LIGNES TRACÉES SUR UNE SURFACE

Dupin a donné le nom de ligne asymptotique à lïne courbe traeée sur une surface et qui a pour tangente en chacun de ses points une asymptote de l'indicatrice de la surface en ce point.

La surface développable, circonscrite à une surface donnée le long d'une ligne asymptotique, a pour génératrices, d'après le théorème des tangentes conjuguées, les tangentes à cette ligne. D'après cela, les plans oscuiateurs d'une ligne asymptotique sont tangents à ia surface sur laquelle cette ligne est tracée. Réciproquement, une ligne tracée sur une surface et dont les plans oscuiateurs sont tangents à cette surface est une ligne asymptotique.

Une ligne de longueur minima sur une surface est -la plus courte entre deux quelconques de ses points. En prenant deux points infiniment voisins, on voit que le rayon de courbure de la courbe doit être maximum et, par suite, que son plan osculateur est normal à la surface (*).

Entre deux points d'une surface, la ligne la plus courte que l'on peut tracer sur la surface porte le nom de ligne géodésique. D'après ce que nous venons de dire, le plan osculateur d'une ligne géodésique est, en chaque point de la courbe, normal à la surface sur laquelle est tracée la ligne géodésique. Par extension, on donne encore le nom de ligne géodésique à une courbe tracée sur une surface et qui, en chacun de ses points, a son plan osculateur normal à cette surface.

On dit qu'une courbe est surosculée par son cercle osculateur lorsqu'elle a avec ce cercle un contact du troisième ordre. Aux sommets des coniques on a des cercles qui surosculent ces courbes. M. de la Gournerie a étudié (') sur les surfaces du second ordre les lignes tangentes aux sections normales surosculées par des cercles, et il a démontré que ces courbes sont les lignes de contact de surfaces développables circonscrites à la surface du second ordre donnée et à des sphères concentriques. C'est en raison de cette propriété qu'il a donné à ces courbes le nom de polhodiey qui avait été employé par Poinsot seulement dans le cas de l'ellipsoïde central.

M. Ribaucour a établi un théorème remarquable (') relatif à la section faite dans une surface par un plan mené par une tangente à cette surface et tel que cette section soit surosculée par un cercle. Pour cela, il a considéré une ligne tracée sur la surface et qu'il appelle

(*) Bertra?(d, Démonstration géométrique de quelques théorèmes relatifs à la théorie des sur/aces {Journal de Mathématiques de Liouville, i'* série, l. XIII, p. 73 ).

(') Traité 'de Géométrie descriptive, III' Partie, p. 96.

(') Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, i5 mars 1876.

courbe à courbure normale constante. Celte ligne est telle que les sections normales à la surface sur laquelle elle est tracée, et qui lui sont menées tangentiellement, ont des rayons de courbure égaux.

M. Darboux a considéré les courbes tracées sur une surface (S) et telle que leurs sphères osculatrices sont tangentes à cette surface (*).

En raisonnant comme nous Tavons fait dans le Supplément à la vingt et unième Leçon pour démontrer le théorème de Meusnier, on voit que les plans osculateurs de cette courbe déterminent dans (S) des sections qui sont surosculées par leurs cercles osculateurs (*). Il est facile de voir aussi que, sur la normalie à (S), qui a l'une de ces courbes pour directrice, les centres des sphères osculatrices de cette courbe appartiennent à une ligne asymptotique.

Développée d'une snrface. — A partir d^un point a d^une surface (S), il y a deux lignes de courbure. Ces lignes de courbure sont les directrices de deux normalies développables. En décrivant Tune de ces normalies la normale A à (S) en a reste tangente à l'arête de rebroussement de cette normalie. En décrivant Tautre normalie, A reste tangente à Tarête de rebroussement de cette autre normalie.

Le lieu des arêtes de rebroussement des normalies développables se compose des deux nappes de la surface lieu des centres de courbure principaux de (S). C'est cette dernière surface que nous appelons développée de (S).

Une normale quelconque de (S) est tangente aux deux nappes de cette développée, et, aux points de contact, les plans tangents à ces nappes sont à angle droit: Cette propriété est due à Monge; je n'ai fait que lui donner une autre forme en énonçant le théorème sur les normalies (p. agS).

Les nappes de la développée de (S) forment la surface focale de la congruence formée par les normales à (S). Les foyers d'un pinceau [A] sont les centres de courbure principaux de (S) sur A, et les plans focaux de ce pinceau sont les plans des sections principales de (S) menés par A.

Théorèmes analogues an théorème de Mensnier ('). — Traçons sur une surface (S) des courbes (aj), (ûtj), . . . tangentes entre elles en a. Le long de ces courbes circonscrivons à (S) des surfaces développables.

(') Annales scientifiques de l'École Normale supérieure, t. VII, 1870. (•) RiBAucocR, Propriétés de courbes tracées sur les surfaces {loc. citJ). (') Voir, dans les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences j ma CommunicatioQ du 5 février 187a.

THÉORÉ&IES ANALOGUES AU TIIÉORBVE DE HEUSNIER. 3^9

Ces surfaces ont une génératrice commune ax, qui est la tangente conjuguée de la tangente at aux courbes («i), (fl^j), .... Prenons les normalies à (S) qui ont ces courbes pour directrices.

L'axe de courbure de la surface développabie (') circonscrite à (S) le long de (aj) est dans le plan normal à (S) mené par az et passe par le point p, où ce plan touche la normalie à (S) dont la directrice est (aj). De même, pour la surface développabie circonscrite à (S) le long de (ûr,), Taxe de courbure passe par le point où ce même plan normal touche la normalie à (S) dont la directrice est (a,).

Mais les normalies à (S), dont les directrices sont les courbes («i), (ûT,), . . . tangentes entre elles en a, se raccordent le long de la normale A à (S) au point a\ le plan normal (A, ai) touche alors toutes ces normalies au même point p, et Ton peut dire :

Lorsque des courbes tracées sur une surface (S) sont tangentes entre elles en un point a, les surfaces déi^eloppables circonscrites à {S) le long de ces courbes ont, pour axes de courbure relatifs à la génératrice qui passe en a, des droites qui passent par un même point p de la normale A à (S) en a,

La surface polaire d'une courbe quelconque (a) tracée sur une surface (S), c'est-à-dire la surface enveloppe des plans normaux à cette courbe, est une surface circonscrite à la normalie à (S) dont (a) est la directrice. La courbe de contact de ces deux surfaces coupe A au point a. où Taxe de courbure de (a) rencontre cette normale.

Prenons sur (S) des courbes osculatrices entre elles en a. Elles ont un même axe de courbure relatif à ce point. Leurs surfaces polaires contiennent cette droite et sont circonscrites aux normalies à (S), dont ces courbes sont les directrices. Les courbes de contact avec ces normalies passent par le point a, et, en vertu du théorème des tangentes conjuguées, elles sont tangentes entre elles en ce point.

En appliquant le théorème précédent, nous pouvons dire maintenant :

Lorsque des courbes tracées sur une surface sont osculatrices entre elles, les axes de courbure de leurs surfaces polaires passent par un même point.

Par le cercle osculateur de (a) faisons passer une sphère. Appelons E l'intersection de cette sphère et de (S). L'axe de courbure de a) rencontre la sphère en un point y> qui est le centre de courbure sphérique de E.

( * ) Voir page 260 la définition de cet axe de courbure.

33o SECONDE PARTIE. — VINGT-DEUXIÈME LEÇON.

La surface polaire de E rencontre la sphère suivant la développée sphérique de E, c'est-à-dire suivant l'enveloppe sur la sphère des grands cercles normaux à E. L'axe de courbure de la surface polaire de E rencontre la sphère au centre de courbure de cette développée sphérique correspondant à y.

Prenons différentes sphères passant par le cercle osculateur de (a), et leurs intersections Ej, Ej, . . . avec (S). Les développées sphériques de ces courbes ont, pour centres de courbure sphérique relatifs à ce point, les traces sur les sphères des axes de courbure des surfaces polaires de Ej, E„ .... Comme ces dernières droites passent par un même point et respectivement par les centres des sphères, on peut dire :

Lorsque y par le cercle osculateur en a d'une courbe {a) tracée sur une surface (S), on fait passer des sphères, celles-ci coupent (S) suivant des courbes dont on obtient les centres de courbure de leurs développées sphériques en projetant un même point sur ces sphères.

Il est utile de remarquer que le point que l'on projette est dans le plan normal à (S) mené tangentiellement en a à («).

GonstraiTe pour un point de la courbe d'intersection de deux surfaces : 1"* l'axe de courbure de cette courbe ; 2"* le centre de la sphère osculatrice (*). — Soit (a) la courbe qui résulte de l'intersection des deux surfaces données (S) et (S'). Désignons par at la tangente à {a) au point a.

En vertu du théorème de Meusnier, le plan normal à (S), mené par at, est rencontré par l'axe de courbure cherché au centre de courbure de la section qu'il détermine dans (S). On peut répéter la même chose en prenant la section faite dans (S') par le plan normal à cette surface, mené par at. On a donc l'axe de courbure de {a) en joignant par une droite les centres de courbure des sections faites dans (S) et (S') par les plans respectivement normaux à ces surfaces et menéîi par at.

Le plan mené par at perpendiculairement à cet axe de courbure est le plan osculateur de {a) en a, et le point de rencontre de ce dernier plan et de l'axe de courbure est le centre de courbure de (a). Celte construction, due à Hachette, résulte, comme on le voit, du théorème de Meusnier. De même, pour résoudre la seconde partie du problème,

( » ) Voir mes Notes dans le Bulletin de la Société mathématique de France, 1874, et dans les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 'J7 novembre 1876.