PREMIERE LEÇON

OMBRES sua LES FIGURES GÉOMÉTRALES.

Définilions relatives aux dessins d'Architecture ou de Macliincs. — Définitions relatives aux ombres. — Nature de la ligne de séparation d'ombre et de lumière pour les surfaces les plus simples. ~ Méthodes générales pour la détermination des ombres : — méthode des plana sécants, — méthode des plans tangents, — méthode des projections obliques. — Poïots brillants.

Définitions relatives aax dessins d'Ârchitectnre ou de Macliines- — Les différentes projections ortliog-onales employées pour les dessins d'Architecture ou de Machines prennent des noms particuliers que nous allons définir.

On donne le nom à'élévation à la projection d'une façade d'un édifice sur un plan vertical parallèle aux arêtes horizontales de celte façade.

L'ensemble de la section faite par un plan horizontal, situé aune certaine hauteur au-dessus du sol d'un étage d'un édifice, et de la

projection sur ce plan des objets placés au-dessous de lui pnrle le nom de plan. Pour J'iûdication complète de la disposition in Lérieiire de l'édifice, on fait autant de plans qu'il y a d'élages.

La section par un plan vertical, mené perpendiculairement à la direction des grandes arêtes horizontales d'une des façades, est appelée coupe. On distingue les coupes longitudinales el les coupes transversales, et l'on a soin, comme pour )e/)/ffn, de projeter sur le plan sécant les objets placés derrière ce plan relativement au spectateur.

Lorsqu'il s'agit du dessin des Machines, on a encore des éléva^ lions et un plan, mais le plan est une projection horizontale de l'ensemble de la machine; le plan sur lequel on projette n'est pas un plan sécant. Les plans, les élévations et les coupes portent le nom àe figures géométrales.

Si l'on veut compléter le tracé linéaire de manière à le transformer en une figure faisant image, on ajoute des teintes et des ombres. Il est évident que, si une circonférence de cercle est tracée sur le dessin d'une élévation, on ne sait pas ce que représente cette figure; mais, si l'on j ajoute des ombres et des teintes, on peut parfaitement montrer s'il s'agit d'une demi-sphère en relief ou d'\ine demi-sphère en crens.

Définitions relatives aux ombres. — Occupons-nous des ombres dans la méthode des projections orthogonales, en supposant que le corps lumineux est réduit k un point.

Lorsque les rayons lumineux sont parallèles, on suppose que leur direction est celle de la diagonale d'un cube dont une face est parallèle au plan vertical de projection et une autre face parallèle an plan horizontal de projection. Le cube, placé comme noiis venons de l'indiquer, est représenté {fig- i) en projection verticale el en projection horizontale par deux carrés égaux entre eux. La projection d'une diagonale du cube est, sur chacun des plans de projection, une diagonale de ces carrés. On voit alors que les projections d'un rayon lumineux sont des droites faisant un angle de 45" avec la direction de la ligne de terre (').

(') Je rappdie que

Donnons maintenant quelques définitions relatives aux ombres.

Un corps de dimensions finies reçoit des rayons lumineux; il est éclairé par ces rayons et les intercepte; les différents points situés dans le prolongement de ces rayons ne sont pas éclairés et sont dits dans l'ombre. Les rayons qui son t ainsi interceptés par le corps sont renfermés dans une suite de rayons dont nous allons'examiner la situation.

Pour cela, prenons en particulier un rayon lumineux. Supposons qu'il traverse le corps; il y a un point d'entrée et un point de sortie. Transportons ce rayon lumineux de façon que le point d'entrée et le point de sortie se confondent. Ce rayon particulier, sur lequel

il y a maintenant deux points confondus, est tangent k la surface qui limite le corps ; s'il s'appuie sur la ligne d'intersection de deux surfaces, on peut aussi le considérer comme étant «ne tangente.

L'ensemble des rayons qu'on peut obtenir ainsi, et sur chacim desquels il y a deux points confondus, constitue ce que l'on appelle le cône d'ombre ou le cylindre d'ombre, et le lieu des points qu'on obtient en considérant sur chacun de ces rayons le point qui représente la réunion des deux points dont nous venons de parler est la ligne de séparation d'ombre et de lumière, qu'on appelle e ligne d' ombre propre.

sons de l'objet à représenter et que le piiin vcr:ii:al est éloigné au delà (le Cet objet par rapport aa spectatetir.

La situation des pians de projection n'étant pas fixée, leur intersection, e'eslà-dire la ligne de terre, est indéterminée.

Je ne trace pas cette droite sur les épures, mais sa direction est connue, puisqu'elle est perpeadieulaire à la droite qui joiii' point de l'espace. Noos parlerons de la directit cette droilfi était tracée.

SI l'on prolonge les rayons lumineux qui forinenL le cône d'ombre, leurs traces sur une nouvelle surface déterminent une ligne à laquelle on donne le nom de ligne d'ombre portée.

Prenons une siirface et imaginons d'un point lumineux s {Jlg- 2) des rayons tangents à cette surface; nous avons pour chacun de ces rayons lumineux un point de contact; en réunissant ces points de contact a, b, c, nous obtenons la ligne d'ombre propre. Au point a, par exemple, le plan tangent au cône d'ombre est le plan déterminé par la générati'ice sa et par la tangente en a à la ligne d'ombre propre. Mais ces deux droites sont tangentes à la surface éclairée; par conséquent, le plan tangent en a au cône est le plan tangent en a à la surface. Nous voyons donc qu'aux différents points de !a ligne d'ombre propre le cône et la surface ont les mêmes plans tan-

l'-ig. =.

gents. On dil alors que le cône d'ombre est circonscrit à la surface qui limite le corps éclairé.

Il est important de remarquer que le cône d'ombre est formé, en général, de surfaces différentes, et que la ligne de séparation d'ombre et de lumière n'est pas une ligne continue.

Prenons, par exemple, une surface polyédrale, c'est-à-dire terminée par des plans ; nous allons voir bien nettement que, lorsqu'on suit la ligne d'ombre propre, on est obligé de quitter une ligne pour passer à une autre qui ne rencontre pas celle-ci.

Soient deux murs verticaux se coupant à angle di-oit {fig- 3). Plaçons l'un de ces murs parallèlement au plan vertical de projection, et supposons qu'il y a, formant moulure, un bandeau en pierre. Prenons les rayons lumineux dirigés comme il a été dit précédemment et cherchons l'ombre portée par l'ensemble des deux murs et du bandeau sur le pian horizontal (H').

S'il n'y avait pas de bandeau, l'ombre portée serait limitée à

l'ombre portée par la verticale projetée au point a. Cherclions l'ombre portée par le bandeau. L'ombre portée par le segment vertical 6V est b\C\\ la perpendiculaire au plan vertical qui se projette en V a pour ombre portée la perpendiculaire à la ligne de terre qui passe par le point t, ; cette droite rencontre la ligne d'ombre portée par la verticale a en im point m, ; le rayon lumineux qui a pour trace »î, est projeté verticalement suivant m'b' : il rencontre à la fois l'arête d'intersection des deux murs et la perpendiculaire au plan vertical menée par le point h' . De même, si nous prenons l'ombre de l'horizontale parallèle au plan vertical de projection qui passe par c', nous obtenons la parallèle à la ligne de terre menée à partir du point c, ; cette droite rencontre la ligne nm, en un point »,, qui est sur (H') la trace d'un

rayon qui rencontre au point/7' l'arête verticale du mur et au point «' l'horizontale qui passe par le point c'.

Nous pouvons maintenant suivre la ligne de séparation d'ombre et de lumière. Si noiis partons du point le plus haut de l'arêle d'intersection des deux murs, nous avons la portion de cette ligne qui vient se terminer au point rti' et qui porte son ombre sur le plan horizontal (H').

Au-dessous de m', le mur est bien éclairé, mais l'ombre n'est pas portée sur le plan (H') ; elle est portée sur le plan horizontal qui termine le bandeau à sa partie supérieure.

Arrivé en m', le rayon lumineux rencontre la perpendiculaire au plan vertical projeté en h'; à partir de ce point de rencontre, qui est projeté horizontalement au point d^ la ligne de séparation

d'ombre eL de lumière est le segm.ent compris entre ce point d et le point b. Le rayon lumineux continuant à se déplacer s'appuie le long de la verticale h'd et vient se retourner sur l'horizontale c'n' . A partir de là, il y a ligne de séparation d'ombre et de lumière sur la mouinre et ombre portée sur le mur. Enfin, sur l'arête du mur, c'est à partir du point^ï' que nous devons continuer la ligne de séparation d'ombre et de lumière.

Cet exemple montre bien comment, lorsqu'un corps est terminé par un ensemble de surfaces, il importe de suivre la ligne de séparation d'ombre et de lumière et de bien voir comment on délimite le conloiir de l'ombre portée.

A l'occasion de cet exemple, faisons quelques remarques.

En projection horizontale l'ombre portée par une verticale est toujours iine ligne parallèle à la projection horizontale du rayon lumineux, quelle que soit la surface sur laquelle se trouve l'ombre portée. Ainsi, dans l'exemple précédent, l'arête verticale a porte son ombre sur le plan supérieur de la moulure, puis sur le plan (H'), et, en projection horizontale, on aune seule et même ligne qui se continue.

Remarquons également qu'un plan mené parallèlement au rayon lumineux a pour trace, sur une surface quelconque, une ligne qui est l'ombre portée d'une ligne quelconque tracée sur ce plan. Nous ferons bientôt usage de celte remarque.

Hature de la ligne de séparation d'ombra et de lumière pour les surfaces les plus simples. ~ Si le corps est terminé par des plans, la ligne de séparation d'ombre et de lumière se compose d'une suite de droites, comme nous venons de le voir, et, au lieu d'un cône d'ombre, on a une pyramide d'ombre.

Si le corps est terminé par une surface cylindrique ou par une surface conique, la ligne de séparation d'ombre et de lumière se compose de génératrices de ces surfaces, et le cône d'ombre se compose de plusieurs plans.

S'il s'agit d'une sphère, la ligne de séparation d'ombre et de lumière, dans le cas d'un point lumineux, est un petit cercle, et le cône d'ombre est un cône de révolution.

Examinons le cas où la surface qui limite le corps est une surface du second degré. Considérons une surface à centre, le corps

lumineux étant réduit à un point, et démontrons que la ligne d'ombre propre est une ligne plane dont le plan, est conjugué du diamètre qui passe par le point lumineux.

Par le point lumineux s et te centre o de la surface, menons un plan sécant; il coupe la surface suivant une conique acb {fig- 4)- Nous obtenons deux points de ia ligne d'ombre propre en prenant les points de contact a, b des tangentes à cette courbe issues du point lumineux s. Menons la corde a&, et joignons le point s au point 0 par une droite qui rencontre la courbe au point c et la corde au point d. Nous savons que l'on a toujours odxos^^oc , et que la corde ab est parallèle à la tangente et à la courbe. Nous pouvons conclure de là que, quel que soit le plan sécant mené par la droite os, le point d est toujours le même. Quel que soit le plan sécant, nous avons donc à mener à partir du point d une parallèle

Fig. 4.

à une tangente en c pour obtenir une corde de contact telle que ab. Toutes les tangentes en c appartiennent au plan tangent en ce point à la surface du deuxième degré, et l'ensemble des parallèles à ce plan menées à partir du même point d constitue le plan de la courbe d'ombre. Nous voyons, en outre, que ce plan est conjugué de la direction os, puisqu'il est parallèle au plan tangent en c.

Lorsque le point s est à l'iniini, le plan de la courbe d'ombre passe par le centre ; et, si la surface du deuxième degré est dépourvue de centre, le plan de la courbe d'ombre est parallèle à l'axe.

Méthodes générales pour la détermination des ombres. — Après avoir indiqué la nature des lignes d'ombre lorsque les surfaces considérées sont des surfaces cjllndrlques, coniques, sphériqucs ou du second ordre, noiis allons parler des procédés généraux employés lorsqu'il s'agit de surfaces quelconques.

Les procédés que nous allons exposer sont toujours les mêmes, que! qoe soit le mode de représentation ; les tracés seuls diffèrent.

Méthode des plans sécants. — On distingue d'aboi'd ce qu'on appelle la méthode des plans sécants. Par le point lumineux on mène des plans qui coupent, suivant certaines lignes, la surface qui limite le corps éclairé; dans chacun de ces plans on mène par le point lumineuxdes tangentes à ces lignes; les points de contact qu'on détermine ainsi peuvent appartenir à la ligne d'ombre. Je dis qu'ils jne«ce/iï appartenir, parce que nous allons voir qu'il y a lieu de choisir parmi les points de contact ceux qui forment la ligne de séparation d'ombre et de lumière.

Prenons pour exemple la surface de révolution engendrée par la rotation du contour abc [fig. 5) autour de la droite st; l'intérieur du corps est entre le contour et l'axe, et le point lumineux est placé en s sur l'axe. Quel que soit le plan mené par le point s et par l'axe de révolution, nous avons toujours comme intersection une ligne méridienne. Nous devons, d'après ce qui a été

dit, mener des tangentes à celte courbe de section : nous obtenons ainsi les points de contact a, 6, t Si nous prenons les points analogues situés dans tous les plans méridiens, le lieu des points a est la circonférence qui se projette suivant la perpendiculaire à l'axe menée par le point a; de même pour le point b et pour le point c. 11 résulte de la disposition des points a, b, c que la partie éclairée est en avant du parallèle qui contient le point a, et que tout le reste de la surface est dans l'ombre; par conséquent, les circonférences qui contiennent les points b cl tes points c n'appartiennent pas à la ligne de séparation d'ombre et de lumière.

Si la tangente en a rencontrait le contour abc, on aurait sur le corps éclairé une circonférence qui serait l'ombre portée par le parallèle qui contient a.

Lorsque les rayons sont parallèles entre eux, on mène les plans sécants parallèlement à ces rayons lumineux; c'est ainsi qu'on pro-

cède dans le dessin d'Architecture. Si, par exemple, on vent déterminer les lignes d'ombre propre et d'ombre portée qui sonl relatives à lin chapiteau de colonne, on emploie des plans verticaux, parallèles aux rayons lumineux.

Nous allons représenter un chapiteau de colonne et indiquer sommairement comment on opère, dans ce cas, pour déterminer les lignes d'ombre propre et d'ombre portée.

Supposons le chapiteau représenté {fig. 6) par sa projection verticale, et par sa projection horizontale (sur la figure nous n'indiquons pas cette dernière projection); coupons ce chapiteau par un plan vertical parallèle au rayon lumineux ; à l'aide des deux projections, nous déterminons les lignes d'intersection de ce plan sécant avec les différentes surfaces qui llmllent le chapiteau.

Nous obtenons ainsi un contour t, 2,3, ....Parles sommets saillants de ce contour menons des parallèles au rayon lumineux, La parallèle au rayon lumineux menée du point i rencontre le contour au point i'; par ce point passe une ligne d'ombre portée.

Comme nous connaissons la nature de la moulure, nous pouvons tout de suite mener par l' la parallèle à l'arêle de la moidure qui contient i , pour obtenir la ligne d'ombre portée.

Par le sommet saillant 2 menons une parallèle au rayon lumineux; cette ligne rencontre le contour en un certain point 2', qui appartient à la ligne d'ombre portée. Nous menons ensuite une tangente parallèle au rayon lumineux; elle rencontre le contour au point 3', qui est l'ombre portée du point de contact 3 ; ce point de contact appartient à la ligne d'ombre propre.

Sur la moulure appelée quart de rond, il y a à déterminer, au

moyen d'un certain nombre de plans sécants, les différents points de la ligne d'ombre portée, tels que 2', ei les points de la ligne d'ombre propre, tels que 3.

On continue de la même manière pour achever la détermination des ombres sur le chapiteau.

Métliode des plans tangents. — Nous ne ferons que citer la méthode des plans tangents, qui sera développée plus tard.

Méthode des projections obliques. — Nous passons à la méthode connrie sous le nom de méthode des projections obliques. Précédemment, à l'occasion de l'ombre portée par deux murs, nous avons, sans nommer cette méthode, fait usage du principe sur lequel elle repose. Nous allons maintenant exposer ce principe.

Fin. 7.

Soient deux lignes A etB {Jtg. 7). Nous voulons déterminer le point de la ligne A qui porte son ombre sur la ligne B, et cette ombre elle-même sur la ligneB.

Pour cela nous faisons usage d'un plan auxiliaire (P), et nous déterminons les ombres portées sur ce plan par les lignes A et B, qu'on peut appeler les projections obliques de A et de B, Nous obtenons une ligne A| et une ligne B). Il est clair que le point de rencontre m, de ces deux lignes est la trace sur le plan (P) d'un rayon lumineux qui rencontre les lignes A et B. Le point m où ce rayon rencontre la ligne A est le point qui porte ombre, et le point où il rencontre la ligne B est l'ombre portée sur cette ligne.

Ainsi le principe bien simple qui conduit, comme on le voit, à déterminer l'ombre portée d'une ligne sur une autre se réduit à ceci : On prend les projections obliques des deux lignes sur un même plan, et les points de rencontre de ces projections sont les traces des projetantes qui rencontrent à la jois les deux lignes dont on s'occupe.

Remarque. — Si l'on considère un point p de la ligne A et la projection oblique p, de ce point sur le plan ( P), la tangente en p à la ligne A se projette obliquement suivant la tangente en pf à la ligne A|, puisque cette droite est la trace sur le plan (P) du plan tangent le long de pp, au cylindre projetant de A. (Nous examinerons plus loin le cas oii la projetante est tangente à A.)

Prenons pour exemple la surface de révolution engendrée par le contour a'c'd' tournant autour de la verticale o {fig- 8) : nous

avons, pour projection horizontale, des circonférences concentriques (qui ne sont pas tracées sur la flgure).

Cherchons l'ombre portée par le parallèle a' h' sur la surface de révolution engendrée par c'd'. Pour cela on prend l'ombre portée par a'b' sur différents parallèles de cette surface de révolution, en appliquant ce que nous venons de dire. Pour effectuer les constructions, nous cherchons les ombres portées par ces différents parallèles, sur le plan horizontal (H'). Comme les plans de ces circonférences sont parallèles au plan (H'), leurs ombres portées sont des circonférence'* qui leur sont respectivement égales. La trace

sur (H') de la parallèle au rajon luminciix menée par le centre de db' est le centre de l'ombre portée par ce parallèle. De ce point comme centre, avec un rayon égal au rajon de la circonférence fl'f, nous n'avons qu'à décrire une circonférence, et nous avons l'ombre portée par a'b' sur le plan horizontal (H'). De même pour les parallèles de la surface de révolution. En prenant les points de rencontre de l'ombre portée par céb' avec les ombres portées par ces différents parallèles ei relevant ces points comme nous venons de le dire, nous déterminons autant de points que nous voulons de la courbe d'ombre portée par a'b' sur la surface c'd'', en réunissant tous ces points, nous obtenons cette courbe d'ombre portée.

Le procédé qui vient de servir à tracer la ligne d'ombre portée conduit aussi à la détermination de la ligne d'ombre propre.

Supposons cette ligne connue, et prenons un parallèle qui la rencontre en im point m'. En ce point m', le plan tangent à la surface de révolution est parallèle au rayon lumineiis, et, d'après une remarque précédente, la trace de ce plan sur le plan (H') est l'ombre portée par toutes les Ugnes contenues dans ce plan; en particulier, c'est l'ombre portée par la tangente en m' au parallèle et par la tangente en m' à la courbe d'ombre propre.

Puisque les ombres portées par ces deux courbes sont tangentes à une même droite en un même point, il en résulte que ces deux courbes ont pour ombres portées des lignes tangentes entre elles.

Il suffit donc de chercher les ombres portées par les différents parallèles sur le plan horizontal (H'); on obtient une suite de circonférences dont les centres sont sur la parallèle menée du point o à la projection horizontale du rayon lumineux. Dès lors, on n'a qu'à tracer une courbe tangente à toutes ces circonférences pour avoir la ligne d'ombre portée; chacun des points de contact avec ces circonférences, étant relevé par une parallèle au rayon lumineux, détermine sur les parallèles eiix-mèmes des points tels que m' . Plus tard, quand nous aurons parlé des courbes enveloppes, nous verrons qu'on peut dire que la ligne d'ombre portée est ici Venveloppe des ombres portées par les parallèles de la surface de révolution.

Nous venons de chercher l'ombre portée sur un plan bori/onta! ; mais, dans la méthode des projections obliques, le plan auxiliaire

n'esl pas nécessairement ua plan horizontal. Cherchons, par exemple, le point n' de la courbe d'ombre portée situé sur la ligne méridienne. Ce point est l'omLre portée par un certain point de a' b' ; nous avons donc à chercher l'ombre d'une ligne a' b' sur une ligne C^ d' située dans le plan méridien parallèle au plan vertical de projection. Pour déterminer ce point, nous n'avons qu'à prendre l'ombre portée par al b' sur ce plan vertical; c'est une ellipse qui rencontre t/c/' au point cherché /*'. Puisque le point n' est sur la ligne de contour apparent de la surface de révolution, la courbe d'ombre portée est tangente en ce point à la ligne c' d'.

On démontre aisément qu'au point de rencontre p' de la courbe d'ombre propre et de la courbe d'ombre portée la tangente à la courbe d'ombre portée est le rayon lumineux lui-même.

Nous avons parlé de la méthode des projections obliques dans le cas où les projetantes sont parallèles à une même direction ; tout ce que nous avons dit s'applique au cas d'une projection conique, c'est-à-dire lorsque les rayons lumineux partent d'un même point.

Points brillants. ■— Terminons ce qui est relatif aux ombres en définissant les points brillants.

Lorsqu'on applique le lavis à un dessin, il y a certaines parties des surfaces éclairées qu'on laisse sans teintes et qui entourent ce qu'on appelle les points brillants. Considérons une surface polie et réfléchissante représentée sur le plan vertical de projection, et supposons qu'il existe un rayon lumineux qui soit réfléchi par cette surface, de façon que ce rayon soit renvoyé dans la direction des projetantes. Comme il s'agit ici du plan vertical de projection, et que les projetantes sont des perpendiculaires à ce plan, il y a alors un rayon lumineux qui est renvoyé de façon que dans le pian normal, au point où ce ravon rencontre la surface (l'angle d'incidence étant égal à l'angle de réflexion), le rayon soit réfléchi perpendiculairement au pian vertical. Le point où ce rayon rencontre la surface est un point brillant.

Appelons R la direction des rayons lumineux, P la direction d'une perpendiculaire au plan vertical de projection. Nous connaissons l'angle (P, R), et, en prenant la bissectrice de cet angle, nous avons la direction de la normale N au point brillant. Un point brillant est donc un point pour lequel la normale est pa-

[[ l'RlîMIÈRE PARTIE. — PREMIÈRE; I.KÇON.

railèle à celte direction, ou encore, c'est un point oii le plan langent à la surface éclairée esl paralicle à un plan perpendiculaire àN.

Ainsi, chercher nn poinl brillant, c'est chercKer le point de contact de la surface qui limite le corps avec un plan tangent qui est parallèle à une direction connue.

Au lieu d'un point brillant, on peut avoir une suite de points brlïlants formant une ligne brillante; c'est ce qui arrive, par exemple, pour les surfaces cylindriques et les surfaces coniques.

Voilà ce qui est relatif aux ombres et aux procédés gén. applicables dans tous les modes de représentation.

Nous avons donné quelques exemples, mais il est facile d'en trouver d'autres. Ainsi, par la méthode des projections obliques, on peut chercher l'ombre d'un segment de droite sur un tétraèdre, en déterminant l'ombre de la droite sur les différentes arêtes du tétraèdre. On peut encore chercher l'ombre d'une droite sur une surface conique en prenant l'ombre de la droite sur un certain nombre de génératrices de cette surface; l'ombre d'un cône sur un autre cône, ce qui revient à prendre les intersections de ce dernier cAne et des plans d'ombre du premier.

Ce n'est qu'à la condition de s'exercer sur un grand nombre d'exemples qu'on peut arriver à traiter facilement les problèmes concernant les ombres.