CONSÉQUENCES OU THÉORÈME DES TANGENTES CONJUGUÉES

d'une asymptote de rindicatrice. Ainsi, quand on projette une surface à courbures opposées sur un plan perpendiculaire à la direction d'une asymptote de l'indicatrice en un point de cette surface y le rayon de courbure de la courbe de contour apparent est nul.

Remarque, — Si, au lieu de projeter orthogonalement la surface donnée, on la projette coniquement sur le même plan de projection, en prenant pour sommet du cône projetant un point de la projetante en a, on a, sur ce plan de projection, une courbe de contour apparent dont le rayon de courbure en a est encore ac ; car ce cône projetant et le cylindre projetant, dont nous venons de parler, sont osculateurs en a.

Lignes d'ombre ou de perspective snr les surfaces à courbures opposées. — Pour construire un point de la ligne d'ombre de la surface (S) éclairée par un point lumineux /, employons la méthode des plans sécants.

Par le point lumineux {fig- i8i) menons un plan ; il coupe la

Fig. i8i.

surface suivant une ligne C, et le corps occupe la partie couverte de hachures.

Du point / on peut mener à cette ligne un certain nombre de tangentes; les points de contact de ces tangentes appartiennent à la ligne de contact du cône circonscrit à la surface donnée et dont le sommet est au point lumineux. Mais, pour la question d'ombre, ces points de contact ne jouent pas le même rôle. Les points de contact tels que a, c, rf, / des tangentes extérieures au corps reçoivent le nom de points réels; les points tels que 6, e, qui sont des points de contact des tangentes intérieures au corps, sont appelés points virtuels de la courbe d'ombre.

On peut remarquer que, parmi les points réels, il y en a qui ne

3a4 SECONDE PARTIE. — VINGT-DEUXIÈME LEÇON.

sont pas utiles comme points de la courbe d*ombre; ainsi, le point d est un point réel qui n*est pas utile, car le rayon lumineux Id est intercepté par le corps ; le point d se trouve dans une région qui est dans l'ombre. Les points réels peuvent former une ligne séparée de la ligne formée par les points virtuels ; c'est ce que l'on voit immédiatement en prenant le point lumineux sur l'axe d'une surface de révolution {Jig> 182). Le point c appartient à un parallèle, lieu de points réels, qui est séparé du parallèle auquel appartient le point b\ celui-ci est un lieu de points virtuels.

Fig. 18a.

En général, la ligne de contact du cône circonscrit se partage en arcs formés par des points réels suivis d'arcs formés par des points virtuels ; les points qui séparent ces arcs sontappelés/7om/f de passage ; on donne aussi à ces points de passage le nom de points limites.

Il ressort de la définition des points réels ou virtuels qu'un point limite considéré comme appartenant à l'arc réel est un point de contact d'un rayon lumineux extérieur au corps, et, si au contraire on le considère comme l'extrémité de l'arc virtuel, il est le point de contact d'un rayon lumineux intérieur au corps. Le point limite est donc le point de contact d'une tangente qui passe d'une région dans l'autre ; cette tangente est alors une droite osculatrice de la surface, et par conséquent une asymptote de l'indicatrice. Ainsi, au point limite, le rayon lumineux est une asymptote de Vindicatrice. Dans tout cela, il s'agit, bien entendu, de surfaces géométriques.

Pour avoir la tangente en un point quelconque de la ligne d'ombre, nous avons dit qu'on devait prendre la direction conjuguée du rayon lumineux qui passe par ce point. Pour un point limite, la direction conjuguée du rayon lumineux, qui est une asymptote de l'indicatrice, est cette asymptote elle-même ; donc, au point limite, la ligne d^ ombre est tangente au rayon lumineux.

Réciproquement, les points de contact de la courbe d'ombre