CONSÉQUENCES DU TIIEORÈHE DES TANGENTES CONJUGUÉES
jours, en effet, l'ensemble des tangentes communes à rindicatrice de la surface donnée, menées parallèlement à G.
Cette dernière propriété est utile à l'occasion du problème suivant.
Rayon de conrbure de la courbe de contoor apparent d'une surface donnée. — Construire le rayon de courbure de la courbe de contour apparent d^une surface projetée orthogonalement sur un plan.
Circonscrivons à la surface donnée (S) un cylindre dont les génératrices soient perpendiculaires au plan de projection. Appelons E la courbe de contact de ce c^^lindre et de (S) et E' la trace de ce cylindre sur le plan de projection. La courbe E' est la ligne de contour apparent de (S) sur le plan de projection. Comme cette courbe ne change pas, à quelque distance que Ton transporte ce plan de projection parallèlement à lui-môme, nous supposons que ce plan passe par le point a de E, pour lequel nous allons chercher le rayon de courbure de E'.
Prenons Epour directrice d'une normulie à (S).
Les génératrices de cette normalie sont parallèles au plan de projection et se projettent suivant les normales à E'.
Soient, pour le point a de (S), la normale A que nous supposons placée verticalement, A4 la normale à (S) au point a\ de E, qui est infiniment voisin de a, et c le pied sur A de la perpendiculaire commune à cette droite et à A|. Le point c est le point de rencontre de deux normales à E', qui sont infiniment voisines. (]'est alors le centre de courbure demandé.
On voit ainsi que, pour la génératrice A de la normalie, ce centre de courbure est un point central, et que le plan central est perpendiculaire au plan de projection.
D'après cela, reproduisant \ai fig. 177, on a {^fig* 180) l'angle w que les projetantes font avec le grand axe de l'indicatrice en a qui est égal à l'angle cyy2 q"^ le plan central de la normalie fait avec le plan tangent en y^ à celle surface. Mais cet angle est égal à l'angle yaY^ïî ^'^ ^ alors la construction suivante pour déterminer c :
On mène yj y qui fait avec yi yj V angle donné w. Cette droite
rencontre au point y la circonférence décrite sur y^ ya comme diamètre : la projection de y sur A est le centre de courbure cherché.
On a
Yjc = YC tangco = cyi lang^w.
Désignons par R le rayon de courbure ac de E' en a. La relation précédente peut s'écrire
R — Rî=(Ri~-R)lang«a>, R = Ri sin*a) -+- Rj cos*a).
d'où
Telle est la relation qui existe entre le rayon de courbure de la courbe de contour apparent d'une surface, les rayons de cour-
Fig. i8o.
bure principaux de cette surface et l'angle de la projetante et du grand axe de l'indicatrice pour le point que l'on considère.
Lorsque la surface est à courbures opposées, cette relation devient
R = Ri sin'co — RjCOs'ù).
Si l'on veut que le rayon de courbure de la courbe de contour apparent soit nul, on doit alors avoir
d'où
Ri sin'u) = Rj cos*a),
tang«a)= = ,
é et a étant les demi-axes de l'indicatrice.
Il résulte de là que la direction de la projetante est la direction
