PROJECTIONS COTÉES

Mcthridc des projecLioiis cottes Plan ungeot

Méthode des projections cotées. — Lorsque l'étendue horizontale de l'objet à représenter est d'une dimension beaucoup pins grande f[iie ia hauteur des difTérenls points de cet objet, on a sur le plan vertical de projection des points très rapprochés les nns des autres. La lecture de cette projection verticale serait difficile, on ne l'emploie pas ; on fait usage de la seule projection horizontale dont les différents points sont accompagnés de nombres indiquant leurs hauteurs au-dessus d'un plan horizontal qu'on appelle plan- dp. comparaison. On a ainsi une projection cotée.

On a recours à la méthode des projections cotées pour la représentation des Fortifications; on l'emploie aussi en Topographie et en Hydrographie. Dans le dessin des Fortifications, le plan de comparaison est au-dessous de tous les points de l'ensemble à représenter; dans ce cas, les hauteursdes points sont des altitude.'! . D'une façon générale, le nombre que l'on place près de la projection d'un point porte le nom de cote.

ProMèmes relatifs à la ligne droite et au plan. — BpprésentatLon d'une ligne droite. — Une ligne droite est représentée par sa projection et la cote de deux de ses points.

Soii{yîjg'. 9) la droite dô, qui est la projection sur le plan de comparaison d'une droite de l'espace. La hauteur du point a est indiquée auprès de la projection de ce point; de même pour le point b. On doit ajouter, en outre, l'échelle du dessin i l'aide de laquelle on peut mesurer les hauteurs marquées près des projections des points de la figure.

Graduer une droite. — Nous allons résoudre par !a méthode des projections cotées un certain nombre de problèmes élémentaires. Pour cela nous avons besoin de montrer comment on prépare, pour ainsi dire, l'emploi d'une droite. Lorsqu'une droite doit intervenir dans la solution d'nn problème, on indique sur cette droite, afin d'en faire usage plus facilement, les points dont les cotes sont marquées par des nombres entiers. C'est ce que l'on appelle graduer une droite. Les points ainsi déterminés portent le nom de points à cotes rondes.

Si, par exemple, nous voulons trouver le point c, dont la cote est 3, nous n'avons qu'à établir cette proportion : la distance ac ou X est à la différence de cote entre le point coté 3 et le point

coté a,3S, c'est-à-dire 0,75, comme la longueur ab est à la différence de cote entre 6,^5 et 2,2j, c'est-à-dire 4/io :

Nous connaissons la longueur ai. mesurée à l'échelle du dessin ; au moyen de celte proportion, nous déterminons un certain nombre X qui correspond à une longueur mesurée à l'aide de l'échelle du dessin, et nous obtenons le point c en portant cette longueur à partir du point a.

Nous pouvons de même déterminer le point </, pour lequel !a cote est 4; parla proportion

cd on X ab^

Cette longueur cf/, qui est, sur la projection de la droite, la distance de deux points dont la cote diffère de l'unité, est ce qu'on appelle V intérim aile .

L'intervalle étant déterminé, nous pourrions porter cet intervalle successivement sur la droite et nous aurions les points à cotes rondes. Mais, lorsqu'il s'agit d'un tracé graphique, il ne suffit pas de trouver le mojen théorique qui conduit à la solution du pro-

blême : il faut encore chercher parmi les constructions celle qui donne le résultat le plus exact.

Dans la praticjne, on opère ainsi : on détermine le point à cote ronde le plus voisin de chacune des extrémités de la droite; près du point a, par exemple, on cherche le point cote 3, et près du point b le point coté 6; il ne reste plus alors qu'à partager la distance comprise entre le point coté 3 et le point coté 6 en trois parties égales, ce qui donne les points cotés 4 et 5. De cette façon, la droite se trouve graduée.

Le procédé dont nous venons de faire usage pour graduer la droite est celui que l'on désigne sous le nom de procédé arithmétique. 11 en existe un autre que l'on désigne sons le nom de procédé gra~ pkique.

Considérons {fig- lo) le plan vertical qui projette la droite: il

Fig. ir.

se projette tout entier suivant la droite ab. Supposons que, dans ce plan, oa mène une horizontale par le point a : c'est l'horizontale qui a la même cote que le point a, c'est-à-dire l'horizontale 2,35. Faisons tourner ce plan vertical autour de cette horizontale 3,^5 pour l'amener à être parallèle au plan de comparaison; après le mouvement de rotation, le point qui se projetait en h vient se projeter au point è, , tel que la distance 66, égale la différence de cote entre le point b et le point a, soit 4i5o mesurés à l'échelle du dessin. On joint alors le point a au point b\ ; puis on ramène sur cette ligne abi , au moyen de parallèles à ab, les points à cotes rondes rahatlus sur bb, ; ces droites rencontrent ab, en des points qu'on projette sur ab, et l'on aies points à cotes rondes sur la droite ab.

La hauteur du point b au-dessus du point a étant mesurée par un segment d'une dimension petite relativement à la longueur de ab, les droites parallèles à ab rencontrent la ligne ab, sous des angles très aigiis. Le point de rencontre graphique de deux lignes qui se coupent ainsi sous un angle aigu n'est pas suffisamment défini, et

c<! procédé graphique présenle alors l'inconvénient de ne pas donner la graduation de la droite avec assez d'exactitude.

Voici encore comment on peut opérer graphiquement. Du point a on mène une droite auxiliaire. Sur cette droite et à l'aide d'une échelle divisée, un double décimètre par exemple, on porte à partir du point a des segments proportionnels aux segments à déterminer sur ah. Ces segments ont ici pour longueurs : ^'"",5, lo""", lo""", 10'".'°, 7""", 5. On joint au point b l'extrémité du dernier segment ainsi obtenu, et l'on mène des parallèles à cette droite par les différents points marqués sur la droite auxiliaire. Ces parallèles coupent ah aux points à cotes rondes demandés. Au point de vue graphique, on doit choisir la direction de la droite auxiliaire et l'unité de mesure des segments portés sur celle droite pour que les parallèles employés coupent la droite ah sous un angle convenable.

Au moyen d'une proportion analogue à celle dont nous avons fait usage précédemment, on résout les problèmes suivants :

Trouver la cote d'un point donné sur une droite. Trouver sur une droite la projection d'un point dont la cote est donnée.

Ces deux problèmes se résolvent appro^iinatlvemcnl quand la droite donnée est graduée.

Distance de deux points. — ha distance entre les points « et />, donnés par leurs projections cotées, esl ah,, déterminée comme on vient de le voir; on l'obtient facilement aussi par le calcul.

On appelle pente d'une ligne droite la tangente de l'angle que cette droite fait avec le plan de comparaison. Dans l'exemple précédent, la pente est — — r— ^ — ou encore --^, ed étant l'intervalle.

Si nous désignons l'intervalle par i et la pente par p, nous voyons que p X j'= i . On exprime ce résultat en disant que la pente et l'intervalle sont réciproques.

A l'aide d'une proportion analogue à celle précédemment employée, on résout encore le problème suivant ;

Graduer une droite dont on connaît la projection, laprojeclion cotée d'un de ses points, In penie, et le sens dans lequel on

doit marcher sur la droite pour se. rapprocher du plan dp. coinpar ai son.

Par un point donné, mener une parallèle à une droite donnée. — Soit nn point coté 8 : on demande de mener par ce point une parallèle à la droite ab, qui est donnée par sa projection colée.

Il suffît de mener par le point 8 une parallèle à la ligne «6; on a ainsi la projection de la droite demandée. A partir du point coté S on porte des segments égaux à l'inlervalle de la ligne ab, et l'on obtient les points à cotes rondes sur la ligne demandée. Il faut coter ces points de façon que celte ligne se rapproche du plan de comparaison comme la droite donnée.

lieprésentation d'un plan. — On représente un plan à l'aide d'une de ses lignes de plus grande pente dont on donne la projection cotée. A côté du trait qui représente la projection de cette ligne de plus grande pente on ajoute un trait paraUèle et d'égale force : on obtient ainsi ce que l'on appelle Véchelle de pente du plan. Cette échelle permet de tracer une lioriaontale quelconque du plan ; en la donnant, on évite donc de faire le tracé des horizontales du plan.

Lorsqu'un plan fait partie d'une construction, on l'indique simplement par son éclielle de pente; mais, si c'est un plan existant, on indique en outre le contour de la portion plane qu'on veut représenter.

Un point d' un plan donné est connu par sa projection : trouver sa cote. — Pour cela, par le point donné on mène une perpendiculaire à l'échelle de pente du plan, c'est-à-dire une horizontale de ce plan. Tous les points de cette droite ayant la même cote, on n'a qu'à prendre la cote du point de l'échelle de pente située sur cette horizontale pour avoir la cote du point donné,

Par trois points donnés faire passer un plan. — Soient {fig. Il) le point a coté a, 25, le point b coté 4, 5o et le point c coté 6, 70. Joignons par une droite le point a, qui est le plus rapproché du plan de comparaison, au point c, qui en est le plus éloigné; puis cherchons entre le point a et le point c le point qui a la même cote (4i5o) que le point b\ enjoignant ce point au point b, nous avons l'horizontale du plan demandé. Nous pouvons alors tracer l'écbellc de penlc de ce plan, perpendiculairement à cctie horizon-

laie, el rapporter sur cetle échelle de pente, au moyen de parallèles à cette horizontale, les points à cotes rondes de la droite ac.

Reconnaître si deux droites données sont dans le même plan. — Il suffit, pour cela, d'examiner si le point d'intersection des projections de ces droites a la même cote sur chacune des droites, ou encore si, en joignant les points àmème cote sur les deux droites, on obtient des droites parallèles entre elles. ■

Trouver l'intersection de deux plans donnés par leurs échelles de pente. — On prend des horizontales à même cote de chacun des plans, par exemple (yi^. i a) les horizontales 3; ces lignes se coupent

en un point a qui est coté 3. De même, l'horizontale 5 de l'un des plans est rencontrée par l'horizontale 5 de l'autre plan au point b qui est coté 5. La droite ab est la projection de la ligne d'intersection des deux plans.

Construire l'intersection d'une droite et d'un plan. — Le plan est donné par son échelle de pente, et la droite par sa projection cotée.

Par la droite menons un plan auxiliaire que nous indiquons par deux de ses horizontales. Par le point 3 de la droite donnée {Jig- i3) traçons une certaine droite que nous prenons pour une horizontale du plan auxiliaire, et par le point (3 menons une droite parallèle à cetle horizontale. L'horizontale 3 du plan auxiliaire

rencontre l'horizontale 3 du plan donné cnun cerLain point; l'horizontale 6 du plan auxiliaire rencontre l'horizontale 6 du plan donné en un autre point. En joignant ces deux points, nous avons la ligne d'intersection du plan donné et du plan auxiliaire mené par la droite; cette ligne rencontre la droite donnée en un point m, qui est le point demandé.

Par un point donné mener un plan parallèle à un plan donné. — Le plan est donné par son échelle de pente; il suffit alors, par le point donné, de mener une parallèle à cette droite, et l'on a l'échelle de pente du plan demandé.

La pente d'un plan est la pente de son échelle de pente.

Par une droitedonnée construire un planayant une pente donnée. — Soit (/îg. i4) 1^ droite ab cotée 4 au point a et lo au point b. Par le point b nous pouvons mener une infinité de droites ayant pour pente la pente donnée ; ces droites forment un cône de révolu-

a2 PBEMIBHB l'ARTlE. — Illil-XIEME LEÇON.

tiondonlle sommelest ao point & et dont l'axe esl vertical. Prenons la trace de ce cône de révolution sur le plan horlzonlal qui passe parle point a et qui est coté 4- H est facile de déterminer le rayon. de la circonférence hase de ce cône : la hauteur du cône a pour longueur la différence de cote i o — 4i so'i ^ î le rayon x doit être tel que - soit la pente donnée. Nous pouvons, sur l'échelle du dessin, trouver la longueur correspondant à ce nombre x, puis décrire, du point h comme centre avec cette longueur pour rayon, une circonférence, et, en menant du pointades tangentes à cette circonférence, nous avons les horizontales 4 des deux plans qui répondent à la question.

Au moyen d'un cône de révolution, on résout également le problème suivant :

Par un point donné dans un plan, mener sur ce plan une droite ayant une pente donnée.

Mener une droite perpendiculaire à un plan. — Le plan est

donné par son échelle de pente i^fig. i5) et c'est du point a que nous voulons lui mener une perpendiculaire.

La perpendiculaire au plan, étant perpendiculaire aux horizontales de ce plan, se projette suivant la droite ah menée parallèlement à l'échelle de pente.

Pour graduer ai, faisons tourner le plan projetant de cette droite autour de son horizontale G, de manière à l'amener à être horizontale; après celte rotation, le point «vient en a, sur la perpendiculaire aa\ à ab, à une dislance aa^ égale à trois unités de l'échelle du dessin, et la droite d'intersection du plan projetant de la perpendiculaire et du plan donné "se projette en a, h. La perpendiculaire au plan est alors projetée suivant la droite «(«(, qui fait un

angle droit avec a, b. Prolongeons l'horizontale 8 jusqu'en /,. Ce point est la projection du rabattement d'un point coté 8 et la parallèle lim^n, à ba est la projection du rabatlemenl de l'horizontale S du plan projetant de la perpendiculaire demandée. Par suite, le point n de cette perpendiculaire est coté 8.

L'intervalle sur la perpendiculaire an plan est alors an.

Dans le triangle rectangle /,«,«!, la hauteur «iHI; est égale à l'unité de l'échelle du dessin ; on a alors

relation qui montre que l'intervalle pou/- la perpendiculaire est r inverse de V intervalle relatif à l'échelle de pente du plan .

11 faut remarquer que pour se rapprocherdu plan de comparaison on marche dans la direction an sur la projection de la perpendiculaire et dans la direction ab sur la projection de la perpendiculaire, c'est-à-dire en sens opposés.

Il résulte de là que l'on doit opérer de la façon suivante : on mène une parallèle à l'échelle de pente du plan donné; on mesure à l'échelle du dessin le nombre qui correspond à l'intervalle de l'échelle de pente du plan donné, on prendl'inverse de ce nombre, et l'on obtient un nouveau nombre qui donne la longueur de l'intervalle de la perpendiculaire au plan; on porte cet intervalle sur la droite que nous venons de tracer, et l'on cote les points obtenus en sens inverse de la manière dont l'échelle de pente est cotée.

On peut aussi déterminer graphiquement l'intervalle de la perpendiculaire au plan. Il suffit de construire un triangle tel que /i a, n,, dont la hauteur a, m, est égale à l'unité de l'échelle du dessin et pour lequel /) m, est égal à l'intervalle de l'échelle de pente du plan donné.

Nous avons tracé arbitrairement une perpendiculaire au plan, mais il est tout aussi facile de la faire passer par un point donné.

Lorsqu'on a résolu ce problème : Mener par un point une perpendiculaire à un plan, on peut déterminer le point où cette perpendiculaire rencontre le plan, puis, soit par le calcul, soit graphiquement, chercher la distance du point donné au plan, c'est-à-dire la longueur comprise entre le point donné et le point où le plan est rencontré par la perpendiculaire abaissée du point donné sur ce phin.

Déterminer l'angle de deux droites données par leurs projections cotées. — Si les droites ne se rencontrent pas, d'un point de l'une on mène une parallèle à l'autre; on est alors conduit à chercher l'angle de deux droites qui se coupent.

Soient (Jig- i6) les droites n&, «c; le point dest coté 8. Enjoignant les points qui ont les mêmes cotes, nous avons les horizontales du plan qnî contient ces deux droites. Traçons l'horizontale 5 ; par le point a menons un plan perpendiculaire à cette horizontale 5 ; il est représenté par la perpendiculaire abaissée du point a sur l'horizontale 5. Ce plan auxiliaire rencontre le plan des deux droites suivant une ligne ad; le point d est côté 5. Nous allons

chercher la longueur de ad, afin d'arriver, comme dans la méthode des projections orthogonales, à l'angle des deux droites.

Pour cela nous faisons tourner le plan vertical ad autour de son horizontale 3. Le point a vient se rabattre en a' à une distance aa' égale à trois unités de l'échelle du dessin ; la longueur du segment rt'cî est la longueur du segment compris entre le point a de l'espace et le point d. Si maintenant nous rabattons le plan des deux droites sur le plan horizontal coté 5, en le faisant tourner autour de son horizontale 5 qui est la droite 6c, le point a vient en a, sur la droite nt^àune distance du point (/égale à da'. Les droites sont alors rabattues suivant les lignes que l'on obtient en joignant le point a, aux points 6 et c qui sont cotés 3 sur chacune des droites et qui n'ont pas changé de position. Les droites a, h, aiC comprennent entre elles l'angle demandé.

Trouver l'angle de deux plans. — Les plans sont donnés par leurs échelles de pente.

Commençons par déterminer la droite d'intersection des deux plans, problème que nous avons résolu précédemment : ab est la projection de celte ligne d'Intersection ifig. t^).

Co\ipons les deux plans par un plan auxiliaire perpendiculaire à leur intersection. L'horizontale de ce plan esl alors dirigée perpendiculairement à la projection de «i; pour tracer l'horizontale de ce plan auxiliaire coté 3, nous n'avons donc qu'à prendre une perpendiculaire à la ligne ab. Cette horizontale cotée 3 rencontre l'horizontale cotée 3 de l'un des plans au point m et l'horizontale cotée 3 de l'autre plan au point n. Le plan auxiliaire dont nous venons de tracer l'horizontale 3 coupe le plan vertical qui projette l'intersection «è suivant une droite qui est perpendiculaire à mn et à ab. Nous allons chercher la longueur de cette perpendiculaire commune, afin de construire le triangle qui a pour hase mn, pour hauteur cette pcrpendicalaire, et dont l'angle au sommet n'est autre

que l'angle des deux plans, puisque les côtés de ce triangle sont les intersections des plans donnes avec le plan auxiliaire perpendiculaire à ab.

Pour déterminer la hauteur de ce triangle, faisons tourner le plan vertical ab autour de l'horizontale 3 de ce plan {horizontale 3 qui passe par le point a) jusqu'à ce que ce plan soil parallèle au plan de comparaison. Après la rotation, le point b de l'espace, qui est coté 6, vient en un point b, à une distance du point b égale à 6 moins 3, c'est-à-dire à trois unités de l'échelle du dessin. La droite d'intersection des deux plans est alors rabattue suivant ab,, et la hauteur du triangle dont nous venons de parler esl rabattue en cd' suivant la perpendiculaire abaissée du point c sur cette droite ab,. Si maintenant nous faisons tourner le triangle qui a pour base m/i autour de mn, de façon à l'amener à coïncider avec le plan horizonlal coté 3, le sommet de ce triangle, qui est sur la droite d'intersection des pians donnés, et dont la distance au point c est égale

à cd' , vient se rabattre au poinl d^ obtenu en prenant nn segment cdi éga] à cd' . Les points m el n n'ont pas changé de position; il suffit donc de joindre le point m et le point n au point c/, ; l'angle des deux droites md^, nd, est égal à l'angle ries deux plans qu'il fallait déterminer.

Plan tangent à un cône. — Problème d'ombre. — Au moyen des problèmes élémentaires que nous venons de résoudre, on peut traiter les questions relatives aux ombres, chercher les intersections des surfaces, mener des plans tangents aux cylindres elaux cônes, etc.

Voici un exemple :

On demande l'ombre portée par un cône sur le plan de sa base. Le cône est donné {fig- i8) par sa projection; la base est sur un

pian donné par son échelle de pente, et le rayon lumineux est donné par sa projection R, sur laquelle sont indiqués l'intervalle et le sens dans lequel on doit marcher pour se rapprocher du plan de comparaison.

Pour résoudre le problème, nous devons mener des plans tangents au cône, parallèlement au rayon lumineux; pour cela nous allons prendre la parallèle au rayon lumineux menée par le sommet s du cône, chercher le point de rencontre de cette droite avec le plan de la base, et, par ce point, mener des tangentes à la base. Ces droites limiteront l'ombre portée du cône sur le plan de sa base.

Ainsi, par le point lo nous menons une parallèle au rayon lumincu\; il est facile de graduer cette droite en portant l'intervalle qui

est donné sur la projeclion du rayon lumineux. Mous chej'cljons maintenant en quel point celte parallèle rencontre le plan de la base : pour cela, parle point 5 nous menons une droite dirigée de façon à avoir, dans l'étendue de la feuille du dessin, le pointoti elle rencontre l'Iiorizontale du plan à même cote; par le point 7 nous traçons une parallèle à cette droite auxiliaire, et nous prenons également son point de rencontre avec l'horizontale j du plan. Nous joignons les deux points ainsi obtenus par une ligne qui détermine le point de rencontre Sf de la parallèle au rayon lumineux 5S, avec le plan de la base. Le point s, est l'ombre portée par le sommet du cône sur le plan de la base. Les tangentes menées du point S) à la base du cône limitent l'ombre portée par ce corps, et, si nous joignons le sommet s aux points de contact de ces tangentes, nous obtenons sur le cône les lignes de séparation d'ombre et de lumière.