BIAIS PASSÉ GAUCHE

l'ensemble de ces dernières droites forme un cône ayant pour sommet ce point o et pour directrices lest circonférences données. Le biais passé gauche est la surface engendrée par les deux autres droites telles que arf, bc.

Par le point o menons ol parallèlement à ad et bc\ le point / est alors le milieu de bd. En projetant le point / en V sur la droite o'è', on obtient le point /' qui est le milieu de b' d' . Pour une génératrice quelconque du biais passé, on a un point tel que /'. Le lieu de ces points est une circonférence de cercle qui passe par le centre de C^; cette circonférence n'est autre que la trace du cône directeur de la surface sur le plan de cette circonférence directrice.

Cône directeur. — On voit ainsi qu'en plaçant en o le sommet du cône directeur du biais passé gauche, ce cône a pour trace, sur le plan de C| ou de Cj, une circonférence de cercle.

Plan tangent en nn point. — Prenons un point (m, m') sur la génératrice (6c, b'cf) et proposons-nous de construire le plan tangent en ce point au biais passé gauche. Nous allons employer un hyperboloïde de raccordement à cette surface le long de la génératrice bc. Menons au point d une tangente à 0\\ cette tangente se projette horizontalement sur le segment de droite C2 suivant lequel se projette cette circonférence 5 de même, menons au point U une tangente à C'^. Les projections verticales de ces tangentes se rencontrent en un point e' qui est sur le prolongement de D. Cela résulte de la situation de la directrice rectiligne par rapport aux circonférences directrices qui ont des rayons égaux.

L'hyperboloïde de raccordement que nous allons employer a pour directrices les tangentes en c', b' aux deux circonférences directrices du biais passé et la directrice rectiligne D de cette surface.

Pour construire le plan tangent au point (/??, m'), on doit chercher une génératrice de cet hyperboloïde qui rencontre deux droites de cette surface du même système que bc. Prenons pour l'une de ces droites la trace de l'hyperboloïde sur le plan horizontal (H'), qui contient déjà la directrice rectiligne D. Cette trace s'obtient en joignant par une droite les traces sur ce plan

des tangentes aux circonférences directrices, tangentes qui sont les directrices de rhyperboloïde.

La perpendiculaire e' au plan vertical rencontre les directrices de rhyperboloïde projetées suivant é d ^ e*b' et la droite D à laquelle elle est parallèle. Cette perpendiculaire au plan vertical est donc aussi une droite de Thyperboloïde du même système que la génératrice qui contient le point m. En joignant le point e' au point m', on a la projection verticale d'une génératrice de cet hyperboloïde, et, comme la trace de cette droite sur (H') doit être sur la trace de l'hyperboloïde sur le même plan, celte trace est au point t. En joignant le point m au point /, on a alors la projection horizontale de la ligne e' m'. Les droites ml et mY sont les projections d'une droite qui, avec la génératrice de l'hyperboloïde, définissent le plan tangent demandé. La trace sur (H') de ce plan tangent est la droite rt.

Antres solutions ponr déterminer le plan tangent. — Le plan tangent en un point d'une génératrice d'une surface gauche est le plan déterminé par cette génératrice et par une tangente menée par ce point à la surface. On a alors facilement le plan tangent, après avoir construit en (m, m') la tangente à une courbe tracée sur le biais passé.

Or il est très aisé de construire la tangente à la section faite dans le biais passé par un plan mené par le point (m, m') parallèlement au plan vertical de projection.

Ce plan sécant étant parallèle aux plans des courbes directrices détermine avec les circonférences Ct, Cj trois plans qui partagent toutes les génératrices de la surface en segments proportionnels ; ces segments se projettent sur le plan vertical de projection suivant des segments dont le rapport est égal au rapport dans lequel se trouvent partagés les segments des génératrices dans l'espace. Pour une génératrice quelconque de la surface, les segments tels que c'/n', m' U sont donc dans un rapport constant.

Sur le plan vertical de projection, la courbe lieu des points tels que m' partage alors dans un rapport constant les segments interceptés par C'j , G', sur des droites telles que c'b\ qui passent constamment par le point o'.

Nous savons construire la normale à la courbe lieu des points

BIAIS PASSE GAUCHB.

tels que ni. Pour délerminer cette droite, élevons au point o' (yî^. 242) (') une perpendiculaire à o'/w'; menons au point d la normale à C',; elle rencontre en un point y la perpendiculaire que nous venons de mener; traçons de même la normale au point // à

Fig. l'^i.

C,; elle rencontre la perpendiculaire o'y au point P : la normale

demandée , passe par le point [jl, qui partage le segment yfi de

façon que -^ = —rrr

^ ^ [xp m' 6

Pour déterminer le point |jl, il suffit de prendre le point de rencontre s des droites c'y, 6'? et d'abaisser de ce point e une perpendiculaire sur la droite dnil : cette perpendiculaire coupe o'y au point |jl. En effet, les triangles 6Ve', Pye sont semblables, puisqu'ils ont leurs côtés respectivement perpendiculaires; en abaissant du point s une perpendiculaire sur c'm', on a l'homologue de cette droite; elle partage le côté y? comme le point m! partage le côté c'fr'. Ayant le point [jl, on a la normale /w'|jl, et la perpendiculaire à cette droite menée par le point m' est une droite de front du plan tangent demandé.

Nous venons de déterminer le plan tangent en construisant la tangente en ni à la section faite dans le biais passé par un plan mené par ce point parallèlement au plan vertical de projection et

(') Nous faisons cette construction sur une figure particulière pour ne pas compliquer la fig. i\\.

45o SECONDE PARTIE. — TRENTIÈME LEÇON.

en donnant de cette section plane une certaine définition. Nous allons montrer que la projection verticale de cette section plane peut être engendrée d'une autre façon (*). Il en résulte une construction de la normale à la projection verticale de cette courbe et une autre construction du plan tangent.

Le plan sécant mené par le point m rencontre {Jig- a4i) Isi génératrice ol du cône directeur au point (p, s?')\ ce point appartient à la trace du cône directeur sur ce plan. Cette trace est une circonférence de cercle qui se projette verticalement suivant une circonférence tangente au point o> à la projection verticale de la circonférence lieu des points tels que l'.

Puisque la droite ol est parallèle à la génératrice è/??, on a

bm = çl et, par suite,

On obtient donc la projection verticale de la section plane en portant sur des droites partant du point fixe cf et à partir des points où elles rencontrent C, des segments tels que V m' , égaux aux segments tels que v^ ly interceptés par deux circonférences fixes.

11 résulte de là un moyen de construire la normale en rn! à la

Fi g. 2/|3.

courbe ainsi obtenue. Élevons {fig* a43) (^) au point c! une perpendiculaire k o>b'; appelons i' le point milieu du segment s/b\ Le

(•) Traité de Géométrie descriptive de M. de la Gocbxckie, !!• Partie, p. 21 4. (') Nous avons fait une figure particulière pour ne pas compliquer layî^. 3^41

BIAIS PASSÉ GAUCHE. 45l

point i' est aussi le milieu du segment V m\ puisque nous supposons que le segment Vm! est égal à v' l', La normale au point v*, à la circonférence qui contient ce point, rencontre au point i la perpendiculaire à la droite o' U que nous venons de mener par le point o'. La normale au point b' à la circonférence directrice donne le point a sur cette perpendiculaire; la normale au point/' à la trace du cône directeur donne le point 4 ; enfin la normale cherchée vient donner le point |jl sur o'a.

Puisque le point i' est le milieu de r'A', le segment i-3 est égal au

segment 3-2.

Puisque le point i' est le milieu du segment V m!, le segment