SUPPLÉMENT A LA TRENTIÈME LEQON

APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE

Dièdre mobile dont Tarête reste tangente à deux surfaces données et dont les faces restent tangentes à ces mêmes surfaces. — En considérant d'abord le déplacement d'un dièdre dont les faces sont tangentes à une même surface, puis en supposant que ce dièdre diffère infiniment peu de deux angles droits, nous avons trouvé, dans cette Leçon, une j)ropriété relative à l'adjointe à un plan perpendiculaire à l'arête de ce dièdre. Cette propriété peut être énoncée ainsi :

Lorsqu'un plan contenant une droite se déplace de telle façon (fu*il reste, ainsi que la droite, tangent à une surface, l'adjointe à un plan perpendiculaire à cette droite est tangente à une normalie à la surface donnée, qui a pour directrice une courbe dont la tangente est conjuguée de la droite mobile.

Cette propriété permet de résoudre immédiatement le problème suivant :

L'arête d'un dièdre mobile reste tangente à deux surfaces données, et les faces de ce dièdre sont tangentes à ces surfaces; dé ter ^ miner l'adjointe à un plan perpendiculaire à cette arête.

Supposons, comme cas particulier, que les surfaces données soient les nappes de la développée d'une surface (S) et que le dièdre mobile soit le dièdre droit formé par les plans des sections principales de (S) relatifs à la normale A. On peut alors déplacer ce dièdre d'une infinité de manières autour de la position qu'il occupe sans qu'il cesse de remplir ces conditions. En conséquence, il doit y avoir une infinité d'adjointes à un plan perpendiculaire à A.

D'après ce qui précède, ces adjointes doivent être tangentes à deux éléments de normalies. Comme les deux droites infiniment voisines, qui déterminent respectivement chacun de ces éléments de normalies, sont perpendiculaires à A et qu'elles doivent pouvoir être rencontrées par une infinité de droites, elles appartiennent toutes les quatre à un même paraboloïde hyperbolique ; ce paraboloïde est le lieu de toutes

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ces adjointes. Mais ces adjointes peuvent être prises comme axes instantanés de rotation au moyen desquels s'obtiennent tous les déplacements du dièdre droit; par suite on voit que :

Le lieu des aœes autour desquels il faut faire tourner les plans des sections principales d'une surface pour les amener dans l'une quelconque des positions infiniment voisines qu'ils peuvent occuper est un paraboloïde hyperbolique.

Ce paraboloïde, que j'ai appelé /?a/'a 60 /oiVfe des huit droites^ permet d'obtenir facilement la liaison qui existe entre les éléments de courbure des deux nappes de la développée d'une surface (•).

Gonstmction de l'hyperboloide oscnlateur d'une surface réglée définie par trois surfaces ou courbes directrices (*). — Nous avons vu (p. 3i i) que, pour construire l'hyperboloide osculateur d'une surface réglée (D) le long d'une génératrice D, on doit construire les asymptotes des indicatrices de (D) en trois points de D.

La construction de l'asymptote de l'indicatrice de (D) au point a, où cette droite touche une surface directrice (A), se ramène à la construction de l'asymptote de l'indicatrice de cette surface en a. Pour le montrer, considérons la courbe de contact (a) de (D) et de (A). Aux différents points de cette courbe, ces deux surfaces ont les mêmes plans tangents. Par suite, lorsque le plan tangent en a aux surfaces (A) et (D) se déplace en restant tangent à (A), de façon que son point de contact soit toujours un point de (a), sa caractéristique est conjuguée de la tangente au point a à la ligne {a) relativement à (A) et à (D). Ces deux surfaces ont donc en a un système commun de diamètres conjugués.

Ce système de diamètres, que l'on connaît pour (A), est aussi un système de diamètres conjugués par rapport aux asymptotes de l'in-

(') Pour plus de développements relativement à ce paraboloïde, je renvoie aux Communications que j'ai faites à rAcadémie des Sciences et dont voici les titres :

1" Détermination de la liaison géométrique qui existe entre les éléments de courbure des deux nappes de la sur/ace des centres de courbure principaux d'une sur/ace donnée (la février 1872).

a* Détermination des relations analytiques qui existent entre les éléments de courbure des deux nappes de la développée d*une sur/ace (7 décembre 187^).

3« Sur le paraboloïde des huit droites (2 avril 1877).

4" Sur les sur/aces dont les rayons de courbure principaux sont /onctions Vun de Vautre (3o avril 1877).

(*) Ed. Weyb. Académie de Vienne, 1880.

J. SoLisi. Académie de Prague, i883.

dicatrice de (D) en a, mais on a Tune de ces droites, c'est la génératrice D : on peut alors facilement construire Tautre.

Cherchons maintenant Tasjmptote de l'indicatrice de (D) au point où D rencontre une courbe directrice. Prenons d'abord un dièdre mobile dont les faces sont tangentes en 6 et c à cette courbe et dont Tarêle D touche deux surfaces directrices (E), (F).

Aux points b et c menons respectivement des perpendiculaires aux faces du dièdre. Ces droites et les normales E, F aux surfaces directrices sont quatre droites perpendiculaires à D.

La droite unique L, qui les rencontre, est l'adjointe au plan perpendiculaire à D. En projetant L sur les faces du dièdre, on obtient les caractéristiques de ces faces pour un déplacement infiniment petit du dièdre.

Supposons que le dièdre diffère infiniment peu de deux angles droits; on n'a plus alors qu'un plan (P) sur lequel une droite D est marquée; ce plan touche toujours la courbe directrice en un point de D, et cette droite reste tangente aux surfaces directrices (E), (F).

Les points ô et c sont actuellement infiniment voisins; les droites B, C déterminent un élément de surface réglée dont le plan directeur est perpendiculaire à D et dont les directrices sont : la tangente à la courbe donnée et l'axe de courbure de cette courbe. On peut construire le paraboloïde qui passe par E et qui se raccorde avec cet élément de surface. Ce paraboloïde est rencontré par F en un point; la génératrice de ce paraboloïde qui passe par ce point est l'adjointe L au plan perpendiculaire à D. En projetant L sur (P), on a la caractéristique de ce plan et l'on achève comme précédemment. «

Gonstraire l'hyperboloîde oscillateur d'une normalie. — Soit (A) une uormalie à une surface (S) dont la directrice est une courbe plane E. Appelons toujours a un point de cette courbe, A la normale en a à (S), et (T) le plan tangent à cette surface en a.

Aux points de contact de A avec les nappes de la développée de (S) on peut construire, comme nous venons de le voir, les directrices de l'hyperboloîde qui est osculateur de la normalie (A) le long de A. On est ainsi conduit à se donner les droites de courbure des nappes de cette développée. Il y a entre ces droites de courbure une liaison nécessaire qui ne permet pas de les prendre arbitrairement (p. 4^i).

Pour définir complètement l'hyperboloîde osculateur, dont on connaît déjà deux directrices, il reste à construire une troisième directrice. Dans le cas actuel, nous allons employer pour cela un procédé particulier. Appelons at la tangente en a à E, et ax la tangente con-

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juguée de at par rapport à (S). Le plan (A, at), tangenl à la normalie (A) en a, est perpendiculaire au plan (T). Ces deux plans forment un dièdre qui est toujours droit lorsque, ces plans restant tangents respectivement à (A) et à (S), le point a décrit E. L'arête de ce dièdre est alors constamment tangente à cette courbe.

Pour un déplacement infiniment petit, les faces de ce dièdre ont chacune une caractéristique. Le plan (T) a pour caractéristique ax, conjuguée de at. La face (A, a^) a pour caractéristique une droite (jue Ton construit ainsi : par aC on mène un plan perpendiculaire au plan de E, et par ax on mène un plan perpendiculaire à (T); ces deux plans se coupent suivant une droite dont la projection sur la face (A, at) est la caractéristique de cette face (p. 869).

Cette caractéristique et at sont deux tangentes conjuguées de (A). On a donc, en a, la droite A, qui est une asymptote de l'indicatrice de (A) pour ce point, et un système de tangentes conjuguées; on peut alors construire Tautre asymptote de cette indicatrice.

Cette droite est la troisième directrice de Thyperboloïde osculateur demandé. Cet hyperboloïde est alors déterminé.

La construction de Thyperboloïde osculateur d'une normalie permet de résoudre facilement un certain nombre de problèmes.

Voici les énoncés de quelques-uns de ces problèmes :

Construire le plan osculateur en un point de la courbe de con^ tact d'une sur/ace et d'un cylindre ou d'un cône qui lui est circon-^ scrit.

Construire le rayon de courbure de la développée de la section faite dans une surf ace par un plan quelconque.

Construire le centre de courbure de l'une des branches de la section faite dans une surface par l'un de ses plans tangents (*).

Sur les trajectoires des points d'une droite mobile (*). — On peut considérer ces trajectoires à deux points de vue, ayant chacun leur intérêt propre :

I® On peut chercher à construire les éléments de ces trajectoires, connaissant deux d'entre elles.

(*) Voir {Comptes rendus de V Académie des Sciences^ séances des 1*, i5 et ■22 mars 1875) les solutions que j'ai données de ces problèmes et de quelques autres.

(•) Voir A. ScHôTCFLiBS, Sur la courbure des lignes décrites par les points d'un solide invariable en mouvement {Mémoires de la Société ^-oyale des Sciences de Liège, 2* série, t. XI ).

2° On peut chercher les propriétés communes à ces trajectoires.

Relativement au premier point de vue, je dirai seulement que les axes de courbure des trajectoires des points d'une droite peuvent se construire au moyen d'une simple droite (*).

Voici maintenant les énoncés de quelques propriétés de ces trajectoires (*) :

Les tangentes aux trajectoires de tous les points d* une droite appartiennent à un paraboloïde hyperbolique qui a Vun de ses plans directeurs perpendiculaire à la conjuguée de cette droite.

Pour une position quelconque d'une droite pendant son déplacementy les axes de courbure des trajectoires de tous les points de celte droite appartiennent à un hyper boloïde (').

La sur/ace formée par les normales principales des trajectoires de tous les points d'une droite est une sur/ace du quatrième ordre qui possède une droite triple.

Le lieu des centres de courbure des trajectoires de tous les points d'une droite est une courbe du cinquième ordre.

'Les centres des sphères osculatrices des trajectoires de tous les points d'une droite sont sur une cubique gauche (^).

Lorsque quatre points d'une droite mobile restent sur quatre plans donnés, un point quelconque de cette droite décrit une ellipse (*).

Lorsque les points d'une droite sont assujettis seulement à trois conditions, ils se déplacent sur leurs surfaces trajectoires. Pour un déplacement, les points de la droite mobile décrivent des lignes sur ces surfaces. Voici quelques résultats relatifs à ces lignes (^') :

(') Comptes rendus de l* Académie des Sciences, séance du 0 juin 1870.

(') Voir {Comptes rendus de t* Académie des Sciences, séances des 3 et 10 mars 1873) les démonstrations que j'ai données de ces propriétés et de quelques autres.

(') Ce Ihéorème est dû à M. Haag {Bultetin de la Société Philomalhique. séance du i5 juin 1870). M. Ridaccocr, de son c6lé, m'avait communique l'énonce de ce théorème, dans le cas particulier où la droite mobile est normale à la trajectoire de ses points.

(*) Ce théorème est dû à M. Haag.

(^) On peut compléter ainsi celte propriété : La droite mobile engendre une sur/ace du quatrième ordre dont le cône directeur est de révolution. Si la droite mobile entraine le plan qui la contient et qui reste constamment parallèle à l'axe de ce cône directeur, un point vwariablement lié à ce plan décrit aussi une ellipse.

(*) Voir mon Mémoire intitulé Sur les sur/aces trajectoires des points d'une

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Le lieu des points d'une figure déforme invariable dont les trajectoires sont tangentes à des lignes asymptotiques de leurs surfaces trajectoires est une surface du troisième ordre.

De là cette propriété : // existe toujours une droite dont tous les points décrivent des éléments de lignes asymptotiques sur leurs surfaces trajectoires.

Le lieu des points d'une figure dont les trajectoires ont leurs plans osculateurs normaux aux surfaces trajectoires de ces points est une surface de sixième ordre.

Le lieu des centres de courbure principaux des surfaces trajectoires des points d'une droite est une courbe gauche du sixième ordre, etc., etc. (M.

figure de forme invariable dont le déplacement est assujetti à quatre conditions {Recueil des Savants étrangers, t. XXII, et Journal de Mathématiques de M. Besal, 3" série, t. I, p. 67).

(') En terminant ce qui est relatif à la Géométrie cinématique, je crois devoir rappeler que, pour la partie historique concernant la question du déplacement d'une figure de forme invariable, j'ai renvoyé à la Notice de M. Ghasles {voir p. 160, 358, 36o); c'est pourquoi je n'ai pas parlé des travaux des géomètres d'ailleurs si connus : Descartes, Pascal, Roberval, Jean Bermoulli, d'Albmbert,

EULER, GlULIO MOZZI, LbXELL, CaRNOT, GaUCBY, POINSOT, G. GlORGIHI.

Le travail de M. Ghasles renferme aussi des Notes intéressantes dans lesquelles sont cités : de Prony, Mobics, Lefébure de Focrcy, P. Breton, Transon, Salmou, Bresse, Gilbert, Rodrigces, Stegmarn, de Jonqcières, l'abbé Jcllien, Steichen, Lamarle, Bellavitis, F. Lucas et moi-même.