SUPPLÉMENT A LA VINGT ET UNIÈME LEQON

Antre démonstration du théorème de Meusnier (>). — Prenons sur une surface (S), à partir d'un point a, une courbe C. Construisons une sphère tangente à (S) au point a qui passe par le point a^ situé sur C et infiniment voisin du point a. La surface (S) et cette sphère se coupent suivant une courbe dont une des tan gen tes est la droite aa^t. Un plan mené par celte tangente at coupe la surface (S) et la sphère suivant des courbes ayant en a même rayon de courbure. La section faite dans la sphère par ce plan est alors le cercle de courbure de la section qu'il détermine dans (S), et, comme ceci est vrai, quel que soit le plan mené par at, pourvu que ce ne soit pas le plan tangent en a à (S), on voit que cette sphère est le lieu des cercles de courbure des sections faites dans (S) par des plans menés par la tangente at {^).

En particulier, on peut prendre le centre de courbure / de la section faite par un plan mené normalement à (S) par la tangente at, puis le centre de courbure d'une section oblique menée par cette même tangente at^ et, comme les centres de courbure de ces deux sections sont l'un le point /, centre de la sphère, et l'autre le centre d'un petit cercle de celte sphère, on voit que ce dernier centre de courbure est la projection du point / sur le plan sécant, c'est-à-dire que l'on retrouve le théorème de Meusnier.

Théorème enr les normalies. — Nous avons démontré que les normalies à une surface (S), dont les directrices sont des courbes tracées

(») A ToccasioD de cette démonstration, voir une Note de M. Moutard dans les Applications d* Analyse et de Géométrie du général Po!(Cglet, t. II, p. 363. (") DopiB, Développements de Géométrie, p. 38.

3l4 SECONDE PARTIE. — VINGT ET UNIÈME LEÇON.

sur cette surface à partir d'un point a, sont tangentes entre elles aux centres de courbure principaux yd Yi situés sur la normale A à (S) en a. Supposons que les directrices de ces normalies passent en outre par un point b de (S). Les normalies correspondantes ont alors en commun les normales A, B à (S), qui sont issues des points a et b. Coupons ces normalies par un plan arbitraire mené par le point y|. On obtient des sections tangentes entre elles en ce point et qui passent par le point 6', où ce pfan sécant rencontre la normale B. Si le point b est infiniment voisin de a, le point b' est infiniment voisin de ft et les courbes de section sont osculatrices entre elles au point Yi» Comme le plan sécant est arbitraire, on a alors ce théorème :

Les normalies à une surface (S), dont les directrices sont des courbes tangentes entre elles en a, sont osculatrices entre elles aux centres de courbure principaux de {S) situés sur la normale A en a.

On voit de la même manière que, si les directrices des normalies à (S) ont un contact du /i»«™« ordre au point a, les sections faites dans les normalies correspondantes par des plans passant par les centres de courbure principaux, situés sur la normale A, sont des courbes ayant un contact de Tordre /i -f- i (*).

Puisque les normalies à (S), dont les directrices sont tangentes entre elles en a, sont osculatrices entre elles aux points Yi> Yî> ^^s indicatrices ont en ces points les mêmes asymptotes. La normale A est une asymptote commune à ces deux indicatrices; les deux autres asymptotes sont des droites issues respectivement de Yd Yd ^^ situées dans les plans des sections principales de (S). L'utilité de ces dernières droites ressort de Communications que j'ai faites à l'Académie des Sciences (*).

(') Cette propriété m'a été signalée par M. 0. Bo:<jiet [Étude sur le déplacement j etc. {Journal de l'École Polytechnique, XLIIl* Cahier, p. ii4)]'

(•) Note à l'occasion de la Communication faite par M. Ribaucour dans fa séance du i5 mars 1875 {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 22 mars 1875); Démonstration géométrique d*une relation due à M. Laguerre {ibid., 6 mars 1876).

THÉORÈME DES TANGENTES CONJUGUEES. 3l5