SUPPLÉMENT A LA VINGT-DEUXIÈME LEQON

Droites de courbure, — Conservons toujours les mêmes notations. (C) est la normalie à (S) dont la directrice est C. Au point a de cette courbe menons la normale A à (S) et sur celte droite marquons les centres de courbure principaux. Yi> Yj* ^^ ^^^ points élevons les droites Tj, r,, normales communes à toutes les normalies à (S), dont les directrices partent de a.

3a6 SECONDE PARTIE. — VINGT-DE U XlÉME LEÇON.

Ce sont ces droites Tj, Tj que j'appelle droites de courbure, elles permettent de déterminer ce qui est relatif à la courbure de (S) pour le point a.

Menons le plan (P) tangent en a à (C) et construisons le centre de courbure / de la section qu'il détermine dans (S). Pour cela, élevons en a la perpendiculaire an à (P). D'un point quelconque n de celte droite menons la droite G qui rencontre r, et Fj. Celte droite rencontre (P) en un point qu'il suffit de projeter sur A pour avoir /. G est, en elTet, une génératrice du paraboloïde des normales à la normalie (C), et, par la construction précédente, on voit que (P)esl normal à (C) au point /.

La droite G étant une génératrice du paraboloïde des normales à (C) est parallèle au plan central de cette surface pour la génératrice A, La projection de G sur le plan (T), tangent à (S) en a, est alors parallèle à la trace du plan central de (C) sur ce même plan (T).

Par suite, cette projection donne la direction conjuguée de la trace du plan (P) sur(T).

Ainsi : la projection de G sur le plan Kan rencontre A au centre de courbure de la section faite dans (S) par le plan (P) et la projection de G sur (T) donne la direction conjuguée de la trace de (P) sur ce plan.

Définitions de quelques lignes tracées sur une surface (*)• — Nous avons déjà parlé des lignes de courbure dues à Monge.

(') O. BosNET, Mémoire sur la théorie générale des surfaces {Journal de l'École Polytechnique j XXXII* Cahier).

LiouviLLB, nouvelle édition de VApplication de l'Analyse à la Géométrie suivie des Disquisitiones générales circa superficies curvas de Gauss el de Noies importantes, Paris, i85o.

E. BooR, Théorie de la déformation des surfaces {Journal de l'École Polytechnique, XXXIX* Cahier).

O. BoîiîCET, Mémoire sur la théorie des surfaces applicables sut* une surface donnée {Journal de l'École Polytechnique y XLI« et XLIP Cahier).

Lamé, Leçons sur les coordonnées curvilignes.

Cmasles, Théorie analytique des courbes à double courbure de tous les ordres tracées sur l' hyper boloïde à une nappe { Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences y t86i).

L'abbé Aoust, Analyse infinitésimale des courbes tracées sur une surface quelconque ; Paris, 1869.

Ph. Gilbert, Mémoire sur la théorie générale des lignes tracées sur une surface quelconque {Mémoire de l'Académie de Belgique, t. XXXVII).

RiBACcocR, Propriétés de courbes tracées sur les surfaces ( Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, i5 mars 1875).