TRIANGULAIRE

(application de géométrie cinématique).

Paramétre de distributioa des plans tangents à l'hélicoïde réglé. — Surface de vis à filet triangulaire, — Construction d'une génératrice. — Trace sur un plan horizontal. — Plan tangent. — Contour apparent. — Dessin d'une vis à filet triangulaire. — Courbe d'ombre. — Asymptote de l'indicatrice. — Hyperboloïdc osculateur. — Tangente à la courbe d'ombre.

Paramètre de distribntion des plans tangents à rhélicoide réglé. — Construire le paramètre de distribution des plans tangents à l'hélicoïde réglé.

Soient o {fig^ 206) la projection horizontale de l'axe du dépla-

Fig. 206.

cernent, (D, D') la génératrice de l'hélicoïde, et / la projection de l'adjointe L à un plan perpendiculaire à (D, D'). Cette adjointe L est une génératrice du paraboloïde des normales à l'hélicoïde réglé pour la droite (D, D').

k étant le paramètre de distribution des plans tangents à l'hélicoïde réglé, on a (p. 270)

tang(D', L)'

L'angle (D', L) est le complément de Tangle p que (D, D') fait avec le plan horizontal ; on a alors

A' =/c tangp = oc tang^ — o/tang^.

On sait que o/est égal à h cot^; donc

A = oc tang^ — /i.

Dans le cas particulier où le segment oc est nul, c'est-à-dire lorsque la droite (D, D') rencontre l'axe du déplacement, le paramètre est égal à A. Ainsi, pour une sur/ace de vis quelconquey le paramètre de distribution des plans tangents est égal au pas réduit des hélices décrites pendant la génération de la surface de vis.

Si h est nul, alors la surface n'est plus hélicoïdale : elle est simplement une surface de révolution. On voit, dans ce cas, que le paramètre de distribution des plans tangents à U hyperboloïde de révolution engendré par une droite D, dont la distance à Vaxe est oc, est égal à oc tangp.

Appelons a l'angle que la tangente à Thélice décrite par le point c fait avec le plan horizontal, on a

h = octanga.

Portant cette valeur de h dans l'expression du paramètre X', il

vient

A — oc tang p — oc tanga.

Pour construire A:, portons à partir du point /?, sur une perpendiculaire à la projection verticale de l'axe du déplacement, un segment/>gr= oc; par le point q menons une droite parallèle à D', c'est-à-dire faisant disec pq l'angle P; menons aussi une droite faisant avec cette môme droite l'angle a. Ces deux droites interceptent sur X un segment qui est égal à k.

Lorsque a = p, c'est-à-dire lorsque la droite (D, D') se confond avec la tangente à l'hélice décrite par le point c, on voit que le paramètre £st nul \ on a alors une surface développable engendrée par la droite mobile.

SURFACE DE VIS A FILET TRIANGtLAIRE.

Supposons maintenant que la génératrice de Thélicoïde réglé rencontre l'axe du déplacement sous un angle qui ne soit pas un angle droit. La surface ainsi engendrée porte, comme nous l'avons déjà dit, le nom de surface de vis à filet triangulaire.

On peut considérer cette surface comme le lieu d'une droite qui rencontre constamment sous le même angle l'axe d'un cylindre de révolution et qui s'appuie sur une hélice tracée sur ce cylindre. On voit que le cylindre de l'hélicoïde réglé général, auquel les génératrices restent tangentes, se réduit maintenant à une droite; l'hélice ligne de striction de l'hélicoïde réglé se réduit aussi à cette droite. Ainsi, la sur/ace de visa filet triangulaire a pour ligne de striction Vaxe du cylindre de révolution que sa génératrice rencontre constamment.

D'après ce que nous venons de trouver, quel que soit l'angle sous lequel la génératrice de la surface de vis rencontre l'axe du déplacement, le paramètre de distribution est toujours égal au pas réduit. Comme pour l'hélicoïde réglé, la surface développable asymptote est engendrée par une droite parallèle à la génératrice de la surface de vis et située à une distance de l'axe du cylindre égale à Acot^.

Constmction d'une génératrice. — Soit a'd {fig* 207) la génératrice parallèle au plan vertical de projection. Cette droite, l'axe X du déplacement et la perpendiculaire abaissée du point a' sur cet axe, déterminent un triangle qu'on peut entraîner en même temps que la génératrice a'c' et qui reste de grandeur invariable. Lorsque le sommet a' de ce triangle vient au point 6', le sommet d s'élève sur l'axe jusqu'au point rf', tel que d d^ =, b'p'\ la génératrice de' vient alors prendre la position Ud'.

Lorsque le sommet a' vient au point ^, la génératrice part du point g' et rencontre l'axe sous un angle qui est égal à l'angle constant que les génératrices font avec X. Dans cette position, la

génératrice est rencontrée par dd\ ce point de rencontre, pendant le déplacement de la géjiératrice de la surface, décrit une hélice qui est une ligne dbuble de la surface de vis.

Ce que nous disons pour la génératrice qui part du point ^ peut se répéter pour toutes les génératrices qui partent des points situés

sur la ligne de contour apparent du cylindre qui contient le point ^. Il y a donc sur dd une infînité de points qui décrivent des hélices doubles de la surface. Ainsi, sur la surface de vis il y a une infinité d'hélices doubles.

Trace sur nn plan horizontal. — La génératrice b' d' se projette horizontalement suivant la droite ob ; la trace de celte droite sur le plan horizontal (H') est le point /.

On a

Ol r-z ob ->r bl.

En désignant par R le rayon du cylindre cl par ^ Tangle que les

génératrices de la surface de vis font avec le plan horizontal, on

obtient

o/ = R H- b'p coi^.

En désignant par w Tangle aob^ b' p' est égal à Ato, et, par suite,

on a

ol OU p = R -f- A col po),

équation m coordonnées polaires d'une spirale d'Archimède.

(iCtle spirale passe par le point o, par le point «, par le point /, et, si Ton considère la surface de vis dans toute son étendue, c'està-dire en ne prenant pas seulement la partie qui est au-dessus du plan (H'), on a alors une spirale complète; les points doubles de cette courbe sont les traces des hélices doubles dont nous venons (le parler.

Plan tangent. — On peut considérer la surface de vis comme engendrée par cette spirale entraînée pendant le déplacement hélicoïdal.

Si Ton coupe la surface de vis par un plan horizontal à la hauteur du point /n', qui se projette horizontalement en m, on a la spirale passant par le point (m, m').

Pour avoir le plan tangent au point (m, m') à la surface de vis, on peut construire la tangente à la spirale qui contient ce point, et pour cela prendre la sous-normale de cette spirale. La valeur de cette sous-norinale est

g = Acot?.

comme on le voit tout de suite au moyen de l'équation de la courbe. Il suffît donc de porter à partir du point o, sur une perpendiculaire à o/n, une longueur o/=/icotp, et, enjoignant le point/ au point m, on obtient une droite perpendiculaire à la trace du plan tangent en (m, m') sur le plan horizontal qui contient ce point, c'est-à-dire une droite qui est perpendiculaire à une horizontale du plan tangent. Nous retrouvons ainsi la construction à laquelle nous sommes arrivés pour l'hélicoïde réglé.

La droite /m est aussi la projection horizontale de la caractéristique du plan tangent en (m, m') supposé entraîné; cette caractéristique est tangente en ce point à la surface de vis. Les caractéristiques de tous les plans tangents à la surface de vis pour la génératrice ol sont donc des droites tangentes à la surface aux différents points de la génératrice ol et qui rencontrent une même verticale/; ces droites déterminent l'hjperboloïde qui passe par la

verticale / et qui est de raccordement à la surface de vis pour la génératrice oL

Du reste, on sait que Ton construit la caractéristique d'un plan tangent à la surface de vis mené par la droite ob en projetant sur ce plan la verticale /; cette caractéristique est donc l'arête d'un dièdre droit dont l'une des faces est ce plan tangent et dont l'autre face est le plan mené perpendiculairement à celui-ci par la droite/.

On voit ainsi que toutes ces caractéristiques appartiennent à la surface lieu de l'arête d'un dièdre droit dont les faces passent, l'une par la génératrice ob de la surface de vis, l'autre par la verticale projetée au point/. On sait que le lieu de cette arête est un hyperboloïde dont les plans des sections circulaires sont respectivement perpendiculaires aux deux droites fixes par lesquelles passent les faces du dièdre. L'hyperboloïde de raccordement formé par les caractéristiques des plans tangents doit donc avoir pour sections circulaires les sections faites par des plans horizontaux ; et, en effet, si l'on prend le point de rencontre de /m avec la trace du plan tangent sur (H'), on a un point qui est la trace sur le même plan de la caractéristique projetée suivant //n, et le lieu de ce point est évidemment la circonférence décrite sur// comme diamètre i

Par le point / menons une droite quelconque, considérons cette droite comme une horizontale d'un plan mené par la génératrice de la surface ; on obtient la projection du point où ce plan touche la surface de vis en abaissant du point / une perpendiculaire sur cette droite et en prenant le point où cette perpendiculaire rencontre la génératrice ob de la surface de vis.

Nous allons faire usage de cette construction pour déterminer le contour apparent de la surface de vis sur le plan vertical de projection.

Contour apparent. — Le contour apparent de la surface de vis sur le plan vertical de projection est l'enveloppe des projections verticales de ses génératrices. Le point où une génératrice telle que i'rf' (J^o* 208) touche cette enveloppe est la projection verticale du point où le plan, qui projette 6'rf' sur le plan vertical de projection, touche la surface de vis.

Pour construire le point de contact de ce plan avec la surface de vis, prenons le plan horizontal (H'), élevons au point o dans ce plan une perpendiculaire à ob, projection de la génératrice b'd\ et portons sur cette perpendiculaire, dans le sens convenable, un segment 0/ égal à A cot^. Du point / abaissons une perpendiculaire sur la trace du plan tangent à la surface de vis sur (H'). Cette trace étant perpendiculaire à la ligne de terre, la droite que nous menons du point/ est parallèle à la ligne de terre ; elle rencontre ob en un point m, dont la projection verticale est le point m', où la

droite 6'rf' est tangente à l'enveloppe des projections verticales des génératrices de la surface de vis.

Cette construction étant répétée pour différentes génératrices, on a des points de la courbe de contour apparent sur le plan vertical de projection.

Cette courbe est tangente a la projection verticale de l'hélice directrice, puisque cette dernière courbe est tracée sur la surface de vis. La courbe de contour apparent touche l'axe X, puisqu'il y a des génératrices de la surface qui se projettent sur cette droite.

Enfin, si l'on emploie la même construction pour la génératrice parallèle au plan vertical de projection et qui passe parle pointa', on trouve sur cette droite un point qui est à Tinfini; cette droite

est alors une asymptote de la courbe de contour apparent. Cette courbe est donc placée comme on le voit sur la figure. Il est utile de remarquer le sens dans lequel elle tourne sa concavité.

Dessin d'une vis à filet triangulaire. — Prenons {^fig- 209) un cylindre qu'on appelle le noyau de la vis. Dans le plan méridien parallèle au plan vertical de projection, traçons un triangle isoscèle a, 1 , 2 dont la base soit un segment 1-2 de la ligne de conlour apparent de ce cylindre. Donnons à ce triangle un déplacement

Fifç. 209.

hélicoïdal tel que le pas de l'hélice décrite par le sommet i soit la base 1-2, c'est-à-dire que, lorsque le point i reviendra sur la ligne de contour apparent, il arrivera au point a; puis, successivement, sur cette même ligne de con tour apparen t, il viendra aux points 3,4qui sont distants d'un intervalle égal à la base 1-2.

Lorsque le point i vient sur l'autre ligne de conlour apparent, il la rencontre au point i', qui est sur une droite perpendiculaire à l'axe à égale distance des points i et 2; le sommet a du triangle isoscèlc qui engendre le filet de la vis vient en a', lorsque le point 1 est venu en i', et alors le triangle prend la position i'a'2'. Puis, ce triangle continuant à se mouvoir, sa base i'-2' vient coïncider avec le segment 2-3, et le sommet a! vient au point h\ en poursuivant, nous trouvons le point 6', nouvelle position du sommet du triangle, et la base vient en 2'-3'.

Traçons les hélices décrites par les sommets de ce triangle. Le point a décrit une hélice tangente en a à une parallèle à l'axe du cylindre, et qui arrive en cl tangenliellement à la parallèle à Taxe du cylindre mené par le point a'.

Traçons les hélices décrites par le point i et par le point 2. Le côté a-1 engendre une surface de vis à filet triangulaire qui, d'après ce que nous venons de voir, a pour contour apparent une courbe tangente à l'hélice décrite par le point a et à Tliélice décrite par le point 2.

En répétant la même construction pour l'hélice décrite par le point a et pour la surface de vis engendrée par le côté «-i, on a un arc de courbe tangent à l'hélice décrite par le point a et à l'hélice décrite par le point i .

On peut continuer ainsi en traçant les courbes de contour apparent des surfaces de vis engendrées par les côtés du triangle pendant le déplacement hélicoïdal. Pour achever de montrer la disposition de la vis, nous avons tracé quelques génératrices des surfaces de vis engendrées par les côtés a~\ et a-2.

Courbe d'ombre (*). — Pour construire la courbe d'ombre sur la surface de vis éclairée par des rayons lumineux parallèles, nous n'avons qu'à faire usage de la construction à laquelle nous sommes arrivés pour l'hélicoïde réglé quelconque.

Fig. 210.

Cherchons (^fig* 210) le point de la courbe d'ombre sur la génératrice D. Élevons au point o une perpendiculaire à cette droite, et portons dans un sens convenable un segment of égal à h col ^; déterminons, relativement au rayon lumineux, un point/, tel que 0/4 = h cotv, V étant l'angle que le rayon lumineux fait avec le

(') Voir à ce sujet une intéressanle Note du général Po.ncelet, à la page 456 du Tome I de ses Applications d'Analyse et de Géométrie,

38o SECONDE PARTIE. — VINGT-GINQUIÂME LEÇON.

plan horizonlal de projection. Nous savons que, le point/ étant connu, on construit facilement le point/i.

Joignons le point /au point/; la droite //rencontre la droite D au point m, qui est la projection du point de la courbe d^ombre situé sur cette génératrice.

Pour une autre génératrice D', on élève au point o une perpendiculaire à cette génératrice; cette droite rencontre en un point/' la circonférence décrite du point o comme centre avec o/ pour rayon; en joignant le point/, qui est un point fixe, au point/', on a une droite qui rencontre la génératrice D' au point m' de la projection de la courbe d'ombre.

On obtient ainsi la construction par points de la projection horizontale de la courbe d'ombre.

Asymptote de l'indicatrice. — Déterminons {Jig> 211) Tasymptote de rindicatrice de la surface de vis pour le point m de la généra-

Fig. an.

trice D. Le plan tangent en m à la surface de vis, entraîné dans le déplacement hélicoïdal, a une caractéristique qui se projette suivant la droite /m, le point/ étant déterminé comme précédemment. En vertu de ce déplacement, le point m décrit une hélice dont la tangente se projette horizontalement suivant la perpendiculaire élevée du point m à la droite D. Ces deux droites : la caractéristique et la tangente en m à Thélice décrite par ce point, sont deux tangentes conjuguées.

La génératrice D est Tune des asymptotes de l'indicatrice en m. Pour avoir l'autre asymptote, il faut construire une droite telle que, par rapport à cette droite et à D, le système de tangentes

SURFACE DE VIS A FILET TRIANGULAIRE. 38l

conjuguées que l'on possède soit un système de diamètres conjugués.

Pour cela, on prolonge o/ jusqu'au point i, tel que/i = o/. On joint le point m au point i et l'on obtient la projection de l'asymptote de l'indicatrice qu'il s'agit de déterminer, puisque la droite oi est parallèle à la projection horizontale de la tangente en m à l'hélice décrite par ce point et que la droite mf joint le point m au milieu du segment oi intercepté par les projections des deux asymptotes.

Hyperboloîde oscnlatenr. — Il résulte de cette construction que les asymptotes des indicatrices relatives aux points de la génératrice D se projettent suivant des droites qui passent parle même point i. Mais le lieu de ces asymptotes est l'hyperboloïde osculateur de la surface de vis pour la génératrice D ; on voit donc que cet hyperboloîde contient la verticale projetée au point i. On l'obtient alors en construisant l'hyperboloïde de raccordement à la surface de vis le long de D, qui contient la verticale i.

On pouvait prévoir que l'hyperboloïde osculateur de la surface de vis pour D avait l'une de ses génératrices verticale, car toutes les génératrices de la surface rencontrant l'axe X, celte droite, pour le point où la génératrice D la rencontre, est une asymptote deTindicatrice. L'axe appartient alors à l'hyperboloïde osculateur. On a par conséquent un hyperboloîde dont on projette les génératrices de l'un des systèmes sur un plan perpendiculaire à l'une des droites X de ce système; elles se projettent donc toutes suivant des droites qui passent par le point, projection de la génératrice parallèle à X.

Tangente à la conrbe d'ombre (*). — Soit à déterminer (yî^. 'i\'>.) la tangente en /n à la projection de la courbe d*ombre qui passe par ce point. Prolongeons o/jusqu'au point i, tel que/i'= o/; en joignant le point m au point /, on a l'une des asymptotes de la

(*) Voir Porcelet, Application de la méthode de Roberval au tracé des tangentes aux courbes de contour apparent et de séparation d'ombre et de lumière dans V épure de la vis à filet triangulaire {Applications d'Analyse et de Géométrie, t. I, p. 44? )•

projection de rindicatrice relative au point projeté en m; la génératrice est l'autre asymptote.

On doit maintenant prendre la direction conjuguée de la projection horizontale du rayon lumineux par rapport au système des deux droites mo^ mi. Pour cela, menons par le point i une parallèle à la projection horizontale du rayon lumineux, c'est-à-dire une perpendiculaire à o/i ; cette droite rencontre om au point p; il

Kig. ai a.

faut prendre le point t milieu du segment ip. Ce point est sur la tangente tj à la circonférence dont le rayon est of; en effet, cette tangente, étant parallèle à o/?, rencontre la droite ip en son milieu r, puisque le point / est le milieu du segment oi; la tangente demandée est donc la droite mt.

Menons par le point o une parallèle à ip^ et appelons r le point où cette droite rencontre la tangente tf.

Puisque o/=/ij on a tf =, fr.

On peut donc déterminer le point t sans construire d'abord le point i. La construction de la tangente se réduit à ceci :

A V extrémité J du rayon perpendiculaire à la génératrice H qui contient le point m de la courbe d* ombre, on mène une tangente à la circonférence de rayon of\ cette tangente rencontre le diamètre parallèle à la projection horizontale du rayon lumineux au point r. On porte sur la tangente enfle segment ft =^fr^ et la droite mt est la tangente demandée.

VTNGT-STXTÈME LEÇON.

SURFACE DE VIS A FILET TRIANGULAIRE (fin)

(appl. de gbom. giném.)*

Formes diverses de la projection de la courbe d'ombre. — Construction des points de la courbe d'ombre situés sur une hélice donnée. — Construction des points de la courbe de contour apparent situés sur Thélice directrice. — Surface de vis à filet carré. — Plan tangent. — Asymptote de l'indicatrice. — Paraboloïde osculateur. — Lignes de courbure. — Rayons de courbure principaux. — La surface de vis à filet carré considérée comme une normalie. — Courbe d'ombre. — Points limites sur la courbe d'ombre. — Dessin d'une vis à filet carré.

Supplément. — Construction des centres de courbure principaux de la surface de vis à filet triangulaire. — Construction des centres de courbure principaux de la surface de vis à filet carré.

La projection horizontale de la ligne d'ombre de la surface de vis à filet triangulaire présente différentes formes selon Tinclinaison du rayon lumineux.

Formes diverses de la projection de la courbe d'ombre. — En désignant toujours par y Tangle que le rayon lumineux fait avec un plan horizontal et par ^ Tangle que les génératrices de la surface de vis font avec un plan horizontal, on a à examiner les trois cas suivants : Y>?, Y<?? Y= P-

Pour déterminer la projection de la courbe d'ombre, nous employons un point /< (dont la distance of^ à la projection horizontale de l'axe du cylindre, sur lequel est tracée l'hélice directrice de la surface de vis, est égale à h coty), et une circonférence dont le rayon of est égal à h cot^.

Il résulte de ces valeurs de of et de of^ que, lorsque y est plus grand que p, o/i est plus petit que of] le point/, est alors {fig^ 2 1 .3 ) à l'intérieur de la circonférence qui a pour rayon of. Pour avoir

le point de la courbe d'ombre situé sur la génératrice D, élevons au point o une perpendiculaire o/ à D ; joignons le point / au point /i, la droite //i rencontre D au point m, qui appartient à la projection horizontale de la courbe d*orabre sur la surface de vis éclairée par des rayons lumineux parallèles entre eux et perpendiculaires à of^. Lorsque le point/ parcourt la circonférence décrite avec h cotp pour rayon, le point m, sommet du triangle rectangle mof^ dont les hypoténuses passent par le point fixe/i, décrit la courbe dont nous allons chercher la forme.

Menons le diamètre pq parallèlement à la projection du rayon

lumineux. Le point/ se rapprochant du point y, le point m se rapproche du point/ ; lorsque le point / arrive au point q^ le point m vient au point /i et la droite /i m devient la tangente/ gr à la courbe au point/. Ce que nous disons pour le point 9, nous pouvons le répéter pour le point p\ la courbe est, du reste, symétrique par rapport au diamètre qui contient le point/.

Ainsi : le point f^ est un point double de la projection horizontale de la courbe d'ombre, et les tangentes en ce point double sont les droites qui joignent le point f^ aux extrémités dudiamètre pq^ perpendiculaire à of^.

La droite m/ rencontre la circonférence en deux points/ et/' ; à chacun de ces points correspond un point de la courbe. On a alors sur la droite ff^ deux points m et m' de la projection horizontale de la courbe d'ombre. On voit donc que sur cette droite il y a les deux points confondus au point /i et les deux points m et /n', c'est-à-dire quatre points ; cette droite rencontrant la courbe en quatre points, la projection horizontale de la courbe d'ombre est donc du quatrième degré.

Les droites om^ om\ étant respectivement perpendiculaires aux côtés du triangle isoscèle /o/', déterminent aussi avec la droite mni un triangle isoscèle ; la perpendiculaire abaissée du point o sur la base mm^ passe donc au milieu de cette base. Si nous appelons He milieu de f/'^ ce point i est le milieu de mm'\ le lieu des points analogues au point i est le lieu des milieux des cordes, telles que mm\ qui passent par le point /i ; c'est une ligne diamétrale de la courbe d'ombre. Les points tels que * appartiennent à la circonférence décrite sur o/i comme diamètre; cette circonférence est donc une ligne diamétrale de la projection de la courbe d^ ombre.

Lorsque le point/ vient au point r, extrémité du diamètre qui passe par le point/, le point m vient au point o, et la droite om devient perpendiculaire à ce diamètre / r : la courbe arrive donc au point o tangentiellement à la ligne op ; en continuant, on voit que la courbe revient passer par le point / et contient le point m'; enfin on achève de la tracer en poursuivant le déplacement du point/.

Supposons maintenant Y<^; alors on a o/ >o/ et le point/ (^fig* 2 '4) est en dehors de la circonférence décrite avec h cot^ pour rayon. Le point/ est encore un point double de la courbe, et les tangentes en ce point sont les droites qui joignent le point/ aux extrémités du diamètre pq, perpendiculaire à o/ ; on a, comme précédemment, une boucle tangente au point o à la droite pq. Cherchons les points de la courbe qui se trouvent sur les tangentes que l'on peut mener du point / à la circonférence. Ap-

SECONDE PARTIE