VINGT-TROISIÈME LEÇON

LIGNES D'OMBRE PORTÉE SUR LES SURFACES A COURBURES OPPOSÉES. - CONSTRUCTIONS DES LIGNES D'OMBRE PROPRE SUR LES SURFACES DE RÉVOLUTION ET DES TANGENTES A CES LIGNES,

Tangente à la courbe d*ombre portée. — Raccordement des lignes d'ombre propre et d'ombre portée sur les surfaces à courbures opposées. — Points de rencontre des lignes d'ombre propre et d'ombre portée. — Cône d'ombre. — Ligne de contour apparent d'une surface à courbures opposées. — Constructions des lignes d'ombre propre sur les sur/aces de révolution. — Surface de révolution considérée comme enveloppe de cônes de révolution. — Surface de révolution considérée comme enveloppe de sphères. — Le point lumineux est supposé dans le plan méridien parallèle au plan vertical de projection. — Constructions de la tangente en un point de la ligne d* ombre sur une sur/ace de révolution, — Première construction au moyen de l'indicatrice. — Deuxième construction au moyen d'une surface du second ordre osculatrice et de révolution.

Supplément. — Troisième construction de la tangente en un point de la ligne d'ombre sur une surface de révolution. — Construire les rayons bitangents à un tore éclairé par un point lumineux. — Construire les rayons bitangents à un tore éclairé par des rayons lumineux parallèles entre eux.

Coupons la surface (S), qui termine le corps (Jig* i86), éclairé

Fig. i86.

par un plan mené par le point lumineux /. Menons de ce point des tangentes à la section C ainsi obtenue ; ces droites peuvent de nouveau rencontrer cette courbe : ainsi, le point de contact a de la tangente la a pour ombre portée le point a', où la droite la rencontre la courbe C. La droite Ih rencontre cette courbe au point

LIGNES d'ombre PORTÉE. SSg

b\ qui fait partie de la courbe d'intersection de la surface (S) et du cône circonscrit à cette surface, mais qui n'appartient pas à une ligne d'ombre portée. On dit que le point a', qui appartient à une tangente extérieure, est un point réel de la courbe d'ombre portée; le point 6', qui appartient à une tangente intérieure, est dit un point virtuel de cette courbe. On a alors sur cette courbe des arcs réels et des arcs virtuels et des points de passage de ces arcs réels aux arcs virtuels; nous allons faire voir que les points de passage des lignes d'ombre portée sont les points limites des lignes d'ombre propre.

Prenons {/ig- 187) un rayon lumineux tangent à la courbe

Fig. 187.

d'ombre ; il a alors avec la surface trois points infiniment voisins communs m, n,/?. Si l'on considère les deux points n et p comme appartenant à une tangente extérieure, le point m est un point réel de la courbe d'ombre portée ; si l'on considère les points m et n comme formant par leur réunion le point de contact d'une tangente intérieure, le point p est un point virtuel de la courbe d'ombre portée. On voit ainsi que, selon que l'on considère la tangente intérieure ou la tangente extérieure en un point limite de la courbe d'ombre propre, on obtient un point de la courbe d'ombre portée que l'on peut regarder comme réel ou virtuel; un point limite de la courbe d'ombre propre est donc aussi point limite pour la courbe d'ombre portée.

Tangente à la courbe d'ombre portée. ^ — Pour construire la tangente au point a' à la courbe d'ombre portée (/ig» 186), on n'a qu'à prendre l'intersection du plan tangent en a' à (S) avec le plan tangent au cône d'ombre le long de la génératrice la'. Mais ce plan tangent au cône d'ombre n'est autre que le plan tangent en a à la surface (S) qui limite le corps éclairé ; la tangente en a' à la courbe d'ombre portée est donc l'intersection des plans tangents en a' et a à la surface (S).

34o SECONDE PARTIE. •— VINGT-TROISIÉHB LEÇON.

Raccordement des lignes d'ombre propre et d'ombre portée snr les surfaces à courbures opposées. — Dans le cas particulier où le point de la courbe d'ombre portée est un point limite, on doit prendre l'intersection de deux plans tangents infiniment voisins dont les points de contact [sont dans la direction d'une asymptote |de l'indicatrice ; la droite d'intersection de ces deux plans est alors l'asymptote elle-même. Ainsi, en un point limite la tangente à la courbe d'ombre portée est le rayon lumineux lui-même; par conséquent, aux points limites, les courbes d'ombre propre et les courbes d'ombre portée se raccordent.

Il est essentiel de bien voir comment se succèdent les arcs des courbes d'ombre propre et d'ombre portée.

Pour le montrer, considérons un demi-tore {fi g» i88) et le

Fig. i88.

point lumineux /. Menons du point / des tangentes au tore; la tangente la le rencontre de nouveau au point a', la tangente Ib rencontre cette surface au point 6', la tangente le donne le point c', et enfin la tangente Im touche le tore au point limite m. Les points a, 6, c, m forment un arc réel de la courbe d'ombre propre; à partir du point m, la ligne d'ombre propre devient virtuelle, mais cet arc est prolongé par un arc réel de la courbe d'ombre portée. Ainsi, au point m les arcs réels des courbes d'ombre propre et d'ombre portée se raccordent, et c'est en ce point m que ces deux arcs, si on les prolonge, deviennent simultanément virtuels.

Points de rencontre des lignes d'ombre propre et d'ombre portée. — Le point m est un point de rencontre d'une ligne d'ombre propre et d'une ligne d'ombre portée. 11 peut exister d'autres points de rencontre des courbes d'ombre propre et d'ombre portée. Supposons qu'un rayon lumineux (^^. 189) soit bitangent

CONE D*OUBRE. 34l

à la surface (S) : chacun des points de contact a et cl appartient à la ligne d'ombre propre. Mais le point a' peut être considéré comme Tombre portée par le point a; on a donc au point a' un point de rencontre des courbes d'ombre propre et d'ombre portée. Au point «', la tangente à la courbe d'ombre propre est la tangente conjuguée du rayon lumineux a'/; la tangente en a' à la courbe d'ombre portée, étant l'intersection du plan tangent en a'

Fig. 189.

et du plan tangent en a à la surface éclairée, est le rayon lumineux, excepté quand les plans tangents en ces points se confondent. Ainsi, en général, en un point de rencontre d'une courbe d'ombre propre et d'une courbe d'ombre portée^ tes tangentes à ces courbes sont conjuguées, et l'on peut dire que cela est vrai pour le point limite, puisque, la tangente au point limite à l'une ou à l'autre de ces courbes étant l'asymptote de l'indicatrice, cette droite est confondue avec sa direction conjuguée.

Cette propriété, relative à la direction des tangentes en un point de rencontre d'une courbe d'ombre propre et d'une courbe d'ombre portée, subsiste lorsque l'on considère l'ombre portée d*un corps sur un autre. Ainsi, un tore porte son ombre sur un autre tore; il y a alors, sur cette seconde surface, à la fois une ligne d'ombre propre et une ligne d'ombre portée par le premier tore; au point de rencontre de ces lignes, leurs tangentes donnent deux diamètres conjugués de l'indicatrice.

Cône d'ombre. — Les rayons lumineux bitangents sont, sur le cône d'ombre, des génératrices doubles, et, si l'on prend la trace de ce cône d'ombre sur une surface extérieure à l'objet éclairé, ces génératrices doubles donnent des points doubles de la ligne d'ombre portée -, en ces points doubles , les tangentes à la courbe d'ombre portée sont les traces des plans tangents à (S) aux points de contact des rayons bitangents. Les génératrices du cône d'ombre

qui passent par les points limites donnent des points de rebroussement sur cette courbe d'ombre portée, et les tangentes en ces points sont les traces des plans tangents à (S) aux points limites.

Ligne de contour apparent d'nne surface à coorbores opposées- — Ce qui précède s'applique lorsque Ton prend la ligne de contour apparent d'une surface à courbures opposées. Projetons, par exemple, un tore sur un plan ; on a {^fig* 190) une courbe parallèle à une

Fig. 190.

ellipse ; j et f sont des points de rebroussemenl de la ligneMe contour apparent du tore sur ce plan ; ces points terminent un arc réel jpf\ les points d et d' sont des points doubles de cette ligne de contour apparent.

Si, au lieu de projeter le tore, on suppose cette surface éclairée par des rayons lumineux parallèles à la direction des projetantes que nous venons de considérer, on obtient toujours {fig' 191) la

courbe parallèle à une ellipse, mais dans ce cas les arcs utiles sont simplement des portions de cette courbe.

Nous allons appliquer ce qui concerne la courbure des surfaces à la construction des tangentes aux lignes d'ombre propre sur les surfaces de révolution. Construisons d'abord ces lignes.