SUPPLÉMENT A LA VINGT-TROISIÈME LEQON

Troisième constmction de la tangente en on point de la ligne d'ombre sur nne surface de réYOlntion. — Cette constiuclion est basée sur cette remarque, faite à la page 826 : la direction conjuguée en un point m de la tangente à la directrice d'une normalie à une surface (S) est la projection, sur le plan (T) tangent en ce point à (S), d'une génératrice du paraboloïde des normales à cette normalie.

La droite, que Ton doit projeter sur (T), rencontre alors la droite tracée sur (T) à partir de m normalement à la directrice de la normalie et les droites de courbure de (S) relatives au point m.

Prenons {fig- 198) pour plan vertical de projection un plan pas-

TANGENTE A LA LIGNE d'OUBRB. 353

sant par Taxe de révolution d*un tore et pour plan horizontal le plan perpendiculaire à cet axe, qui contient le centre o' de la sphère mobile dont le tore est Tenveloppe.

Supposons que m soit un point de la projection horizontale de la ligne d'ombre et que le rayon lumineux passant en m se projette suivant R. Nous devons construire la tangente conjuguée du rayon lumineux projeté en R. Nous allons appliquer ce que nous venons de rappeler, en supposant qu'on ait une normalie au tore dont la directrice soit tangente en m au rayon lumineux.

Faisons tourner le plan méridien qui contient le point m autour de

Taxe de révolution pour Tamener à coïncider avec le plan vertical de projection et entraînons la normalie : le point m vient en m'.

Les droites de courbure du tore relatives à m' sont, Tune, dans le plan vertical de projection, la perpendiculaire o'd' au rayon m' o" \ Tautre, la perpendiculaire au plan vertical de projection, qui se projette au point (x. La normale à la directrice de la normalie, qui est dans le plan tangent en nC ^ se projette verticalement suivant la tangente m'h^ à la circonférence méridienne du tore. Une génératrice du paraboloïde des normales à la normalie se projette alors verticalement suivant une droite quelconque jxA'cT qui passe par le point fi.

Pour déterminer ce que devient la projection de cette droite sur le plan tangent au tore en m, lorsqu'on a ramené le point m' en m, nous allons chercher d'abord pour le point m la projection de la droite de

aS

courbure analogue à o" d" et la normale en m à la directrice de la normalie dans le plan tangent en m.

Commençons par cette dernière droite. Elle est Fintersection du plan (T) tangent au tore en ni et d'un plan mené par m perpendiculairement au rayon lumineux, qui passe en ce point. La trace horizontale de ce plan est la perpendiculaire on abaissée du point o, centre de la circonférence méridienne du tore, sur la projection horizontale R du rayon lumineux. Cette perpendiculaire on rencontre en n la trace horizontale du plan (T) : la droite mn est alors la projection d'une droite qui, dans ce plan tangent, est perpendiculaire au rayon lumineux.

Quant à la droite de courbure o^ d\ elle se projette, après la rotation, suivant la droite od.

Reprenons la génératrice du paraboloïde des normales ^h" d^ qui est projetée suivant m" h" e" sur le plan tangent au tore en m". Cherchons ce que devient cette projection lorsque m" vient en m. Le point e" se ramène en e sur od^ le point projeté verticalement en h" vient en h sur mn, La droite lie est alors, d'après ce qui précède, parallèle à la projection horizontale de la tangente à la ligne d'ombre en m. Il suffit donc de mener du point m une parallèle à /le pour avoir la tangente demandée.

Fig. 199.

Constrnire les rayons bitangents à nn tore éclairé par mi point lumineux. — Nous avons vu que l'ombre portée par un tore présente, dans certains cas, des points doubles et que ces points doubles sont les traces des rayons lumineux bitangents au tore. Il y a donc lieu, pour déterminer directement ces points doubles, de chercher à construire ces rayons bitangents.

Considérons l'un de ces rayons et faisons-le tourner autour de Taxe de révolution du tore. Il engendre ainsi un hyperboloïde de révolution

HAYONS BITANGENTS. 355

qui touche le tore suivant les deux parallèles de cette surface engendrés par les points de contact du rayon bitangent.

Prenons, pour plan de layî^. 199, le plan méridien qui passe parle point lumineux s. La section faite par ce plan dans le tore se compose des deux circonférences Cj, C, et la section faite dans Thyperboloïde est une hyperbole qui passe par le point s et qui est doublement tangente à chacune de ces circonférences.

Du point .ç menons les tangentes spy sq à Ci elCi. L^hyperbole peut être considérée comme le lieu des points pour lesquels la différence des distances de ces points aux circonférences Ci, C^ (distances mesurées suivant les tangentes à ces circonférences) est constante et égale k sp — sq.

Pour construire les points où Thyperbole touche la circonférence Cj, nous n'avons qu'à prendre le segment sr égal à sq, afin d'avoir la différence constante />r, et à décrire la circonférence concentrique à Cl qui passe par r : cette circonférence coupe Cj aux points a et h qui sont les points cherchés.

Ces points appartiennent aux parallèles du tore suivant lesquels

cette surface est touchée par l'hyperboloïde. Il suffît alors de mener

de s les droites qui rencontrent ces deux parallèles pour avoir les

rayons bi tangents.

Fig. aoo.

Construire les rayons bitangents à nn tore éclairé par des rayons Inmineuz parallèles entre eux. — Le point lumineux s du cas précédent est maintenant à l'infini dans la direction donnée des rayons lumineux.

Appliquons la construction précédente. Parallèlement à la direction des rayons lumineux, menons {fig* 200) des tangentes aux circonférences Ci, Cx\ nous obtenons les points de contact/?, q. Du point q

menons la perpendiculaire qr à ces tangentes. La circonférence concentrique à C,, qui passe par r, coupe C^ aux points a et b. Il suffit de mener les droites parallèles aux rayons lumineux qui rencontrent les parallèles du tore contenant a et b pour avoir les rayons lumineux bitangents demandés.

Dans cette solution, nous avons employé les tangentes qui touchent Cl et C, en p et q. Nous aurions pu prendre les tangentes dont les points de contact sont p' et q\ ou p et q', ou encore p' ei q; on r toujours la même circonférence concentrique à Ci qui passe par r et r' et qui détermine a et b. Menons la corde ab qui rencontre qr au point

^. On a

tq' X tq =z ta >: tb — tr' x tr.

Comme les segments rr* et qq' sont égaux, le point t est le milieu de r'q'\ par suite, ot est parallèle aux rayons lumineux, o étant le centre du tore.

On a alors cette construction : Du centre o du tore on mène une parallèle aux rayons lumineux. Sur cette droite on projette en t le centre de C|. La perpendiculaire abaissée du point t sur la ligne des centres de Ci, C, rencontre C, aux points a et b.

M. Janin est arrivé directement à cette construction (*) en i865, étant élève à l'Ecole Polytechnique.

(*) Bulletin de la Société Philomathigue, séance du i8 mars i865.

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