CONSTRUCTIONS DES LIGNES D*OMBRE

la droite o/n,, et au point m on trace la normale à Tellipse, projection de la courbe d*ombre sur la sphère auxiliaire; ces deux droites se coupent en un point a : la droite a m, est la normale demandée. Le point a est, en effet, le centre instantané de rotalion pour un déplacement infiniment petit du segment mm < , de grandeur invariable, qui passe constamment par le point o et dont l'une des extrémités m décrit une ellipse.

Le point lumineux est supposé dans le plan méridien parallèle au plan ▼ertical de projection. — Cherchons la courbe d'ombre propre sur le tore en supposant que le point lumineux \ soit [Jig. igS) dans le plan méridien du tore parallèle au plan vertical de projection.

Nous allons considérer le tore à la fois comme l'enveloppe de cônes de révolution et comme l'enveloppe de sphères. Prenons le parallèle qui passe par le point a; le cône circonscrit le long de ce parallèle a son sommet au point t\ la sphère circonscrite au tore le long de ce parallèle a son centre au point i, où la normale en a au cercle méridien du tore rencontre Taxe de révolution de cette surface. Par suite de la position particulière du point lumineux, la courbe d'ombre propre sur celle sphère se projette suivant une droite; cette droite rencontre le parallèle ac au point m qui est la projection verticale d'un point de la courbe d'ombre. Il résulte de cette construction que le point m est le point de rencontre des cordes de contact relatives au svstème des tangentes

menées des points ^ et ^ à la circonférence !«; ce point m est alors sur la perpendiculaire im abaissée du point / sur la droite \t.

Si le point \ est à Tinfini, c'est-à-dire si les rayons sont parallèles entre eux et parallèles au plan vertical de projection, on voit qu'on obtient le point m en abaissant du point i une perpendiculaire au rayon lumineux.

Reprenons le point \ à distance finie. On peut dire que le point m est, dans Tespace, le point de contact de la sphère, dont le centre est au point z, etd*un plan tangent à cette surface mené par la droite ^^; le point m est alors le point de contact avec le parallèle am de la trace de ce plan tangent sur le plan de ce parallèle.

Appelons r le point où la droite Xt rencontre le plan du parallèle. Puisque, dans l'espace, la droite rm est une tangente à ce parallèle, on a

ca ca

cm — = ca X — •

cr cr

Prolongeons la droite at jusqu'au peint q où elle rencontre la perpendiculaire abaissée du point "k sur l'axe de révolution. On a alors

cm = ca X — r >

car le rapport -y est égal à — •

Il résulte de celte relation que, si l'on joint le point "k au point «r, cette droite rencontre l'axe de révolution en un point g^ tel que les points q, m, g soient en ligne droite. Ainsi, pour obtenir le point m de la courbe d'ombre situé sur le parallèle aCj on trace la droite \a qui donne le point g^ on joint ce point g au point q où la tangente at rencontre la perpendiculaire \e à Vaxe de révolution; la droite gq coupe le parallèle ac au point m demandé.

Cette construction est applicable pour un parallèle quelconque du tore, tandis que la première construction ne conduisait à des points de la ligne d'ombre propre que pour les points de cette ligne réellement existants. C'est qu'entre ces deux constructions il y a cette différence : la première s'appuyait sur la détermination possible de tangentes à une circonférence menées d'un point,