CONSTRUCTIONS DBS LIGNES D OMBRE

œNSTRUCTlONS DES UGNES D'OMBRE PROPRE SUR LES SURFACES DE RÉVOLUTION.

Surface de réYolntion considérée comme enveloppe de cônes de révo- Intion. — Prenons {^fig* 192) un tore dont Taxe est perpendicu-

Fig. 193.

laire au plan horizontal de projection; soil (/, /') le point lumineux. Pour déterminer les points de la ligne d^ombre situés sur des parallèles du tore, considérons cette surface comme l'enveloppe de cônes de révolution dont les caractéristiques sont ces parallèles; a' 6' étant la projection du parallèle sur lequel nous cherchons un point de la courbe d'ombre, menons au point a' une

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tangente à la courbe méridienne. Cette droite est la génératrice de contour apparent du cône circonscrit au tore le long de dV \ la trace de ce cône, sur le plan horizontal à la hauteur du point /', est une circonférence de cercle qui se projette horizontalement suivant la circonférence décrite du point o comme centre avec oc pour rayon. Les lignes d'ombre propre sur ce cône sont des génératrices, dont on obtient des points en construisant les points de contact des tangentes à cette circonférence menées du point /; sur o/, comme diamètre, on décrit une circonférence de cercle qui rencontre en deux points ^, ^ la circonférence décrite du point o comme centre avec oc pour rayon -, les droites oe, og sont les projections horizontales des lignes d'ombre sur le cône \ ces droites rencontrent la projection horizontale du parallèle dU en deux points m etn, qui sont les projections horizontales de deux points de la courbe d'ombre cherchée.

Dans cette construction, il faut tenir compte de la position du parallèle sur le cône relativement au sommet de ce cône et à la base de cette surface sur le plan horizontal à la hauteur du point U\ on voit, dans le cas de la figure, que db' est entre ce plan horizontal et le sommet du cône : les points tels que m et n sont alors entre la projection horizontale o du sommet du cône et les points e, g, qui appartiennent à la base de ce cône.

La courbe d'ombre est symétrique par rapport à la droite 0/5 les points de la courbe d'ombre qui se projettent sur celte droite sont ceux pour lesquels la tangente est horizontale; 'par conséquent, ce sont le point le plus haut et le point le plus bas de celte courbe. Pour les construire, on n'a qu'à chercher les points de la courbe d'ombre situés sur les méridiens qui se projettent sur oL

Quel que soit le méridien du tore, on peut construire les points de la ligne d'ombre situés sur ce méridien, en considérant le tore comme l'enveloppe de cylindres de révolution. On est ainsi conduit aux tracés mêmes que nous venons d'obtenir en cherchant les points de la courbe d'ombre situés sur des parallèles.

Sur les lignes de contour apparent, on obtient très facilement des points de la courbe d'ombre propre. Par exemple, sur la projection verticale, on a des points de la courbe d'ombre propre en prenant les points de contact des tangentes menées du point /' à la ligne de contour apparent du tore sur le plan vertical de pro-

CONSTRUCTIONS DES LIGNES d'oMBRI:. 345

jectîon; car on peut considérer cette courbe comme la trace sur le plan vertical d'un cylindre circonscrit au tore et dont les génératrices sont perpendiculaires au plan vertical de projection. Les lignes d*ombre sur ce cylindre sont les perpendiculaires au plan vertical qui passe par les points de contact des tangentes à la base de ce cylindre menées du point /'; on a donc les points i et y qui représentent les projections verticales des lignes d'ombre propre sur le cylindre projetant le tore. Ces droites rencontrent la ligne de contact du tore et du cylindre circonscrit aux points de la courbe d'ombre cherchée; les points i et j sont alors les projections des points de l'ombre propre sur le tore, et en ces points la projection de la ligne d'ombre propre est tangente à la ligne de contour apparent du tore sur le plan vertical.

Ce que nous venons de dire pour la projection verticale peut so répéter pour la projection horizontale. On obtient des points de la ligne d'ombre propre en menant, à la ligne de contour apparent du tore sur le plan horizontal, des tangentes issues du point /.

Dans le cas où les rayons lumineux sont parallèles entre eux, on détermine la courbe d'ombre propre en transportant les cônes circonscrits au tore de manière à leur donner pour sommet un point commun sur l'axe de révolution.

Surface de réYolntion considérée comme enveloppe de sphères. — Une surface de révolution étant l'enveloppe de sphères, cherchons, dans le cas de rayons lumineux parallèles, la ligne d'ombre propre au moyen de sphères enveloppées.

Fig. 193.

Considérons {fig- ipS) la sphère qui touche la surface de révolution le long du parallèle ab, La ligne d'ombre propre sur cette sphère se projette suivant une courbe semblable à la courbe que

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l'on obtient en prenant une sphère auxiliaire d'un rayon arbitraire Oiat. Supposons qu'on ait construit cette courbe d'ombre propre sur cette sphère; on n'a alors qu'à mener du centre o^ une parallèle Oitti au rayon oa, puis du point a^ une parallèle à ab'^ cette droite rencontre la courbe d'ombre'propre au point m^ ; en menant du point o une parallèle à 0| mi, on obtient sur le parallèle ab le point m qui appartient à la courbe d'ombre propre sur la surface de révolution.

Quel que soit le parallèle de la surface de révolution, on emploie toujours cette même sphère de rayon arbitraire sur laquelle on a construit une fois pour toutes la ligne d'ombre propre.

Lorsque la surface donnée est un tore, on peut prendre pour sphère auxiliaire la sphère décrite du centre du tore avec un rayon égal au rayon de la sphère qui, en tournant autour de l'axe de révolution du tore, engendre celte surface. Pour obtenir un point de la courbe d'ombre du tore sur un méridien 00| {/iff' ^9^)j ^^

Fig. 194.

n'a qu'à transporter parallèlement à elle-même celle sphère auxiliaire avec sa ligne d'ombre propre^ le point m de cette ligne vient ainsi au point m,, tel que m/n, = oot. Quel que soit le méridien considéré, on doit toujours prolonger les diamètres de l'ellipse, courbe d'ombre sur la sphère auxiliaire, d'une longueur conslanle égale à oo, ; on voit ainsi que la projection horizontale de la courbe d^ ombre propre sur un tore éclairé par des rayons lumineux parallèles est une conchoîde d^ ellipse.

On peut déterminer la normale au point m, à cette courbe d'ombre ; pour cela, on mène au point o une perpendiculaire à