est égal au segment 3-|jl

Il résulte de là que le segment a-[ji est égal au segment i-4 j et que, par conséquent, il est aussi facile de construire le point |jl qu'il a été facile de déterminer le point m! sur la droite o'6'. Connaissant la droite m'[Ji, il suffît d'élever une perpendiculaire à cette droite pour avoir une droite de front du plan tangent demandé : ce plan est donc déterminé.

Génératrices singulières. — H y ^ sur le biais passé gauche des génératrices singulières. Telles sont les génératrices situées dans le plan horizontal (H') : elles rencontrent la directrice rectiligne {fig. if\\) aux points 5, //. Ces génératrices rencontrent les circonférences directrices en des points pourlesquelsles plans tangents sont verticaux et confondus. Le plan tangent est unique tout le long de ces génératrices-, il est différent aux points s et w, qui sont les points centraux sur ces génératrices.

On a encore des génératrices singulières en prenant les génératrices qui se projettent verticalement suivant les droites menées par le point o' tangentiellement aux projections verticales des circonférences directrices ; aux points où ces droites rencontrent ces circonférences directrices, on a, pour chacune de ces droites, un même plan tangent.

PROBLÈMES RELATIFS AUX SURFACES GAUCHES (appl. de géom. cinéx.)*

Surfaces réglées engendrées pendant le déplacement d'une figure de forme invariable (*). — Nous allons considérer maintenant les surfaces réglées engendrées par des droites faisant partie de figures mobiles de forme invariable.

Quatre plans (A), (B), (G), (E), liés inçariablementj se coupent suivant une droite D; chacun de ces plans est tangent à une sur/ace donnée. Lorsqu'on déplace ce faisceau de plans de façon que ces quatre plans restent respectivement tangents aux surfaces données, la droite D engendre une surface (D). Nous nous proposons de construire le plan tangent à (D)pour un point de la droite D.

Soit a {fig- 244) le point de contact du plan (A) avec Tune des

Fig. 244.

surfaces directrices données. Lorsqu'on déplace la figure de forme invariable, le plan (A) a une caractéristique qui passe par le point a; mais la caractéristique d'un plan qui passe par une droite D est la projection de l'adjointe au plan perpendiculaire à celte droite; la normale A au point a à la surface directrice donnée doit donc rencontrer cette adjointe.

(•) Étude sur le déplacement {loc, cit., et Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 6 et i3 juin 1870, 3 et 10 mars 1873). Ces deux dernières Communications ont été reproduites dans le Bulletin de la Société mathématique de France, t. I, p. 106. Dans le même volume^ page ii4f on trouve une intéressante Note de M. Halpder, Sur le mouvement d'une droite.

PROBLéMES RELATIFS AUX SURFACES GAUCHES. 453

Ce que nous venons de dire pour l'un des plans, on peut le répéter pour les trois autres; on voit donc que, en menant aux surfaces directrices données des normales issues des points où ces surfaces sont touchées par les quatre plans (A), (B), (C), (E), on obtient quatre droites qui doivent rencontrer l'adjointe au plan perpendiculaire à D. Ces quatre droites A, B, C, E sont parallèles à un plan perpendiculaire à D; par suite elles rencontrent la droite à l'infini sur ce plan. 11 n'y a alors qu'une seule droite à distance finie qui rencontre A, B, C, E, et cette droite L est l'adjointe demandée.

Construisons L. Considérons le paraboloïde qui a pour directrices les normales A, B, C. Coupons ce paraboloïde par le plan mené, par la normale E, perpendiculairement à la droite D, c'està-dire par un plan parallèle à l'un des plans directeurs de ce paraboloïde ; la section est une droite G, qui rencontre E en un point g \ la génératrice du paraboloïde (A, B, C), qui passe par le point g^ est la droite L qu'il s'agissait de construire.

La droite L, adjointe au plan perpendiculaire à D, est, comme on le sait, une droite qui appartient au paraboloïde des normales de la surface (D) engendrée par D; on obtient donc le plan tangent en un point quelconque /n de D à la surface (D) de la manière suivante : on mène par m un plan perpendiculaire à D, ce plan rencontre L en un point [jl, la droite /n|JL est la génératrice du paraboloïde des normales, et, par conséquent, c'est la normale au point m à (D); le plan tangent demandé lui est perpendiculaire.

On peut encore dire que ce plan tangent est le plan mené par D perpendiculairement au plan déterminé par le point m et par la droite L.

Au moyen de la droite L, on obtient la caractéristique de l'un quelconque des quatre plans du faisceau mobile en projetant cette droite L sur ce plan.

On peut remarquer que ce paraboloïde des normales à la surface (D) par la droite D est déterminé ; par conséquent, cette droite engendre un élément de surface réglée, quoique les conditions qui définissent le déplacement de la figure de forme invariable ne soient qu'au nombre de quatre seulement, et que, en général, dans ces circonstances, les points admettent des surfaces trajectoires et les droites engendrent des pinceaux. Dans une

45i SECONDE PARTIE. — TRENTIÈME LEÇON.

figure de forme invariable, donl les déplacements sont assujettis à quatre conditions, il y a une infinité de droites, telles que D (* )- Prenons (^fig* ^45) le cas particulier où l'on n'a plus que deux plans assujettis à rester tangents à une surfax^e donnée^ la droite D étant en outre assujettie à toucher deux autres surfaces données. Des points de contact a et b des deux plans avec

Fig.

(Aj/

la surface directrice, menons- des normales à cette surface; des points, où la droite D touche les autres surfaces directrices, menons les normales C, E à ces surfaces. L'adjointe au plan perpendiculaire à D rencontre A et B, comme nous l'avons montré, et, comme cette droite appartient au paraboloïde des normales de la surface (D) engendrée par D, elle rencontre aussi C et E; eUe doit donc rencontrer A, B, C, E. On la détermine comme nous venons de le dire et, lorsqu'elle est construite, on achève comme précédemment pour déterminer soit le plan tangent en un point quelconque m de D, soit la caractéristique de l'une des faces du dièdre mobile.

Supposons {fig* 246) que l'angle du dièdre formé par les plans (A)et(B) diffère infiniment peu de deux angles droits; alors a et b sont infiniment voisins de D, et la droite qui joint ces deux points est la tangente conjuguée de D par rapport à la surface directrice à laquelle la droite D est maintenant tangente. Cette droite est toujours assujettie, en outre, à toucher deux autres surfaces directrices données. En définitive, la droite D doit rester maintenant tangente à trois surfaces directrices, et un plan (A) mené par cette droite reste tangent à Vune de ces surfaces successivement aux points de contact de D avec cette surface.

(*) Voir à la fin de cette Leçon.

Le paraboloïde employé pour déterminer la droite L, adjointe au plan perpendiculaire à D, est le paraboloïde des trois droites A, B, C. Mais A et B sont deux droites infiniment voisines; ce paraboloïde est donc le paraboloïde qui est mené par C et qui se raccorde avec la normalie ayant pour directrice une courbe passant par les points a et 6.

Ce paraboloïde de raccordement a pour plans tangents, aux

Fig. 246.

centres de courbure principaux yi et Y2 situés sur la normale A, les plans des sections principales de la surface directrice. Les directrices de ce paraboloïde sont les droites qui joignent les points y, , Y2 aux points de rencontre de la droite C avec ces plans des sections principales. Ce paraboloïde est déterminé par ces deux droites et par son plan directeur, qui est toujours le plan perpendiculaire à D.

En prenant le point de rencontre g de la droite E avec ce paraboloïde, la génératrice L qui passe par g est l'adjointe à l'aide de laquelle on construit, comme précédemment, le plan tangent en un point quelconque m de la droite D.

En projetant L sur le plan (A) tangent en a à la surface directrice donnée, on obtient la caractéristique de ce plan mobile. Comme cette droite est conjuguée de la tangente à la ligne de contact de (D) avec la surface directrice, il suffit de prendre la tangente conjuguée de cette projection de l'adjointe \^ pour avoir, au point a, la tangente à la courbe de contact de la surface réglée (D) avec la surface directrice à laquelle le plan (A) reste tangent.

Dièdre mobile. — La propriété de l'adjointe au plan perpendiculaire à D de se projeter sur les faces d'un dièdre de forme inva-

riablc, qui a pour arête celle droite, suivant les caractéristiques de ces faces, montre comment on construit cette adjointe lorsque Ton donne les caractéristiques des faces d^un dièdre mobile. Il suffît de mener suivant les caractéristiques des faces de ce dièdre des plans normaux à ces faces; leur intersection est l'adjointe cherchée. Au moyen de cette adjointe, on construit, comme précédemment, les plans tangents à la surface réglée engendrée par l'arête du dièdre. Par exemple, nous avons déjà dit que, lorsqu'un dièdre droit se déplace de manière que ses faces contiennent deux droites, l'arête du dièdre engendre un hyperboloïde; la remarque que nous venons de faire permet donc de construire les plans tangents à un pareil hyperboloïde.

Puisque la droite L appartient au paraboloïde des normales engendré par l'arête du dièdre mobile, on peut la prendre comme droite conjuguée Ae cette arête; on voit alors que le déplacement de ce dièdre mobile peut être obtenu au moyen d'une simple rotation autour de cette adjointe.

Dans le cas particulie,r où la caractéristique d'une des faces du dièdre mobile est perpendiculaire à la génératrice D de la surface gauche (D), l'adjointe L est à l'infini et ne peut pas être prise comme axe de rotation permettant le déplacement du dièdre; le déplacement autour de cet axe à l'infini est une simple translation dans la direction de D, ce qui ne déplace pas le dièdre.

On voit également que, dans ce cas particulier, la caractéristique de V autre face est aussi perpendiculaire à D et que ces deux caractéristiques ne rencontrent pas D au même point (*).

Si (D) est une surface développable, les caractéristiques des faces du dièdre rencontrent D au même point; elles peuvent être Tune et l'autre perpendiculaires à D et le déplacement du dièdre peut s'effectuer au moyen d'une rotation infiniment petite.

Droite mobile dont qnatre points restent sur quatre surfaces données. — Nous venons de considérer le déplacement d'une droite îndé-

(') Voir mes Notes suivantes : Sur le déplacement infiniment petit d'un dièdre de grandeur invariable {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, ii juin 1877); Nouvelle démonstration d'un théorème relatif au déplacement infiniment petit d'un dièdre, et nouvelle application de ce théorème {Bulletin de la Société mathématique de France, t. VI. p. 5); Démonst rations géométriques d'un théorème relatif aux surfaces réglées {Id., p. 7).

pendamment de ses points; examinons le cas où la droite mobile se déplace de façon que quatre de ses points a, 6, c, e {Jig- 247) restent sur quatre surfaces données.

On ne connaît pas les trajectoires décrites par les quatre points a, 6, c, e, mais on sait que le plan normal à la trajectoire décrite par le point a contient la conjuguée A de la droite D ; la normale A à la surface sur laquelle reste le point a rencontre donc la conju-

guée de D. Il en est de même des normales aux trois autres surfaces directrices élevées respectivement des points &, c, e; donc la conjuguée de D est la droite A qui rencontre les quatre normales A, B, C, E aux surfaces directrices.

11 n'y a qu'une seule droite rencontrant A, B, C, E, puisque D rencontre déjà ces quatre droites. Pour construire A, coupons riiyperboloïde, défini par A, B, C, par le plan (D, E), qui le rencontre suivant la droite D; alors la section est une droite H. Cette droite rencontre E en un point A, et la génératrice de l'hyperboloïde qui passe par h est la droite A. Connaissant A, on obtient tout de suite la tangente à la trajectoire d'un point quelconque m de D : c'est la perpendiculaire élevée de ce point au plan (m, A). On a aussi le plan tangent en ce point à la surface engendrée par D : c'est le plan mené par D perpendiculairement au plan

Supposons, comme cas particulier, que les points a et b soient sur une même sur/ace, et que la droite mobile soit en outre assujettie à toucher deux autres surfaces données.

Les normales élevées des points a et b (Jig- ^48) à la surface sur laquelle restent ces points rencontrent la conjuguée de D, et, comme cette conjuguée appartient au paraboloïde des normales à la surface engendrée par cette droite, elle rencontre aussi les normales C et E aux deux autres surfaces directrices; A est alors

déterminé, comme précédemment, au moyen de quatre droites A, B, C, E.

Si les points a et b sont infiniment voisins, la droite D est tangente à trois surfaces directrices, et le point a décrit sur la surface directrice [à] la courbe de contact de cette surface et de la surface réglée engendrée par D. Dans ce cas, rhyperboloïde défini par A, B, G est rhyperboloïde mené par C, et qui est de raccordement avec l'élément de normalie qui contient A et B. Aux centres de courbure principaux yi et y^, les plans tangents à cette normalie

Fig. 248.

sont les plans des sections principales de la surface \a\. Les trois directrices de cet hyperboloïde sont alors D et les droites partant des points Yi, ya et aboutissant aux points où la droite C rencontre les plans des sections principales de [a]. Cet hyperboloïde de raccordement étant défini au moyen de ces trois droites, on sait construire, comme précédemment, la génératrice de cet hyperboloïde qui rencontre E, et obtenir ainsi la droite A. Connaissant A, on peut déterminer la tangente à la trajectoire! du point a, ce qui donne une autre solution de cette question, précédemment résolue : Une droite tangente à trois surfaces directrices engendre une surface réglée; construire la tangente à la courbe de contact de cette surface avec Vune des surfaces directrices.

Les points a et b peuvent être confondus sans que les surfaces directrices de ces points soient confondues. Les points a et b confondus décrivent alors la ligne d'intersection (a) des surfaces directrices; par suite, la droite D est assujettie à avoir un point a sur une courbe (a) pendant que les points c, e restent sur des surfaces données. La solution, dans ce cas, est très simple : la droite conjuguée est dans le plan normal en a à la trajectoire (a) de ce point, et elle rencontre C, E^ par conséquent, c'est la droite

qui joint les traces des normales G, E sur le plan normal en a à la trajectoire (a).

Enfin, dans le cas où la droite est assujettie à avoir deux de ses points sur deux courbes données, la droite A est l'intersection des plans normaux menés en ces points aux trajectoires données de ces points.

Droites liées à une figure dont les déplacements sont assujettis à quatre conditions et qui, à partir de leurs positions primitives, n'engendrent pas de pinceaux. — Il reste maintenant à revenir sur ce que nous avons annoncé relativement aux droites qui engendrent des éléments de surfaces réglées pour tous les déplacements d'une figure assujettie à quatre conditions seulement.

Considérons un pareil déplacement dans le cas où il y a deux axes simultanés |de rotation D et A. Appelons X une droite qui, pour tous les déplacements de la figure, engendre le même élément de surface réglée. Un point de cette droite a pour surface trajectoire, autour de sa position, la surface engendrée par X, et la normale à cette surface est la droite issue de ce point, qui rencontre D et A. Les normales aux surfaces trajectoires des points de X forment alors le paraboloïde des normales à l'élément de surface réglée engendré par X. La droite X doit, par conséquent, déterminer avec D et A un paraboloïde dont un plan directeur lui est perpendiculaire; X doit alors rencontrer à angle droit la perpendiculaire O commune à D et à A.

Prenons une droite qui s'appuie sur D et A, et menons la perpendiculaire commune X à cette droite et à O. Cette droite X, qui est bien déterminée, remplit les conditions dont nous venons de parler. On a alors toutes les droites telles que X en prenant les perpendiculaires communes à O et aux droites qui s'appuient sur D et A. Les droites X sont donc les génératrices du conoïde de Pliicker que nous avons étudié précédemment (*),

(') En faisant usage d'une propriété énoncée au bas de la page 36]. On peut dire : Lorsqu'une figure de forme invariable n'est assujettie qu'à quatre conditions, les axes de tous les déplacements qu'on peut lui imprimer, à partir d'une de ses positions, sont les génératrices d'un conoïde de Pliicker.

46o SECONDE PARTIE. — TRENTIÈME LEÇON.