbe E, et par suite de la surface.

Ainsi, la section faite dans la surface (S) par son plan tangent a pour tangente au point a une tangente osculatrice de (S), et, comme il y a deux tangentes osculatrices au point a, la courbe d'intersection C tangente à ces deux droites présente au point a un point double ; donc : La section faite dans une surface à courbures opposées par son plan tangent en a est une courbe qui a un point double au point a, et les tangentes en ce point

GOVRBtRE DES SURFACES. 3o5

aux deux branches de la courbe sont les asymptotes de l'indicatrice pour ce point a.

On peut suivre les variations de forme des différentes sections normales autour du point a de la manière suivante.

Soit {fig' 173) sur le plan tangent en a la trace de la surface à courbures opposées ; indiquons par le signe + les parties de cette surface qui sont d'un côté du plan tangent et par le signe — les

Fig. 173.

parties de la surface qui sont de l'autre côté de ce plan tangent. Menons un plan dont la trace est une droite qui passe par le point a; si cette droite est dans la région marquée par le signe +, elle se prolonge de l'autre côté dans la région marquée par le signe +, c'est-à-dire que la courbe d'intersection de la surface par ce plan est située tout entière d'un seul côté du plan tangent^ de même, si la trace du plan est une droite dont les deux parties sont dans les régions marquées par le signe — , cette droite est la trace d'un plan qui coupe aussi la surface suivant une courbe située tout entière d'un même côté du plan.

Menons le plan sécant tangentiellement en a à l'une des branches de la trace de la surface sur son plan tangent, c'est-à-dire contenant une droite passant de la région marquée du signe — dans la région marquée du signe -h ou réciproquement. Considérons la partie de la section qu'il détermine située d'un côté du plan tangent et la tangente correspondante issue du point a, l'autre partie de cette droite est tangente à la portion de la section qui est de Tautre côté du plan tangent, et cette section présente au point a un point d'inflexion.

La section faite dans une surface par un plan qui contient une asymptote de l'indicatrice, et qui n'est pas le plan tangent de la surface, est une courbe osculatrice de cette asymptote. Cette propriété se généralise si, au lieu de considérer la section d'une sur-

3o6 SECONDE PARTIE. — VINGT ET UNIÈME LEÇON.

face par son plan tangent, on considère la courbe d'intersectîon de deux surfaces tangentes entre elles.

Tangentes à la conrbe d'intersection de deux sorf aces tangentes entre elles. — Deux surfaces se louchent au point a; la courbe d'intersection de ces deux surfaces est G. Menons un plan sécant par le point a; il coupe chacune des surfaces suivant une courbe qui passe par le point m, où ce plan sécant rencontre G, et ces deux courbes d'intersection sont tangentes entre elles au point a. Lorsque le plan sécant a tourné de façon à contenir la tangente au point a à G, le point m vient se confondre avec a, et les deux courbes d'intersection des surfaces par ce plan ont en a même rayon de courbure. Traçons, sur le plan (T) qui est tangent en a aux deux surfaces, et au mojen d'un même paramètre X, les indicatrices de chacune de ces surfaces ; le plan sécant, qui a été mené par la tangente en a à G, a pour trace sur (T) une droite qui doit alors passer par l'un des points de rencontre de ces indicatrices. Mais les indicatrices des deux surfaces sont des coniques concentriques, qui se coupent en quatre points symétriques deux à deux par rapport à leur centre ; donc les deux diamètres qui contiennent ces quatre points sont les tangentes aux deux branches de la courbe d'intersection des deux surfaces tangentes entre elles.

Indicatrice parabolique. — Relativement aux différentes formes que peut avoir Tindicatrice, il reste à supposer que l'un des rayons de courbure principaux de (S) est infini. Si R| est infini, la relation d'Euler devient

I sin*cp

et l'indicatrice correspondante se compose simplement de deux droites parallèles entre elles.

Gette circonstance se présente pour les surfaces développables. Le plan normal qui contient une génératrice coupe la surface suivant cette génératrice et, par conséquent, la section faite par ce plan normal est une ligne pour laquelle le rayon de courbure est inCni; l'indicatrice d'une surface développable en un point est donc l'ensemble de deux droites parallèles à la génératrice qui passe par ce point.

Lignes de courbure d'nne snriace. — Monge a donné le nom de ligne de courbure à une courbe tracée sur une surface (S) et telle qu'en chacun de ses points sa tangente est l'un des axes de l'indicatrice de (S) en ce point. Ces lignes donnent alors en chacun des points de (S) les directions de plus petite ou de plus grande courbure.

Une ligne de courbure est la directrice d\ine normalie déçeloppable, car, pour un point quelconque a de cette ligne, le plan tangent à cette normalie est l'un des plans de section principale de (S), plan qui est aussi tangent à la normalie en l'un des centres de courbure principaux de (S). La normalie est donc telle, que sur une quelconque de ses génératrices un même plan lui est tangent en deux points : elle est donc développable. On démontre de la même manière que : lorsqu'une normalie est développable^ sa directrice est une ligne de coût bure.

Puisque, à partir d'un point «, il y a les deux axes de l'indicatrice qui se coupent à angle droit, il en résulte que sur une surface il y a deux séries de lignes de courbure qui se rencontrent à angle droit.

Lorsqu'on a un système de lignes de courbure, il est facile d'avoir les lignes de courbure de l'autre système; il suffit de prendre les trajectoires orthogonales des lignes de courbure du premier système.

Par exemple, pour une surface développable, les génératrices forment un premier système de lignes de courbure; les autres lignes de courbure sont les trajectoires orthogonales des génératrices, c'est-à-dire des développantes de l'arête de rebroussement.

Dans le cas particulier où la surface est conique, les génératrices sont des lignes de courbure ; les autres lignes de courbure sont les trajectoires orthogonales de ces génératrices, et comme, après le développement du cône, ces trajectoires orthogonales des génératrices deviennent les trajectoires orthogonales de droites qui partent d'un même point, leurs transformées sont des circonférences de cercle. Il résulte de là que les autres lignes de courbure d'une surface conique sont les intersections de cette surface avec des sphères dont le centre est au sommet de cette surface conique.

Lignes de courbure d'une surface de révolution. — Cherchons les lignes de courbure d'aune surface de rés>olution.

Les normales à la surface de révolution issues de tous les points d'un méridien sont dans un même plan : ce méridien est donc une ligne de courbure. Pour un point m de ce méridien {fi g- i74)j l'un des centres de courbure principaux de la surface de révolution est le centre de courbure [x, de cette ligne méridienne.

Fig. 174.

Le parallèle de la surface guipasse par le point m est l'autre ligne de courbure. Les normales à la surface de révolution issues de chacun des points de ce parallèle forment, en eDct, un cône de révolution ; le sommet de ce cône est le point de rencontre [Aj des normales à la surface issues des points de ce parallèle ; ce point de rencontre [X2 est donc l'autre centre de courbure principal. Le parallèle a pour tangente au point m une ligne perpendiculaire au plan méridien qui passe par ce point ; on a bien là deux lignes de courbure se rencontrant à angle droit. On voit aussi que les points de Vaxe de révolution de la surface sont des centres de courbure principaux.

La section normale à la surface de révolution, tangente en m au parallèle, a pour centre de courbure le point y.^ situé sur l'axe de révolution, et en projetant ce point sur le plan du parallèle on doit retrouver, d'après le théorème de Meusnier, le centre de ce parallèle. C'est ce qui arrive, puisque cette perpendiculaire est l'axe de révolution et que celte droite passe par le centre du parallèle.

Prenons un point m' tel que le centre de courbure de la ligne méridienne ainsi que le point de rencontre de la normale en m' et de l'axe de révolution soient d'un même côté de m' ; autour de

SURFACES OSCULATRIGES. 809

ce point m' la surface est convexe. Prenons un point m pour lequel la surface est à courbures opposées ; tandis qu'au point m' l'indicatrice est une ellipse, au point m l'indicatrice est une hyperbole. Si l'on suit d'une manière continue l'arc de la ligne méridienne depuis le point m' jusqu'au point m, il y a un point à partir duquel l'indicatrice, qui était une ellipse, devient une hyperbole. Le passage d'un cas à l'autre a lieu au point m'', qui est le point de contact d'une tangente à la ligne méridienne perpendiculaire à l'axe de révolution. En ce point niU l'un des rayons de courbure principaux est infini et l'indicatrice se compose de deux droites parallèles entre elles.

Surfaces oscnlatrices. — Considérons deux surfaces, tangentes entre elles en un point a, qui ont en ce point mêmes plans de sections principales et mêmes rayons de courbure principaux. En vertu du théorème de Meusnier et de la relation d'Euler, un plan sécant mené par le point a détermine dans ces surfaces des courbes ayant au point a môme rayon de courbure. Les sections faites dans ces deux surfaces par des plans menés par leur point de contact a sont donc des courbes osculalriccs ; on dit alors que ces surfaces sont osculatrices.

Étant donnée {fig* 175) une surface (S), construire une sur-

face du second degré qui lui soit osculatrice en a et dont un des sommets soit en ce point. Prenons sur la normale en a à (S) un point o, et déterminons la surface du second ordre qui a ce point pour centre et qui a pour plans principaux les plans des sections principales de la surface donnée, en même temps que cette surface a pour rayons de courbure principaux au point a les rayons de courbure principaux de la surface donnée.

Puisque la section faite dans la surface du second ordre par le

3lO SECONDE PARTIE. — VINGT ET UNIÈME LEÇON.

plan principal dont la trace est ap doit être une conique dont le sommet est au point a et dont le rayon de courbure doit être le rayon de courbure R< delà surface donnée, le demi-axe a de cette conique, parallèle à a/?, doit être tel que Ton ait

oa

car nous avons vu que le rayon de courbure en un sommet d'une conique est égal au carré du demi-axe parallèle à la tangente au sommet que Ton considère, divisé par la longueur du demi-axe aboutissant à ce sommet.

De même, le plan principal dont la trace est aq sur le plan tangent (T) doit couper la surface du second ordre suivant une conique dont l'un des axes étant oa, l'autre 6, doit être tel que l'on ait

oa

On a alors les trois axes a, b et oa de la surface du second ordre qui est osculatrice en a à la surface donnée.

Le point o a été pris arbitrairement sur la normale en a. Lorsqu'il s'agit d'une surface convexe, on doit le prendre d'un seul côté du plan tangent; quand la surface est à courbures opposées, le point o peut être un point quelconque de la normale. On voit, dans tous les cas^ quHl y a une infinité de surfaces du second ordre osculatrices à (S) ayant pour sommet le point a.

Si l'on prend pour centre de l'une de ces surfaces osculatrices un point situé à une distance du point a égale à R| , l'autre demiaxe de la surface du second ordre, qui est dans le plan principal dont le rayon de courbure est R<, est lui-même égal à R|, el, par conséquent, cette section principale est une circonférence de cercle et la surface du second ordre est de révolution.

Comme on peut répéter la même chose en plaçant le centre de la surface du second ordre à une distance du point a égale à Rj, on voit que, parmi les sur/aces du second ordre osculatrices à (S) en a, il y en a deux, qui ont ce point pour sommet, et qui sont de rés^olution.

On peut remarquer aussi que la section faite dans l'une des sur-

SURFACES OSCULATRICES. 3ll

faces du second ordre osculatrices en a à (S) par un plan mené par son centre parallèlement au plan tangent en a est une conique semblable à l'indicatrice de la surface au point a.

Dans les applications, on construit souvent l'indicatrice sur le plan tangent en a en donnant pour axe à cette courbe les traces des plans des sections principales sur le plan tangent en a. On peut remarquer que, si l'on prend Rj pour demi grand axe de cette indicatrice, le demi petit axe est égal à y/RTRâ.

Hyperboloîde oscnlatenr d^nne surface réglée le long d*ime génératrice. — Nous venons de voir qu'on peut construire des surfaces du second degré osculatrices à une surface donnée en un point donné; nous allons montrer que /?owr une surface réglée (G) on peut déterminer un hyperboloîde osculateur tout le long d'une génératrice.

Soit G une génératrice de (G) le long de laquelle nous nous proposons de déterminer un hyperboloîde osculateur, c'est-à-dire un hyperboloîde tel, qu'un plan sécant coupe la surface réglée donnée et cet hyperboloîde suivant des courbes ayant même rayon de courbure pour le point où le plan sécant rencontre la génératrice G.

Prenons une génératrice G' de la surface (G). Par G', comme par une droite quelconque, on peut construire un hyperboloîde de raccordement de (G) le long de la génératrice G. En coupant la surface donnée et cet hyperboloîde par un plan, on obtient deux courbes tangentes entre elles au point a, où le plan sécant rencontre la génératrice G, et ces deux courbes d'intersection ont en commun le point m, où le plan sécant rencontre la génératrice G'. Si maintenant nous supposons que G' soit infiniment voisine de G, ces deux courbes sont osculatrices au point a; comme le plan sécant est arbitraire, l' hyperboloîde est devenu alors osculateur.

Menons le plan tangent en a à la surface (G). Ce plan coupe cette surface suivant une courbe et l'hyperboloïde suivant une droite qui est la tangente en a à cette courbe. Cette tangente est l'une des asymptotes de l'indicatrice de (G) en a; l'autre asymptote est la génératrice G. On a donc l'hyperboloïde osculateur de (G) le long de G en prenant l'hyperboloïde qui a pour di-

3l2 SECONDE PARTIE. — VINGT ET UNlàllE LEÇON.

rectrices les asymptotes des indicatrices de (G) en trois points deG(').

Si la surface donnëe est à plan directeur, on n'a plus un hyperboloïde, mais un paraboloïde osculateur.

Surface du second ordre de révolution oscnlatrice d'nne surface de révolution le long d*un parallèle. — Nous allons montrer que le long d'un parallèle d'une sur/ace de révolution on peut déterminer une surface osculatrice du second ordre ayant pour axe de révolution l'axe de révolution de la sur/ace donnée.

Prenons (Jig* 176) un point m de la ligne méridienne de la surface donnée. Construisons pour le point m une conique oscula-

Fig. 176.

triée de la ligne méridienne ayant pour axe l'axe de révolution donné. Pour cela, du centre de courbure (xde la ligne méridienne, correspondant à m, abaissons sur l'axe de révolution la perpendiculaire [kg] du point/?, où la normale /n|x rencontre l'axe de révolution, élevons à cette normale la perpendiculaire/)^. La droite mg rencontre l'axe de révolution au point o, et, d'après ce que nous avons trouvé (p. 174) pour la détermination du centre de courbure d'une conique, le point o est le centre de la conique demandée et op est la direction de l'un des axes de cette courbe. Celte conique a, avec la ligne méridienne, trois points communs infiniment voisins. Lorsqu'on la fait tourner autour de l'axe de révolution, elle engendre une surface du second ordre de révolution qui

(*) Cette coDstruction, trouvée par CnASLES, lorsqu'il était élève à l'École Polytechnique, a été insérée par Hachette dans ses Éléments de Géométrie à trou dimensions, p. 86; 1817. Voir le supplément à la 3o* Leçoa.

AUTRE DÉMONSTRATION DU THÉORÈME DE HEUSNIER. 3l3

a, avec la surface donnée, trois parallèles infiniment voisins communs.

Coupons maintenant la surface donnée et cette surface du second ordre par un plan ; les courbes d'intersection ont en commun les trois points infiniment voisins où ce plan rencontre ces trois parallèles; par conséquent, ces deux courbes d'intersection sont osculatrices. Comme le plan sécant est arbitraire, la surface du second ordre de révolution est osculatrice tout le long du parallèle décrit par le point m.