TANGENTE A LA LIGNE D OMBRE

tandis que pour la seconde, si les tangentes au parallèle ac menées du point r n'existent pas, la corde de contact de ces tangentes est toujours réelle; or c'est cette corde, dont la projection donne le point /n.

CONSTRUCTlOiNS DE LA TANGENTE EN UN POLNT DE LA LIGNE D'OMBRE SUR UNE SURFACE DE RÉVOLUTION.

Première construction an moyen de Tindicatrice. — Proposons-nous de construire la tangente au point (m, m') {fig- 196) de la courbe

l^'ig. 196.

d'ombre. En ce point, la surface est à courbures opposées. Nous n'avons donc qu'à chercher la tangente conjuguée du rayon lumineux qui passe au point (m, /n') par rapport aux asymptotes de l'indicatrice en ce point.

Cherchons ces asymptotes. Faisons tourner le plan méridien om jusqu'à ce qu'il soit parallèle au plan vertical de projection. Le point (m, m') vient en (a, a'); les axes de l'indicatrice en ce point sont, l'un la tangente au méridien, l'autre la tangente au parallèle. Sur la tangente au méridien portons une longueur a'^= a'a, a'a

35o SECONDE PARTIE. — VINGT-TROISIÈME LEÇON.

étant le rayon de courbure de la ligne méridienne en a'. L'autre axe de l'indicatrice est alors(p. 3 1 1) une moyenne proportionnelle entre a'a et a'^. Pour construire cette moyenne proportionnelle, décrivons sur a^ comme diamètre une demi-circonférence, elle rencontre a' g' en un point rf, et la longueur de l'autre axe de l'indicatrice est a'd. Projetons horizonalement les axes de cette indicatrice : le point g' se projette horizontalement en g] l'axe de l'indicatrice qui est perpendiculaire au plan vertical de projection se projette suivant la perpendiculaire au plan vertical de projection menée du point a, et cette droite ah est égale à a'd. Les projections des asymptotes sont alors les droites ap et ay, les points /?, q étant obtenus en prenant gp = gq =z ah. Ramenons maintenant le plan méridien oa de manière que le point a vienne en m en entraînant les droites ap et aq. On a alors les projections des asymptotes de l'indicatrice pour le point m, et il suffit de prendre par rapport à ces droites la direction conjuguée de Igi projection du rayon lumineux. On peut opérer de même sur le plan vertical de projection en cherchant les projections verticales des asymptotes de l'indicatrice.

Au point de vue graphique, il est clair qu'au lieu de tracer les droites ap et agr, on peut immédiatement tracer les projections des asymptotes de [l'indicatrice en m. On prend, sur le prolongement de 0/72, un point A- tel que mk = ag, puis on élève au point k une perpendiculaire à la droite ok et l'on porte sur cette perpendiculaire à partir du point k deux segments égaux à a'rf; on joint les extrémités de ces segments au point m, et l'on a les projections horizontales des asymptotes de l'indicatrice pour ce point.

Lorsque le point de la courbe d'ombre est sur une partie de la surface qui est convexe, on peut opérer comme s'il y avait des asymptotes pour l'indicatrice; puis, quand la construction est achevée, on prend par rapport aux axes de l'indicatrice la droite symétrique de la tangente à laquelle on est conduit, et l'on a la droite qu'il s'agissait d'obtenir. On opère ainsi parce que, pour une ellipse et une hyperbole qui ont les mêmes axes, les diamètres conjugués d'un même diamètre sont deux droites symétriques par rapport à ces axes. En effet, les coefficients angulaires de ces deux diamètres conjugués ne diffèrent que par le signe.

TANGENTE A LA LIGNE d'OMBRE. 35f

Seconde constraction an moyen d*nne snrfàce dn second ordre oscnlatrice et de réYOlntion. — Supposons que ie rayon lumineux qui passe par le point m de la courbe d'ombre rencontre le plan méridien du tore, parallèle au plan vertical de projection, en un ^o\nt\ {Jig, 197). Nous savons qu'en prenant le point X comme point lumineux, la courbe d'ombre propre correspondante est tangente, sur le tore, à la courbe d'ombre propre relative au premier point lumineux. Le problème est donc ramené à la recherche de la tangente à la courbe d'ombre propre dans le cas où le poini lumineux occupe la position particulière \,

Substituons à la surface de révolution donnée une surface qui hii soit osculatrice au point m. Nous savons que la courbe d'ombre

propre sur cette surface osculatrice est tangente à la courbe d'ombre propre sur la surface donnée. Nous ramenons alors le problème à la recherche de la tangente à la courbe d'ombre propre sur cette surface osculatrice au point m.

Prenons une surface du second ordre de révolution osculatrice à la surface donnée tout le long du parallèle qui contient le point m. Cette surface étant de révolution et le point que nous considérons comme lumineux se trouvant dans le plan méridien parallèle au plan vertical de projection, la courbe d'ombre sur cette surface se projette suivant une simple droite, qui est la tangente demandée. Effectuons les constructions.

Cherchons le centre de la conique courbe méridienne de cette surface du second ordre. Élevons au point p une perpendiculaire

à la normale a p à la courbe méridienne du tore et prenons le point de rencontre de cette droite avec la perpendiculaire abaissée du centre de courbure a sur l'axe de révolution. Joignons par une droite ce point de rencontre au point a; elle coupe l'axe de révolution au point o qui est le centre de la conique, d'après ce que nous avons trouvé page 174- Sur cette conique on a le point a' y symétrique du point a par rapport à l'axe ow, et en ce point la tangente à cette courbe passe par le point u où la tangente en a à la courbe méridienne du tore rencontre cel axe. Ainsi, au point a! de la conique, la tangente est la droite a' u.

Pour avoir ]a courbe d'ombre sur la surface du second ordre osculatrice, nous n'avons qu'à en construire un point, puisque celte courbe se projette suivant une droite et qu'elle passe par le point m. Cherchons le point situé sur le parallèle qui contient le point a' \ appliquons la construction que nous venons de donner pour le cas où le point lumineux est dans le plan méridien parallèle au plan vertical de projection. A cet effet, on joint le point A au point a! et l'on obtient le point g sur l'axe de révolution; on prend le point de rencontre q de la tangente a! u et de la perpendiculaire abaissée du point \ sur l'axe de révolution; on joint le ))oint g au point q. Cette droite rencontre le parallèle qui passe par a! en un point n] ce point n est le point de la courbe d'ombre sur ce parallèle; la tangente en m à la courbe d'ombre sur le tore est donc la droite mn.