SUPPLÉMENT A LA VINGT-QUATRIÈME LEÇON

Théorème relatif à on dièdre mobile. — (a) est la courbe d'intersection de deux surfaces qui se coupent constamment sous le même angle. Au point a de cette courbe menons des plans tangents à chacune des surfaces, ces plans déterminent un dièdre dont Tarête D est tangente en a à (a). On peut déplacer ce dièdre de façon que son arête reste tangente à (a) et que ses faces soient toujours tangentes aux surfaces données.

Pour un déplacement infiniment petit de ce dièdre de grandeur in-

THÉORÈME RELATIF A UN DIÈDRE MOBILE. 36g

variable, ses faces ont pour caractéristiques des droites C, C qui passent par a et qui sont des tangentes conjuguées de D.

D'après ce que nous venons de voir dans cette Leçon :

i^ Les plans normaux aux faces du dièdre, menés respectivement par C et C, sont parallèles à Taxe du déplacement. La droite d'intersection L de ces plans normaux est parallèle à Taxe du déplacement; en outre, on voit qu'elle passe par le point a.

1^ Le plan central de la surface engendrée par D est aussi parallèle à l'axe du déplacement. Comme ce plan contient a, il doit alors contenir L. Ce plan central est ici le plan rectifiant de (a), puisque D engendre une surface développable.

Je trouve ainsi ce théorème :

Lorsque deux surfaces se coupent constamment sous le même anglcy les plans menés normalement à ces surfaces respectivement par les tangentes conjuguées de la tangente D à leur ligne d'intersection, et le plan rectifiant de cette courbe, mené par D, se coupent suivant une même droite.

Il permet de retrouver que :

Lorsque deux surfaces se coupent constamment sous le même angle, si leur ligne d'intersection est une ligne de courbure de l'une des surfaces, elle est aussi ligne de courbure de l'autre (*).

Enfin, comme une courbe quelconque d'un plan ou d'une sphère est une ligne de courbure de ces surfaces, on voit par là que :

Lorsqu'un plan ou une sphère coupe une surface constamment sous le même angle, la ligne d'intersection est une ligne de courbure de cette surface {*).

Si le dièdre de grandeur invariable se déplace de façon que son arête reste tangente à une courbe donnée et que l'une de ses faces coïncide avec le plan osculateur de la courbe, le théorème précédent ne conduit pas à la construction de la caractéristique de l'autre face du dièdre. On arrive à cette droite en considérant le déplacement du

(•) Mémoire sur la théorie générale des sur/aces, par M. O. Bo.iicbt {Journal de V École Polytechnique, XXXII* Cahier, p. 17).

(•) J04CHIII8TAHL {Joumal de C relie, t. 30, p. 34?); O. Bonnet, Mémoire sur les sur/aces dont les lignes de courbure sont planes ou sphériques {Journal de l'École Polytechnique, XXXV* Cahier, p. lao), et J.-A. Sbrbbt, Mémoire sur les surfaces dont toutes les lignes de courbure sont planes ou sphériques {Journal de Mathématiques de M. Liouville, i'* série, t. XVIII, p. 128).

SjO SECONDS PARTIE. — VINGT-QUATRIÈME LEÇON.

dièdre complémentaire du premier dont une face coïncide alors avec le plan rectifîant de la courbe. On trouve ainsi que la caractéristique de Vautre face est la projection de la droite rectifiante de la courbe (*).

Dans la trentième Leçon, nous reparlerons du déplacement d*un dièdre.

(M Voir, dans le Supplément à la dix-septième Leçon, ce qu'on appelle />/a/i rectifiant et droite rectifiante en un point d'une courbe gauche.

IIÉLICOIDE RÉGLÉ. 3;!

VINGT-CINQUIÈME LEÇON

HÉLICOIDE RÉGLÉ (pin). — SURFACE DE VIS A FILET