VINGT-QUATRIÈME LEÇON

GÉOxMÉTRIE CINÉMATIQUE. — HÉLICOIDE DÉVELOPPABLE. HËLIGOIDE RÉGLÉ, (appl. de géom. cinéu.)

Définitions. — Le déplacement 'infiniment petit le plus général d'une figure de grandeur invariable est hélicoïdal. — Propriétés relatives au déplacement infiniment petit. — Hélicoïde développable, — Hélicoïde réglé. — Plan tangent.— Développable asymptote. — Construction du point où un plan mené par une génératrice touche Thélicoïde. — Courbe de contact de Thélicoïde et d'un cylindre circonscrit. — Courbe d'ombre.

SopPLtfiiBRT. — Théorème relatif à un dièdre mobile.

Définitions. — Si Ton déplace sur lui-même un cylindre de révolution, de façon qu'un de ses points décrive une hélice tracée sur sa surface, le déplacement de ce cylindre est hélicoïdal. Tout point invariablement lié au cylindre engendre une hélice ayant même pas que l'hélice tracée sur ce cylindre. La surface engendrée par une ligne invariablement liée au cylindre est le lieu des hélices de même pas qui sont décrites par tous les points de cette ligne : cette surface est désignée sous le nom de surface hélicoïdale. L'enveloppe d'une surface entraînée est une surface hélicoïdale, car on peut la considérer comme engendrée par sa caractéristique. La surface enveloppe d'un plan entraîné porte le nom à^ hélicoïde développable. La surface hélicoïdale engendrée par une droite quelconque porte le nom à^ hélicoïde réglé.

Dans le cas particulier où la génératrice d'un hélicoïde réglé rencontre, sans lui être perpendiculaire, l'axe du cylindre qui sert à définir le déplacement, la surface engendrée prend le nom de surface de vis à filet triangulaire. Si la génératrice rencontre l'axe du cylindre à angle droit, on a un hélicoïde réglé à plan directeur qui porte le nom de surface de vis à filet carré.

Je donne à l'axe du cylindre le nom à'axe du déplacement.

Le déplacement hélicoïdal du cylindre peut être considéré comme résultant d'une rotation du cylindre autour de sou axe et d'une translation dans la direction de cet axe. Si Tun ouTautrede ces déplacements existe seul, on obtient alors comme cas particulier du déplacement hélicoïdal soit une rotation, soil une translation.

Le déplacement infiniment petit le plus général d'une figure de grandeur invariable est hélicoïdal. — Nous allons montrer que le déplacement infiniment petit le plus général d*une figure déforme invariable est hélicoïdal^ c'est-à-dire qu'on peut le considérer comme résultant d'une rotation infiniment petite et d'une translation infiniment petite (*).

Nous avons vu (p. '^74 etsuiv.) que, lorsque des plans invariablement liés passent par une même droite j leurs foyers sont sur la conjuguée de cette droite. Si la droite par laquelle passent tous les plans est à l'infini, ces plans sont parallèles entre eux, et la droite qui contient leurs foyers est la conjuguée de la droite à l'infini sur l'un quelconque de ces plans. Cette conjuguée L, qui contient les foyers de plans parallèles entre eux, je la désigne sous le nom à^ adjointe (^) aux plans.

Ainsi, V adjointe à un plan est la conjuguée de la droite à V infini sur ce plan.

Prenons {fig* 201) des plans (P), (P<), (P2) quelconques, invariablement liés. Coupons ces plans par un plan arbitraire (Q). Les traces des plans (P), (P|), (P2) sur le plan (Q) sont des droites D, D|, D2 qui ont pour conjuguées les droites partant du foyer cp du plan (Q) et aboutissant respectivement aux foyers de chacun des plans (P), (P|), (Pa)- Supposons maintenant le plan (Q) à l'infini : les droites D, D| , D2 deviennent les droites à l'infini sur chacun des plans (P), (P|), (P2); leurs conjuguées passent par le foyer du plan (Q), et, comme ce plan est tout entier à l'in-

(•) Voir Chasles, Notice historique sur la question du déplacement d'une figure de forme invariable ( Comptes rendus des séances de l 'Académie des Sciences, 1861, p. 487).

W. FiEDLER, Géométrie et Géomécanique {Journal de Mathématiques de M. Besal, 3* série, t. IV, p. 14 1).

(') Étude sur le déplacement^ etc. {loc. cit.).

GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. 359

fini, son foyer est lui-même à l'infinî; les conjuguées des droites à l'infini sur chacun des plans (P), (P|), (P2) sont donc des droites parallèles entre elles, et, en faisant usage du mot d' «adjointe » pour désigner ces conjuguées des droites à l'infini sur chacun des plans, nous disons : Les adjointes de tous les plans de la figure mobile sont des droites parallèles entre elles.

Menons un plan (ï) perpendiculaire à ces adjointes. Les foyers des plans parallèles à (T) sont alors sur la perpendiculaire X à (T) élevée de son foyer r. Pendant le déplacement de la figure,

Fig. 201.

(Ti/

le foyer r du plan (T) se déplace suivant X; et le plan tourne autour de cette droite : on a donc simultanément une rotation autour de X et une translation suivant cette droite, c'est-à-dire un déplacement hélicoïdal. La droite X est l'axe du déplacement ; nous voyons aussi que V adjointe dUin plan quelconque est une droite parallèle à Vaxe du déplacement. Pour un déplacement infiniment petit, cet axe est aussi désigné sous le nom ^axe instantané de rotation et de glissement.

Pendant le déplacement continu d'une figure de forme invariable, le lieu de ces axes est une certaine surface réglée. Les droites de la figure mobile qui deviennent successivement ces axes appartiennent à une autre surface réglée. Le déplacement continu peut être obtenu au moyen de ces deux surfaces. Les génératrices de la seconde surface viennent successivement coïncider avec les génératrices de la première, et il y a simultanément, le long de cha-

SECONDE PARTIE. — VINGT-QUATRIBHE LBQON.

cune de ces droites, rotation infiniment petite et glissement (*).

Lorsque dans la figure mobile il y a un point fixe, il ne peut plus 7 avoir glissement, et les axes de rotation passent tous par le point fixe. Dans ce cas, les deux surfaces réglées se réduisent à deux surfaces coniques, et il est facile de voir que le déplacement peut s'obtenir au moyen du roulement de l'un des cônes sur Taulre.

Prenons les traces de ces cônes sur une sphère décrite du point fixe comme centre. On a deux lignes sphériques de grandeurs invariables quelle que soit la position des cônes. Pendant le déplacement, l'une de ces lignes roule sur l'autre. Sur ta sphère^ comme sur le pian, le déplacement continu le plus général est donc épicycloldaL

Propriétés relatives au déplacement infiniment petit. — Considérons

Fi0. aoa.

une droite D {Jig* 202) qui fait partie d'une figure de forme invariable. Appelons X l'axe du déplacement infiniment petit de cette figure. Menons la perpendiculaire commune rc à X et à D; par cette perpendiculaire commune, menons un plan (P) perpen-

(') C'est dans ses Leçons à la Faculté des Sciences de Paris que Poxcblbt a fait usage de ces deux surfaces réglées pour représenter le déplacement continu d'un corps solide.

Aux renseignements donnés par Chàsles dans sa Notice historique {loc, cit,) nous ajouterons {voir p. 160 et ig'i) :

Tbomsor et Tait, Traité de Philosophie naturelle.

BbltbàmIi Du mouvement géométrique d'un solide qui roule sur un autre solide {Journal de Mathématiques de Batta^liniy t. X, 1872).

Bâttaclixi, Sur le mouvement géométrique infinitésimcU d'un système rigide {Journal de Mathématiques de Battaglini, l. X, 187a).

GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. 3Gl

diculaire à D. Pendant le dépiacement infiniment petit, le point r, qui est sur Taxe du déplacement, décrit un élément de cette droite ; /r, qui est perpendiculaire à X et qui est dans le plan (P), est la normale à la trajectoire du point r, située dans ce plan (P); cette droite contient alors le foyer /du plan (P).

Nous avons démontré (p. 276) que parmi les normales aux trajectoires des points d^une figure celles qui sont parallèles à un plan rencontrent la conjuguée de la droite à l'infini sur ce plan, c'està-dire l'adjointe au plan. Menons au point m de D la normale à la trajectoire de ce point, qui est parallèle à (P); cette droite est normale à la trajectoire du point m et perpendiculaire à D, c'està-dire qu'elle est la normale en m à la surface (D) engendrée par D. Elle doit rencontrer l'adjointe au plan (P), c'est-à-dire qu'elle rencontre la droite L menée par le point /parallèlement à X.

Ce que nous venons de dire pour le point m est vrai pour tous les points de la droite D, et, comme les normales issues des points de celte droite à la surface engendrée par D forment le paraboloïde des normales de cette surface, on voit que L est une génératrice de ce paraboloïde.

La position de L ne dépend que de la direction de D. On voit ainsi que /?owr une position quelconque de la figure mobile les paraboloïdes des normales aux surfaces engendrées par des droites parallèles entre elles passent tous par une même droite.

Puisque L est une génératrice du paraboloïde des normales à la surface (D), le plan mené par D parallèlement à L est le plan central de la surface (D), et, comme la droite L est parallèle à l'axe du déplacement, on voit que le plan central de la surface engendrée par une droite quelconque est, pour une position de la figure, le plan mené par cette droite parallèlement à Vaxe du déplacement.

On voit aussi que, puisque la droite rc est la perpendiculaire commune à L et à D, le point c est le point central sur cette droite. La droite rc est la perpendiculaire commune à l'axe du déplacement et à D ; on peut dire que le point central sur la génératrice D est le pied de la perpendiculaire commune à cette droite et à Vaxe du déplacement (*).

(*) La conjuguée A de D étant aussi une génératrice du paraboIoTde des nor-

36a SECONDE PARTIE. — VINGT-QUATRlàlfE LEÇON.

Par le point / menons la droite D< parallèlement à D, c'està-dire la perpendiculaire au plan (P), issue du foyer de ce plan. Pour les points de cette droite, autres que /, les normales à la surface (D,) qu'elle engendre sont dans le plan (DiL); la droite D, engendre alors un élément de surface développable. Parmi les parallèles à D qui rencontrent rc, la droite D| est la seule qui •jouisse de celte propriété.

Par D menons un plan (Q); ce plan étant entraîné a une caractéristique C. La normale à la trajectoire du point n de la caractéristique C, qui est parallèle au plan (P), rencontre L. Mais la trajectoire du point n est tangente au plan (Q), puisque le point n est un point de la caractéristique de ce plan ; la normale au point /i à la trajectoire de ce point, qui est parallèle au plan (P), est alors la perpendiculaire en n au plan (Q). On peut donc dire que les perpendiculaires au plan (Q), issues de tous les points de la caractéristique de ce plan, rencontrent L, et, inversement, on obtient la caractéristique G du plan (Q) en projetant L sur ce plan.

Nous énonçons ainsi ce résultat : La caractéristique d' un plan quelconque (Q) est la projection sur ce plan de V adjointe à un plan qui lui est perpendiculaire (*)•

Cela se généralise pour un cylindre, et l'on voit que : La caractéristique de l'enveloppe d'un cylindre est le lieu des pieds des normales à ce cylindre qui rencontrent l'adjointe à un plan perpendiculaire à ses génératrices.

Ces propriétés générales étant démontrées, nous passons à Tétude de l'hélicoïde développable.

m a les à ( D ), on voit que la perpendiculaire commune à IX et à sa conjuguée A rencontre à angle droit Vaxe du déplacement X. On peut dire aussi que Vaxc du déplacement X est une ligne de striction du paraboloïde hyperbolique déterminé par X, D, A.

(') Les projections de deux droites conjuguées sur un plan (Q) JC coupent en un point de la caractéristique de ce plan; car ce point, appartenant à la perpendiculaire à (Q) qui rencontre les deux droites conjuguées, a sa trajectoire normale à cette droite et par suite tangente à (Q).

Si l'une des droites conjuguées est à l'infini sur un plan perpendiculaire à (Q), on retrouve, comme conséquence de cette propriété, celle que nous venons de démontrer dans le texte.

IIBLIGOIDB DEVELOPPABLE.

HÉLICOIDE DÉVELOPPABLE.

Plaçons verlicalement {Jig> 2o3) Taxe du déplacement X et prenons le plan vertical de projection parallèlement à une droite D. L'axe X se projette horizontalement au point o. Appelons (/',/) les projections du foyer du plan perpendiculaire à D, mené par la perpendiculaire commune à cette droite et à Taxe du déplacement. Pour un déplacement infiniment petit, la droite D|, menée par le point / parallèlement à D, engendre un élément de surface développable. Mais si, au lieu d'un déplacement infiniment petit, la droite Di se déplace de la même manière d'une façon continue

Fig. 2o3.

autour de l'axe du déplacement, elle engendre un hélicoïde développable, dont l'arête de rebroussement est l'hélice décrite par/. Calculons la distance de l'axe du déplacement à la droite D,. Appelons ^ l'angle que D, fait avec un plan horizontal et H le pas de l'hélice décrite par le point /. On a

d*oii

langp :=

ITZOf

«/= — cot?.

— est le pas réduit A; on a donc

of^ h cot p.

Construisons un segment égal à — cot^. Pour cela, prenons

/'e'= Y* Soit ^c un segment égal au quart de la circonférence

qui a pour rayon oc. Élevons la perpendiculaire e'/' à la droite X et abaissons du point V une perpendiculaire à la ligne de terre; cette perpendiculaire rencontre og en un point /. La perpendiculaire abaissée du point / sur oc rencontre cette droite au point/, qu'il s'agissait de déterminer.

En efTet, on a

lf=l'€' =/'e'cot?= -7 cet?,

oc — r,

27tr

Introduisant ces valeurs de (/, oc et gc dans l'expression de o/, on retrouve la valeur

— col 3.

11 est essentiel de porter dans un sens convenable, sur la perpendiculaire abaissée de o sur D<, le segment ainsi construit. Pour s'assurer que le segment est porté dans le sens convenable, il suffit de voir si l'extrémité/ du segment, entraîné dans le déplacement, sort de sa position dans la direction de la droite D,.

Le plan qui projette D, sur le plan vertical de projection, a pour caractéristique la projection de la verticale /, c'est-à-dire qu'il a pour caractéristique la droite Df elle-même. Ce plan entraîné a pour enveloppe Thélicoïde dévcloppable engendré par D|. Quelle que soit la position de ce plan, il fait constamment le même angle avec le plan horizontal de projection; l'hélicoïde dévcloppable fait alors partie des surfaces que l'on désigne sous le nom de surfaces d* égale pente, dont nous reparlerons plus tard, et qui jouissent de cette propriété : leurs plans tangents sont également inclinés sur un plan horizontal.

A l'occasion des surfaces d'égale pente, nous résoudrons les problèmes suivants : déterminer la section d'une pareille surface par un plan ; mener un plan tangent par un point ou parallèlement à

HÉLICOIDE RÉGLÉ.

une droite, etc. C'est pourquoi nous ne les traitons pas actuellement.

L'arête de rebroussement de Thélicoïde dëveloppable est l'hélice engendrée par le point/. Quand on développe l'hélicoïde développable, cette arête de rebroussement se transforme en une circonférence de cercle dont le rayon est le rayon de courbure de

rhélice arête de rebroussement, c'est-à-dire — 4ô-

HÉLICOIDE RÉGLÉ.

Reprenons les mêmes données que précédemment. Le point c de la droite D {fig* 2o4) engendre une hélice sur le cylindre de

Fi g. 304.

révolution dont la section droite a pour rayon oc. On peut dire alors que Vhélicoide réglé est le lieu des droites également inclinées sur un plan perpendiculaire à Vaxe d\in cylindre de révolution et qui touche ce cylindre aux différents points d^une hélice. Il résulte de là que le cône directeur de cette surface est un cône de révolution.

Nous avons démontré que le point c est le point central sur D. Cette propriété subsiste pendant le déplacement continu de D,

c'est-à-dîre que Vhélice décrite par le point c est la ligne de striction de Vhélicoïde réglé engendré par la droite D.

Plan tangent. — Proposons-nous de construire le plan tangent à rhélicoïde réglé au point m de la droite D. Nous avons démontré que la normale en m à la surface engendrée par D, pour un déplacement infiniment petit, rencontre Tadjoinle à un plan perpendiculaire à D; si/est la projection de cette adjointe, la normale au point m se projette alors suivant la droite fm, La trace du plan tangent en m, sur un plan horizontal (H'), est perpendiculaire à cette droite, et, comme elle passe par la trace é de D sur (H'), on obtient une horizontale du plan tangent cherché en abaissant du point b une perpendiculaire sur la droite //w. Quel que soit le point pris sur la droite D, on a toujours à abaisser du même point b une perpendiculaire sur des droites partant du point/. Si l'on prend le point c, on voit que la trace sur (H') du plan tangent en ce point est confondue avec la projection deD; le plan tangent en c est donc le plan vertical qui projette horizontalement la droite D. Le point c étant le point central, on retrouve ainsi que le plan central est parallèle à Vaxe du déplacement.

Lorsque le point de la droite D, pour lequel on veut construire le plan tangent, est à l'infini, on a, à mener par le point/, une parallèle à la projection de D et à abaisser du point b une perpendiculaire sur cette droite; on voit ainsi que le plan tangent au point qui est à l'infini sur D est le plan qui projette cette droite sur le plan vertical de projection.

Déyeloppable asymptote de l'hélicoîde réglé. — Pendant le déplacement continu de la droite D, si l'on entraîne le plan qui touche la surface au point qui est à l'infini sur D, l'enveloppe de ce plan est un hélicoïde développable qui est la développable asymptote de l'hélicoîde réglé.

Constmction du point où on plan mené par une génératrice tonche l'hélicoîde réglé. — Un plan quelconque mené par D est tangent à l'hélicoîde réglé ; cherchons directement le point de contact de ce plan. Supposons que ce plan soit entraîné en même temps que D; sa caractéristique, d'après ce que nous avons vu, est la projection

HÊLICOIDE REGLE. 867

de la verticale /. Cette caractéristique est alors une ligne de plus grande pente de ce plan; elle se projette horizontalement suivant la perpendiculaire abaissée du point /sur la projection d'une horizontale du plan. Mais la caractéristique d'un plan mobile, qui contient successivement les génératrices d'une surface réglée, passe par le point où le plan touche la surface réglée; par suite, la perpendiculaire abaissée du point /sur la projection d'une horizontale du plan rencontre la projection de D au point m, projection du point de contact de ce plan, et l'on voit que la projection du point où un plan mené par D touche l'hélicoïde réglé est le point de rencontre de la projection de D et de la perpendiculaire abaissée de /sur une horizontale de ce plan.

Il est utile de remarquer que, d'après cela, la projection horizontale nxf de la caractéristique d'un plan qui passe par une droite D contient le point/, qui est la projection horizontale du foyer d'un plan perpendiculaire à D.

Courbe de contact de rhôlicoîde réglé et d'un cylindre circonscrit. Courbe d'ombre. — Proposons-nous de construire la courbe d'ombre sur l'hélicoïde réglé, éclairé par des rayons lumineux parallèles

Fig. ao5.

entre eux, c'est-à-dire la courbe de contact de l'hélicoïde réglé et d'un cylindre circonscrit dont les génératrices sont parallèles au rayon lumineux R (^fig* 2o5).

Pour déterminer le point de cette courbe situé sur une génératrice D, menons par cette droite un plan parallèle à R. Ce plan touche l'hélicoïde réglé en un point qui appartient à la ligne d'ombre demandée. Ce plan, passant par D et supposé entraîné, a une caractéristique projetée suivant une droite qui, d'après la

dernière remarque que nous venons de faire, contient le foyer f du plan perpendiculaire à D; ce plan, étant parallèle à R, a une caractéristique projetée suivant une droite qui contient aussi le foyer f^ d'un plan perpendiculaire à R ; la droite/,/, qui joint ces deux foyers, est alors la projection horizontale de la caractéristique du plan mené par D parallèlement à R, et elle rencontre la projection de D au point niy qiii est la projection du point de contact de ce plan avec Thélicoïde réglé.

Pour une autre génératrice projetée horizontalement en D', le foyer /, correspondant au plan perpendiculaire à celte droite, est sur la perpendiculaire abaissée du point o sur D' et à une distance of^=^of. Quant au point/, il est flxe; on a alors le point de la courbe d'ombre situé sur D' en prenant le point de rencontre de cette droite avec/,/. On voit ainsi comment on construit par points la projection de la courbe d'ombre en faisant usage du point fixe/ et des différents points de la circonférence décrite du point o comme centre avec of pour rayon.

Nous avons vu comment on construit le point / pour une droite D. Il est inutile de reprendre pour le point / une construction analogue. Lorsque, par la droite D, on a mené un plan parallèle au rayon lumineux, la caractéristique de ce plan se projette suivant la perpendiculaire abaissée du point /sur une horizontale de ce plan, et celte dernière droite rencontre au point/, la perpendiculaire abaissée du point o sur la projection horizontale du rayon lumineux.