THÉORÈME DES TANGENTES CONJUGUÉES : CONSÉQUENCES ET APPLICATIONS

Lemme. — Théorômc des tangentes conjugaées. — Conséquences du théorème des tangentes conjuguées. — Autre démonstration du théorème des tangentes conjuguées. — Rayon de courbure de la courbe de contour apparent d'une surface. — Ligne d'ombre ou de perspective sur les surfaces à courbures opposées. — Cône d'ombre.

Suppléme:«t. — Droites de courbure. — Lignes tracées sur une surface. — Développée d'une surface. — Théorèmes analogues au théorème de Meusnier. — Construire pour un point de la courbe d'intersection de deux surfaces : i<> Taxe de courbure; a* le centre de la sphère osculatrice. — Théorème de Dupin sur les surfaces orthogonales. — Détermination des centres de courbure principaux de la surface de l'onde (appl. de Géom. ciném.). — Sur les ombilics de la surface de l'onde.

Nous allons nous occuper d'un ihéorèrae imporlant qui est dû à Dupin (*), et qu'on désigne sous le nom de théorème des tangentes conjuguées.

Démontrons d'abord le lemme suivant :

Lemme. — La tangente en un point a à la directrice d'une normalie à une surface (S) et la trace du plan centrai de cette normalie sur le plan (T) tangent en a à (S) sont deux diamètres conjugués de V indicatrice de (S) en a.

Soient toujours, comme précédemment (yî^. 177), la normale A à (S) en a, qui est placée verticalement, yi, Y2 les centres de courbure principaux de (S) sur A, et, pour un élément de normalie, le point représentatif Y convenablement placé sur la figure. L'angle Yi YY2 est alors droit, et l'angle YîT^ ^^^ ^^^ ^ l'angle que les plans tangents en Y2 ^^ en a à la normalie font entre eux.

(•) Développements de Géométrie, p. 4ï*

3l6 SECONDE PARTIE. — VINGT-DEUXIEME LEÇON.

Le pied c de la perpendiculaire yc, abaissée de y sur A, est le point central de cette normalie, et l'angle cya est Tangle compris entre le plan central de la normalie et le plan tangent en a à cette surface.

La figure formée par les droites yy, , yc, yy2, ya étant égale à la figure formée par les traces horizontales des plans qui touchent la normalie en y, , c, y2, a est aussi égale à la figure formée par les traces de ces plans tangents sur (T), tangent à (S) en a.

F'ig- «77-

Au lieu de tracer l'indicatrice de (S) pour le point a sur le plan (T), traçons cette courbe sur le plan de la figure en mettant son centre en y, dirigeant son grand axe suivant yy^, et en la faisant passer par a. Appelons toujours a, 6 les demi-axes de cette conique. Puisque c'est une indicatrice, on a

ayi __ CL

Cette relation montre que A est normale en a à l'indicatrice tracée sur le plan de la figure. Par suite yc, qui lui est perpendiculaire, est parallèle à la tangente en a à cette courbe. Les droites yc, ya sont donc deux diamètres conjugués de l'indicatrice, et, comme ces droites correspondent à la trace sur (T) du plan central de la normalie et du plan tangent en a à cette surface, le lemme est démontré.

Théorème des tangentes conjngnées. — Une courbe (a) {fig* 178) est tracée sur une surface (S); on mène au point a de cette courbe le plan tangent {T) à cette surface. La caractéristique

THÉORÈME DES TANGENTES CONJUGUÉES. 3iy

de ce plan, que l'on déplace de façon qu'il soit toujours tangent à (S) et que son point de contact reste sur la courbe {a)y est une droite C qui passe par le point a et qui forme avec la tangente en a à la courbe {a) un système de diamètres conjugués de V indicatrice de (S) en a.

Démontrons d'abord que la caractéristique C passe par le pointa. Les plans tangents à la surface (S) contiennent les tangentes à la courbe (a), c'est-à-dire les génératrices de la surface développable formée par ces tangentes; la caractéristique du plan (T) passe alors par le point où ce plan est tangent à cette

Fig. 178.

surface. Puisque le plan (T) n'est pas le plan osculaleur de la courbe (a), il doit être considéré comme tangent à la surface développable au point a; donc G passe par ce point.

Prenons sur (a) le point ûTi, infiniment voisin de a, et menons ])ar les deux points a et a^ les normales A et A, à la surface (S). Les plans tangents à cette surface aux points a et a^ sont respectivement perpendiculaires à ces normales ; le plan (T) est perpendiculaire à A, le plan (T< ) est perpendiculaire à A< ; la droite d'intersection de ces deux plans tangents est donc parallèle à la perpendiculaire commune à A et A|. Ainsi, la droite GJest parallèle à la perpendiculaire commune aux deux normales A et A|. Le plan mené par A et par cette perpendiculaire commune a alors pour trace sur (T) la droite G, caractéristique de ce plan. Mais le plan mené par A et par cette perpendiculaire commune est le plan central de la normalie dont la directrice est la courbe (a), et, d'après le lemme précédent, la trace de ce plan est conjuguée de la tangente at à celte courbe directrice \ donc G et la tangente at sont deux diamètres conjugués de l'indicatrice au pointa. Le théorème de Dupin est ainsi démontré.

3l8 SECONDE PARTIE. — VINGT-DEUXIEME LEÇON.

Si Ton trace du point a une courbe (a') tangente à la droite C, on peut répéter pour cette courbe ce que nous venons de dire pour la courbe (a); on voit alors que la caractéristique du plan (T), lorsque son point de contact se déplace sur (a'), est la droite at. C'est pour cette raison que les deux droites at et C sont désignées sous le nom de tangentes conjuguées.

Le théorème des tangentes conjuguéeSy.extrêmement utile, donne lieu à de nombreuses conséquences.

Conséquences du théorème des tangentes conjagnées. — Traçons sur une surface une courbe quelconque E, et menons à cette surface des plans tangents aux différents points de cette courbe. L'enveloppe de ces plans est la surface développable circonscrite à la surface donnée le long de la courbe E. D'après le théorème précédent, la génératrice G de cette surface, qui pa^se par le point a de E, et la tangente at en ce point à cette courbe sont deux diamètres conjugués de V indicatrice de la surface donnée par le point a.

Si, sur la génératrice G, on prend un point quelconque comme sommet d'un cône circonscrit à la surface donnée, la courbe de contact de ce cône et de la surface donnée est tangente au point a à la droite at^ car la tangente en ce point à la courbe de contact du cône est conjuguée de la génératrice G. Par suite, quelle que soit la position du sommet du cône sur la tangente G, les courbes de contact de tous ces cônes sont tangentes entre elles au point a.

Il résulte de là que la tangente en un point d'une courbe d'ombre sur une surface est la tangente conjuguée du rayon lumineux qui passe par ce point.

Substituons à la surface donnée au point a une surface qui lui soit osculatrice, ces deux surfaces ont en ce point même indicatrice; la direction conjuguée d'une tangente G en a est la même pour Tune ou l'autre de ces surfaces. Par conséquent, pour la recherche de la direction conjuguée d'une tangente à une surface en un point a, on peut substituer à cette surface une surface qui lui est osculatrice en a,

La construction, en un point, de la tangente conjuguée d'une tangente est très simple lorsque l'on connaît les asymptotes de l'indicatrice pour ce point, puisque le diamètre conjugué d'un

CONSÉQUENCES DU THÉORÈME DES TANGENTES CONJUGUÉES. SlQ

diamètre d'une hyperbole est le même, par rapport à la courbe ou par rapport aux asymptotes. Dans tous les cas, les constructions peuvent être faites sur les plans de projection par rapport aux projections de l'indicatrice, parce qu'une conique et deux diamètres conjugués se projettent suivant une conique et deux diamètres conjugués.

De ce que nous venons de dire on peut conclure que, si deux sur/aces géométriques se raccordent simplement le long d'une ligne, les lignes d'ombre ne se raccordent pas. C'est ce que l'on voit immédiatement en prenant comme exemple (Jig» 179) un cylindre de révolution terminé par une demi-sphère.

Fig. 179.

Projetons ce cylindre et cette demi-sphère sur un plan parallèle aux génératrices du cylindre, et supposons que le rayon lumineux soit parallèle à ce plan de projection. La ligne d'ombre sur le cylindre est une génératrice qui se projette sur l'axe de ce cylindre ; la ligne d'ombre sur la sphère est un grand cercle dont le plan est perpendiculaire au rayon lumineux et se projette alors suivant une droite perpendiculaire à la direction du rayon lumineux. On voit bien que les deux courbes d'ombre ne se raccordent pas ; elles se rencontrent en un point de la ligne de raccordement des deux surfaces, mais en ce point elles n'ont pas la même tangente.

Il résulte de là que, lorsqu'en Architecture on veut prendre le profil d'un balustre, ce profil ne doit pas être tracé par arcs de cercle. Si l'on traçait les courbes qui forment le profil du balustre au moyen d'arcs de cercle, les surfaces de révolution engendrées par ces arcs donneraient lieu à des surfaces se raccordant seulement le long de parallèles, et alors la ligne d'ombre sur le balustre présenterait des angles. Il vaut mieux tracer à simple vue le profil du balustre, en ayant soin de prendre les courbes qui forment ce

profil de manière à les rendre osculatrices aux points où Ton passe de l'une à l'autre.

Autre démonstration du théorème des tangentes conjngnées. — On peut arriver au théorème des tangentes conjuguées en s'appujant sur ce que nous avons démontré (p. 3o6) relativement à la construction des tangentes aux deux branches de la ligne d'intersection de deux surfaces tangentes entre elles en un point.

Nous avons vu que, lorsque deux surfaces sont tangentes entre elles en un point a, si l'on construit sur le plan tangent en a les indicatrices de ces deux surfaces à l'aide du même paramètre, les diamètres communs à ces deux courbes sont les tangentes aux deux branches de la courbe d'intersection des surfaces au pointa.

Si les deux surfaces, au lieu d'être simplement tangentes entre elles en a, sont aussi tangentes entre elles en un point infiniment voisin du point a, alors les deux diamètres des indicatrices doivent se confondre pour ne donner au point a qu'une seule et même tangente aux deux branches de la courbe d'intersection. Pour cela, il faut que les deux indicatrices soient doublement tangentes. Cette circonstance se présente pour les points de la ligne de contact de deux surfaces circonscrites l'une à l'autre.

Soient une surface et la développable qui lui est circonscrite le long d'une courbe (a). Au point a de cette courbe de contact, la surface donnée a pour indicatrice une certaine courbe que nous pouvons tracer sur le plan tangent en a ; la surface développable a pour indicatrice l'ensemble de deux droites parallèles à la génératrice G qui passe par a. Mais, d'après ce que nous venons de dire, cette indicatrice doit être doublement tangente à la première ; l'indicatrice de la surface développable se compose donc de l'ensemble des tangentes à la première indicatrice menées parallèlement à la génératrice G de la surface développable, et la corde de contact de ce système de tangentes est la tangente à la courbe (a). Il est bien clair, d'après cela, que cette tangente est conjuguée de G, et Ton retrouve ainsi le théorème des tangentes conjuguées.

De là il résulte aussi que les cônes qui ont pour sommets des points de la génératrice G sont osculateurs entre eux au point a, car tous ces cônes ont même indicatrice. Cette courbe est tou-