THÉORÈME DE DUPIN SUR LES SURFACES ORTHOGONALES

nous allons appliquer le théorème analogue au théorème de Meusnier, qui vient d'être démontré.

Considérons d'abord (a) sur (S). Parmi toutes les sphères qu'on peut mener par le cercle osculateur de (a) en a, il y a celle dont le centre est à l'infini et qui se réduit au plan osculateur de (a). Ce plan coupe (S) suivant une courbe dont le centre de courbure o de la développée est la projection orthogonale d'un certain point ^, Ce point p est aussi dans le plan normal à (S) mené par la tangente at. En supposant connu le point 8, il est alors facile de déterminer p.

De même, en considérant (a) sur (S'), on a un point p' analogue à ^ en employant un point o' analogue à 8.

Prenons maintenant la sphère osculatrice de (a) et désignons par o son centre.

D'après le dernier théorème démontré, il faut joindre p ou p' au centre o de cette sphère pour avoir le centre unique de courbure de la fléveloppée sphérique des courbes d'intersection de cette surface avec (S) et (S').

Inversement, le centre o se trouve sur la droite pp'. D'après cela, on a la construction suivante :

On détermine les centres de courbure o, 8' des développées des sections faites dans (^) et {S') par le plan osculateur de (a) en a. On élève en ces points des perpendiculaires à ce plan. Elles rencontrent respectivement en p, p' les plans menés par at normalement à (S) et à (S' ) : la droite pp' rencontre le plan normal en a à {a) au centre o de la sphère osculatrice demandée.

Cette solution exige qu'on sache construire le centre de courbure de la développée de la section faite dans une surface par un plan, problème dont j'ai donné différentes solutions (*).

Théorème de Dnpin sur les surfaces orthogonales. — Si trois séries de surfaces sont telles que chaque surface de l'une quelconque de ces séries coupe orthogonalement les surfaces des deux, autres séries, on dit que ces surfaces forment un système triplement orthogonal. Dans un système triplement orthogonal, la ligne d'intersection de deux sur/aces appartenant à deux séries différentes est une ligne de courbure pour chacune de ces surfaces (*).

(') Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, i5 et aa mars (') Développements de Géométrie, quatrième Mémoire.

Prenons {fig* i83) les surfaces de chacune des séries qui passent par un point quelconque o. Soient oa, oft, oc des éléments égaux entre eux des lignes d'intersection de ces surfaces. Les droites oa, 06, oc normales aux* trois surfaces forment un trièdre trirectangle.

Amenons la normale oc en ûtc, et supposons qu'elle soit extérieure au trièdre. On a deux surfaces se coupant à angle droit suivant oa\ les normales à ces surfaces en a sont ac^^ ab^ perpendiculaires l'une à l'autre, et ah^ est à l'intérieur du trièdre, puisque nous supposons que acx est à l'extérieur.

Amenons la normale oc en 6c,. Cette droite est extérieure au trièdre comme aci, en vertu d'un théorème de M. Bertrand (p. 3oo). Puis on a une autre normale ha^^ qui est alors à l'intérieur du trièdre.

Fig. ,83.

c ir.

La normale ah^ peut être considérée comme la nouvelle position de 06, dont le pied est venu en a. En déplaçant alors oh de façon que son pied vienne en c, elle sera intérieure au trièdre comme ab^.

On peut répéter la même chose pour 6a, et ca,, nouvelles positions de oa, et qui sont alors toutes deux à Fintérieur du trièdre.

On arrive ainsi à avoir les deux normales ca,, c6,, qui sont à angle droit et qui sont toutes deux à l'intérieur, ce qui est impossible, d'après un théorème démontré page aSo. Nous arriverions de même à une impossibilité, en supposant d'abord que ac^ est à l'intérieur du trièdre. On voit alors que oc doit se déplacer dans le plan de la face coa, c'està-dire que oa est la direction d'une ligne de courbure. Cela est vrai pour ob et oc, et, comme le point o est arbitraire, le théorème est démontré.

Constraction des centres de conrbnre principaux de la surface de ronde (*) (Appl. de Géom. ciném.). — Lorsqu'une figure de forme invariable se déplace de façon que ses points décrivent des surfaces tra-

(') Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, 11 février 1867.

CENTRES DE COURBURE DE L4 SURFACE DE l'oNDE. 333

jectoires, nous avons vu que, pour une position quelconque de la fîgure, les normales à ces surfaces rencontrent les mêmes deux droites D, A, et qu^une droite G entraînée engendre un pinceau, dont on a les foyers, en prenant les pieds sur G des perpendiculaires à cette droite qui rencontrent D et A.

Supposons maintenant, pour définir le déplacement, qu'au lieu de prendre quatre points assujettis à rester sur quatre surfaces données on ait les deux points a et 6 confondus en un seul o, les surfaces [a], [6] restant distinctes, et une droite G assujettie à toucher deux surfaces données (2i), (Sj).

Le point o, réunion des points a et 6, ne peut alors décrire que la ligne d'intersection (o) des surfaces [a], [b].

Déterminons D, A. Menons en o les normales A, B aux surfaces [a], [b]. Ces droites déterminent un plan. On joint par une droite les traces, sur ce plan, des droites Tj, r, normales à (Sj), (2,) et menées à partir des points Yj, Yj» où G touche ces surfaces. On obtient ainsi la droite A, qui rencontre bien les quatre droites A, B, Tj, 1%.

Pour avoir D, on mène de o une droite qui rencontre r, et r,. Oh peut remarquer qu'on n'emploie que le plan (A, B) des droites A et B, c'est-à-dire le plan normal en o à (o), et non les droites A, B ellesmêmes. On pouvait prévoir qu'il en serait ainsi, puisque (o) peut être considéré comme Tintersection d'autres surfaces dont les normales en a sont dans le plan (A, B).

Appliquons cela à la recherche des centres de courbure principaux de la surface de l'onde. Reprenons les notations et la Jig, i53 de la dix-huitième Leçon.

Proposons-nous de construire les centres de courbure principaux de la surface de Tonde [m,] qui sont sur la normale nii/^.

Puisque o/Wj est égal à om et que la normale /w,/i est perpendiculaire à mn, la droite oi est la bissectrice de l'angle droit/, im.

La figure mobile de grandeur invariable que nous allons considérer est formée par les trois droites /i /, oi, mi. Nous définissons son déplacement en disant : la droite oi passe constamment par le point fixe o et la droite mi reste tangente aux deux nappes (Sj), (2,) de la développée de l'ellipsoïde.

Quel que soit le déplacement infiniment petit de la figure mobile, il y a toujours un point de oi, infiniment voisin de o, qui vient en ce point. Nous pouvons alors considérer le point o comme décrivant toujours un élément de la ligne oi.

Nous nous trouvons alors dans les conditions précédentes et nous construisons alors D et A au moyen d'un plan perpendiculaire à oi

mené par le point o et des droites Tj, Tj. Ces dernières droites sont maintenant les droites de courbure de l'ellipsoïde.

Connaissant D, A, nous n'avons plus qu'à mener les droites qui les rencontrent et qui sont perpendiculaires à m,/i. Nous avons ainsi les droites de courbure de la surface de Tonde, puisque pendant les déplacements de la figure mobile la droite /w,/i engendre un pinceau de normales. Les pieds sur mj/, de ces droites de courbure sont les centres de courbure principaux demandés, et les plans déterminés par ces droites et par /W|/i sont les plans des sections principales de la surface de Tonde.

Nous pouvons déduire de là le théorème suivant :

Pour les points correspondants m, m^ de l ^ellipsoïde et de la surface de l'onde, les droites de courbure de ces sur/aces jouissent de ces propriétés ; du point o on peut mener une droite D qui les rencontre toutes les quatre; les traces de ces quatre droites sur le plan mené du point o perpendiculairement à oi sont des points d'une droite A.

Détermination géométriqne des ombilics de la surface de Tonde ('). — Pour déterminer les ombilics de la surface de Tonde (*), nous allons employer la construction que nous venons de trouver pour déterminer les centres de courbure principaux et les plans des sections principales de la surface de Tonde.

Faisons tout d'abord remarquer que cette construction est symétrique par rapport à Tellipsoïde et à la surface de Tonde, c'est-à-dire que, les éléments de courbure de Tune des surfaces étant donnés, on peut les employer à la recherche des éléments analogues pour l'autre surface.

Prenons toujours pour plan de la Jig. i84 le plan passant par le centre o de Tellipsoïde et par la normale mn en m à cette surface, et appelons m, le point de la surface de Tonde correspondant à m.

Supposons que mj soit un ombilic de la surface de Tonde [/Wi]. Les centres de courbure principaux de cette surface, correspondant à m,, sont alors confondus en un seul point que nous appelons {Xj. La droite D de la construction précédente est maintenant Ojx,. La droite A est une perpendiculaire au plan de la figure, issue du point d'interseclion c

(') Comptes rendus des séances de l* Académie des Sciences, 5 mai 1879, cl Mémoire sur ta théorie de la courbure des surfaces^ par M. de Salveit {^Annales de la Société scientifique de Bruxelles; 1881 ).

(') Il ne s'agit pas des points coniques qu'on appelle aussi quelquefois ombilics.

OMBILICS DE LX SURPAGE DE l'onDE.

des droites |i,ô et o5, tracées sur le plan de la figure perpendiculairement à m, |Xi et oi.

Abaissons sur mFi la perpendiculaire 8yi; cette droite rencontre D et A. Du point fu où D rencontre /n/z, menons une perpendiculaire au plan de la figure : cette droite rencontre aussi D et A.

Les points Yi> Yi sont alors les centres de courbure principaux, de Tellipsoïde correspondant à /n, et les plans des sections principales de celte surface pour ce point sont le plan de la figure et le plan perpendiculaire à celui-ci mené par mn.

Nous trouvons donc que, pour le point m de Tellipsoïde, d'où dérive

Fig. 184.

un ombilic de la surface de Fonde, le plan d'une des sections principales de Tellipsoïde contient le centre de cette surface. Ce point m doit être alors dans Tun des plans principaux de l'ellipsoïde, et il en est de même de Tombilic qui lui correspond.

Ainsi, les ombilics de la surface de Vonde sont dans les plans de symétrie de cette surface»

La construction qui donne les centres de courbure principaux yi, Yï montre que Tangle Yi^H^i est droit; on peut dire alors :

Un point m de V ellipsoïde, d^oà dérive un ombilic m^ de la surface de Vonde, est tel, que. les diamètres o^i, o^^, allant aux centres de courbure principaux de l'ellipsoïde relatifs à ce point, sont à angle droit.

Le point yi est le centre de courbure de la section faite dans Tellipsoïdepar le plan de la figure que nous savons être un plan principal de cette surface. L'autre centre de courbure Yi et les autres plans principaux déterminent, comme on sait, sur la normale mn des seg-

SECONDE PARTIE. — VINGT-DE rXIÈMB LEÇON.

ments mesurés à partir de m qui sont proportionnels aux carrés des axes de l'ellipsoïde.

En faisant tourner d'un angle droit le plan de la figure autour de o, le point m vient en m^ sur la conique de [/w,], située dans le mênoie plan principal. Cette courbe doit alors avoir |j., pour centre de courbure, et le point y',, nouvelle position de Ys, doit remplir sur m, /ij le même rôle que y, sur mn.

D'après cela, on voit, en représentant la surface de Tonde {fig> i85), que nous devons déterminer, sur Tune des coniques de cette surface,

un point m^y pour lequel Tangle y',o|Xi soit droit, le point y', étant tel que sur la normale m^ ^ on ait

en appelant a, 6, c les longueurs des demi-axes oa, ob, oc de la surface de Tonde et en conservant les notations précédentes.

Désignons par / et ^ les coordonnées inconnues de m^, 11 résulte des conditions que doit remplir ce point que Ton a

Au moyen de cette relation, construisons m^. Appelons g Tun des points singuliers delà surface de Tonde et w Tangle a:og. On a

I 6«(a«— ci) cos*w ~ a*(62 — c')*

par suite,

b^ r a* cosu)

OMBILICS DE LA SURFACE DE L*ONDB. SSj

Par le point m^, menons le plan m^pm' parallèlement au plan des xy (le point m' est sur la circonférence dont le rayon est oa). Désignons m' p par Ç; on a

el

L alors

COSd)

En appelant

<p Tan

gle œom', on

a alors

ue Ton peut

écrire

lang»«p

= COSd)

cos^tocosçp = cos

La bissectrice ov de Tangle xog fait donc avec om! un angle égal

à y • On détermine alors les ombilics de la surface de Tonde de la ma-

nière suivante :

On mène la bissectrice ov de V angle xog que le diamètre og fait avec l'un des axes ox de la conique qui contient g. A partir

de o, on mène une droite faisant avec ov un angle égal à 7» Cette

droitCy en tournant autour de ov, engendre un cône qui rencontre en quatre points la circonférence de rayon oa. Par ces points on mène des plans parallèles au plan des xz. Ces plans rencontrent la conique de la surface de l'onde, située dans le plan perpendiculaire à oXy en quatre points réels qui sont des ombilics de la surface de ronde.

En employant la bissectrice de Tangle goz^ on trouve quatre ombilics réels sur la conique dont le plan est perpendiculaire à oz.

On voit ainsi que sur la surface de l'onde il y a huit ombilics réels, et Ton voit aussi comment on détermine ces points.

On peut remarquer que la conique qui contient les points singuliers réels est la seule sur laquelle il n'y a pas d'ombilics réels.

338 SECONDE PARTIE. — VINGT-TROISlàME LEÇON.