PERSPECTIVE D'UN POINT

générales. — Perspec

Définitions et notions générales. — La perspective llncolrc a pour but de représenter sur une surface, à l'aide de lignes, une figure qui offre l'apparence d'un objet de l'espace.

Pour déterminer cette perspective, l'objet étant placé, par rapport à l'observateur, derrière la surface sur laquelle on veut faire le dessin, on imagine des rayons visuels partant de l'œil de l'observateur et aboutissant à tous les points de l'objet à représenter. Sur cette surface, on prend les traces de ces rayons visuels : en réunissant convenablement ces traces par des lignes, on obtient une perspective linéaire.

Il faut bien remarquer qii'une figure perspective peut être considérée comme la perspective d'une infinité d'objets, puisque, pour chaque rayon visuel, un point quelconque de ce rayon serait représenté par la même trace de ce rayon sur la surface sur laquelle on prend la perspective. Une perspective n'est donc pas suffisante pour déterminer les objets de l'espace.

Nous n'avons conscience du relief d'un objet que parce que nous regardons celui-ci avec les deux yeux. Il suffit, pour le démontrer, d'employer un stéréoscope. A l'aide de cet instrument, on arrive à voir un objet en relief en regardant deux images différentes qui ont été obtenues en supposant l'objet vu séparément avec chacun des deux yeux.

Nous chercherons la figure perspective sur une surface plane verticale. On donne alors au plan sur lequel est tracée la perspective

le nom de tableau, et le point d'où parlcnl les rayons visuels porte le nom à'œil ou de point de vue.

Établissons un parallèle entre ce que nous avons dit à propos des ombres et ce qui se passe à propos de la perspective. Pour cela supposons que l'œil soit remplacé par un point lumineux. Un rayon visuel parlant de l'œil est maintenant un rayon lumineux; les parties vues par l'ceil sont les parties éclairées par ce point lumineux, et les rayons visuels qui renferment tous les rayons permettant de voir l'objet sont remplacés par les rayons lumineux dont l'ensemble forme ce que nous avons appelé le cône d'ombre. Ce cône prend en perspective le nom âti cône perspectif. La ligne de séparation d'ombre et de lumière devient la ligne de perspective ou de contour apparent.

II y a une différence entre la figure obtenue à propos des ombres et la figure perspective.

Si, par exemple, on trace la perspective d'un cube, on a une figure telle que A (yî^. 19); si l'on remplace l'œil par un pointliimineux, on n'a plus que A'. La différence consiste en ce qoe la figure représentant l'ombre du cube est un simple contour, tandis que la figure perspective, limitée à un contour analogue à celui-ci, renferme, en outre, des points à l'intérieur de ce contour.

Les rayons visuels partant de l'œil forment, en s'appiiyant sur les lignes de la figure, des surfaces coniques : c'est pourquoi la perspective linéaire que nous allons étudier s'appelle /le/'i/feci/ce conique.

Nous avons déjà dit que la perspective d'un point est la trace sur le tableau du rayon visuel qui passe par ce point. Il résulte immédiatement de là que la perspective d'une droite est une droite.

Le plan des rayons visuels qui s'appuie sur la droite dont on cherche la perspective porte le nom de plan perspectif.

Parmi les rayons visuels qui s'appuient sur la droite, celui qui est parallèle à la droite donnée rencontre le plan du tableau en un

point. Ce point, qui est la perspective du point àrinlini siii- la droite, est appelé \e point de fuite de la droite.

Des droites parallèles entre elles dans l'espace ont pour perspectives des lignes convergentes en un même point, qui est le point de fuite commun à toutes ces droites.

Des droites parallèles entr.? elles et parallèles au plan du tableau ont pour perspectives des droites parallèles entre elles. Ces droites parallèles au plan du lableau sont des droites de front. En général, une figure plane, dont le plan est parallèle au plan du tableau , est unejigure de front.

Le tableau étant toujours supposé placé verticalement, des verticales ont pour perspectives des droites verticales.

Comment doivent être placées des droites dans l'espace pour que leurs perspectives soient parallèles entre elles? — Par l'œil et par chacune des droites tracées sur le tableau faisons passer un plan. Ces plans sont les plans perspectifs des droites de l'espace. Puisqu'ils passentpar des droites parallèles entre elles et par l'œil, tous ces plans vont se couper suivant une parallèle au tableau menée par l'œil. Les droites de l'espace sont respectivement dans chacun de ces plans, elles rencontrent alors cette droite de front : c'est là la propriété dont elles jouissent^

Si, en outre, les droites de l'espace, dont les perspectives sont parallèles entre elles, doivent passer par un même point, on voit que ce point doit être dans le plan de front passant par l'œil.

Considérons maintenant un plan. Le Heu des points de fuite de toutes les droites qu'on peut tracer sur ce plan est la trace, sur le plan du tableau, du plan mené par l'œil parallèlement au plan donné. Cette trace porte le nom île ligne de fuite, et nous voyons ainsi que la ligne de fuite d' un plan contient les points de fuite de toutes les droites que l'on peut tracer sur ce plan.

Nous pouvons dire aussi que la ligne de fuite est la perspective d'une droite à l'infini sur le plan.

Des plans parallèles entre eux ont même ligne de fuite.

Des plans liorizontaux ont pour ligne de fuite une droite que l'on désigne sous le nom de ligne d'horizon ou simplement d'Aorizon.

Le plan horizontal qui passe par l'ccil porte le nom de plan d'horizon.

La ligne de fuite d'un plan vertical est une verticale.

La perspective d'une courbe est la trace sur le plan du tableau du cône perspectif de celte courbe. En faisant usage de ce cône perspectif, on démontre immédiatement qu'une courbe et sa tang'ente ont pour perspectives une courbe et sa tang;ente, à la condition que la tangente de la courbe donnée ne passe pas par l'œil, cav, dans ce cas particulier, la tangente de la courbe donnée n'a pour perspective qu'un seul point. Nous reparlerons plus loin de ce cas particulier.

Une figure de front a pour perspective une figure qui lui est semblable. Le rapport de réduction de la figure donnée à sa figure perspective dépend de la position du plan de front par rapport au tableau et de l'œil par rapport au tableau.

La perspective d'une figure change seulement de dimensions quand on transporte le tableau parallèlement à lui-même.

Nous supposerons que tes objets à mettre en perspective sont donnés par leurs projections, plan, et élévation. Nous décomposerons la reclierclie de la perspective en deux parties ; nous chercherons d'abord la perspective du plan, puis nous achèverons en déterminant la perspective de l'élévation.

On donne, en perspective, le nom de géométral au plan sur lequel est tracée la projection horizontale. La trace du géométral sur le plan du tableau porte le nom de ligne de terre.

Soient AB la ligne de terre {fig. 20) et O la position de l'œil. Menons par le point O un plan horizontal; ce plan rencontre le plan du tableau (T) sinvant la droite HH', qui est la ligne d'horizon. Le problème de la perspective àw plan consiste à joindre le point O aux différents points du géométral et i\ prendre les traces de ces droites sur le plan du tableau.

On pourrait considérer ce problème comme un problème de Géométrie descriptive; en prenant le tableau comme plan vertical de projection, on aurait alors simplement à construire des traces de droites. Mais, si l'on opérait ainsi, après avoir rabattu le plan vertical du tableau sur le plan horizontal, qui est le géométral, on aurait à la fois, sur la même partie de la feuille du dessin, le géométral et la perspective ; il y aurait alors une grande complication dans les tracés, puisqu'on aurait la superposition de deux figures.

On opère différemment, et l'ensemble des tracés à l'aide des-

quels on dcterniine sur le tableau la perspective d'un objet dont on connaît le géométral constitue le trait de perspective.

Perspective d'un point du géométral, le talileaù et le géométral étant à la même échelle. — Nous allons commencer à faire connaître le trait de perspective en exposant les tracés qui conduisent à la détermination de la perspective d'un point.

m {fig' 30 ) est le point du géométral dont on veut déterminer la perspective. Par le point m menons sur le géométral les deux droites mC, mE; par le point O, qui est l'œil, et par cliacnnedes droites mC, mE, faisons passer un plan. Ces plans rencontrent le 'plan (T) du tableau suivant des droites qui se coupent en un

Pis. ,0,

'Sk:r

point M; ce point M est évidemment la trace sur le plan du tableau de la droite d'intersection des deux plans. M est donc la perspective du point m, et les droites MC, ME sont les perspectives des deux droites mC, mE du géométral.

Nous devons donc, pour déterminer la perspective du point m, construire les perspectives de deux droites tracées sur le géométral par ce point m.

Pour cela cherchons le point de fuite de chacune des droites. Par le point O menons une parallèle à la droite mC ; elle rencontre le tableau au point F sur la Hgne d'horizon; ce point F est le point de fuite de la droite mC. De même pour la droite wiE : la parallèle menée par le point O à cette droite rencontre le plan du tableau en un point F' qui est le point de fuite de la droite »îE. I! suffit alors, sur le tableau, de joindre l'especlivement les points C, E aux points F, F', et l'on a deux droites qui se coupent au point M, perspective cherchée.

Voilà l'explication faite sur la fig. ao, qui est une figure d'ensemble.

PEBSPKCTivR b'ux poi>t. 33

Séparons mainlenantchacuni; (les parties de cetLc figure; mettons d'un côté legéomélral {fig. 21), et de l'autre le tableau {fig. aa). Nous allons indiquer alors quels sont les segments dont on mesure les longueurs sur le géométral pour les reporter sur le tableau, afin d'arriver à effectuer tes tracés sur ce tableau.

Prenons d'abord le géométral {,fig- ^i), en supposant qu'on ait projeté l'œil sur ce plan.

Cette fig. 21 est la reproduction de la figure tracée sur le plan (G) de la Jîg. ao ; ÂB est la ligne de terre et le point 0 est la

projeci

tion de l'œil.

La position du point o par rapport à AB détermine un angle

-+^JJv:

AoB, qu'on appelle angle optique. Pour obtenir une perspective convenable, cet angle ne doit être ni trop petit ni trop grand, et pour cela le point o ne doit être ni trop rapproché ni trop éloigné de AB. En général, le point o ne doit pas être à une distance de AB moindre que la largeur AB ni plus grande que trois fois cette largeur; c'est ce qu'on exprime en disant que l'œil ne doit pas être à une distance du tableau plus petite que la largeur de ce tableau ni plus grande que trois fois cette largeur.

Soit, sur la Jlg. ai, la position m du point dont on cherche la perspective. Traçons les deux droites mC, mE et les parallèles o/, o/', menées par le point o, à chacune de ces droites. Les droites of, of sont les projections sur le géométral des parallèles aux droites mC, ffîE qui ont été menées par l'œi! dans l'espace.

Voilà les données sur le gcométral, et, pour pouvoir déterminer la perspective du point m, on donne en oulre la hauteur de l'œil au-dessus du plan géométral.

Proposons-nous maintenant de construire un tableau sur lequel doil figurer la perspective du point m de WJig. 21.

Traçons le cadre du tableau [fig. 22), en ayant soin de prendre le côté inférieur de ce cadre égal en longueur à AB de la fig, a i . Parallèlement à AB, et à une dislance de AB égale à la hauteur de l'œil au-dessus du géométral, menons une parallèle à cette ligne de terre : nous obtenons la droite HH', qui est la ligne d'horizon.

La fig- 22, que nous allons tracer maintenant, est la figure perspective ou tableau. Reproduisons les tracés qui ont été indiqués précédemment sur le plan (T ) de la figure d'ensemble

(fig. 20).

Prenons sur le géométral {fig- 21) les longueurs des segments AC, AE, et porions-les sur \^fig. 22 à ^partir du point A ; nous obtenons AG, AE. Prenons sur le géométral des segments égaux à A/, A/', et portons-les sur le tableau à partir du point H sur la ligne HH' : nous obtenons les points F, F', Il suffit maintenant de joindre {fig- 22) le point C au point F et le point E au point F' pour avoir sur le tableau les perspectives des deux droites mC, («E du géométral : le point de rencontre M de ces deux droites est la perspective demandée.

Pour obtenir cette perspective, nous avons fait usage de deux droites MC, ME, et nous avons employé les points de fuite correspondant à chacune de ces droites. La méthode suivie porte, à cause de cela, le nom de méthode des deux points de fuite -

Un peu plus loin, nous nous servirons de celte méthode pour faire la perspective d'un parquet.

Au lieu d'employer deux droites quelconques, imaginons que l'une d'elles ait une direction particulière. Supposons que l'on ait pris le segment CE' {fig- 21) égal au segment Cm : la droite, qui était niE, devient la droite mE'. Mais nous allons voir qu'il n'est pas nécessaire de tracer cette droite. Le point qui était /' est maintenant un certain point d obtenu en portant /rf i=/o, puisqu'il faudrait mener par le point o une parallèle à la droite mE'. Le triangle «iCE' est isoscèle; il on est de même du triangle dfo. Le géométral est donc maltitenanl réduit au point m, dont

on demande !a perspective, eL à 3a seule droite mC, qui est tracée. Nous avons mené par le point o la seule droite of parallèlement à ;nC,

Reprenons le eadre du tableau {fig. 22). La ligne de terre AB est toujours égale à la ligne de terre AB du géométrai.

Prenons sur \»fig. 22, à partir du point A, un segment égal au segment AC du géométrai ; nous obtenons le point C. Portons sur la ligne d'horizon, à partir du point H, un segment égal à A/ de la fig. 21 : nous obtenons le point F. Traçons CF ; cette ligne est la perspective de la droite Cm,

A partir du point C de la fig. 11, portons sur la ligne de terre Fig, 12.

un segment CE' égal à la longueur /hC de \a fi,g. 21: cette longueur mC est ce qu'on appelle Véloignement oblique du point m. Portons, à partir du point F, sur la ligne d'horizon, un segment Pd égal au segment /rf de lajlg. 21, mais dans le sens inverse du sens dans lequel nous avons porté le segment CE' : nous obtenons ainsi le point d. Il suffit de joindre le point d au point E' pour avoir la perspective de la ligne mE' du géométrai (que nous n'avons pas eu besoin de tracer). Le point de rencontre de cette droite avec la ligne CF est le point M, perspective du point m du géométrai.

Le point d est le point de fuite de la droite mE' du géométrai : il est le point de fuite des droites, telles que mE', qui déterminent des segments égaux sur la ligne mC du géométrai et sur une horizontale de front. Si nous menons une parallèle à ÂB {fig- 2.1), cette parallèle, la droite mC et ta droite niE' déterminent un triangle isoscèle; c'est pourquoi l'on dît que le point û? est le point de fuite des droites ayant la direclion mE qui déterminent des segments égaux sur des droites parallèles à mC et sur des horizontales de front. Ce point d porte le nom de point accidentel de distance relatif à la direclion mC, et la méthode à laquelle nous sommes

arrivés pour construire le point M est désignée sous le nom de méthode du point de distance.

Nous venons d'expliquer sur \afig. ai ce qui est relatif à ces triangles isoscèles formés par des droites parallèles à mC, par des horizontales de front et par des droites parallèles à mE'; nous pouvons reproduire celte explication sur le tableau; cela va nous fournir l'occasion de faire connaître le langage employé habituellement en perspective.

Si nous menons une droite sur le tableau, à partir du point (;? {ftg- 22), cette droite est la perspective d'une parallèle à mE'; si nous menons une parallèle à AB, cette droite est la perspective d'une horizontale de front. Nous obtenons ainsi un triangle 1-3-3, et nous disons que ce triangle est isoscèle, que le côté 1-2 est égal au côté i-3. Cela n'est pas exact, si l'on considère la figure tracée sur le tableau; mais, en parlant ainsi, il est convenu qu'il s'agît de la figure de l'espace. Ainsi, en regardant sur le tableau le triangle i-2-3, nous disons que le côté 1-2 est égal au côté i-3 : cela veut dire que le côté dont i-i est la perspective est égal au côté dont 1-3 est la perspective.

Quand on montre un point sur le tableau, il faut donc, à moins d'indication contraire, se reporter à l'objet de l'espace.

Nous avons porté l'éloignement oblique du point m dans un certain sens CE', et, naturellement, le segmentât/ se trouve en sens inverse. Si nous avions changé le sens dans lequel nous avons porté d'abord le segment CE', nous aurions trouvé dans le sens opposé un aiilre point que le point d. Nous voyons ainsi qu'il y a deux points de distance correspondant à une même direction. On emploie le point de distance qui se trouve le plus rapproché du cadre du tableau. Sur \SiJig. 22, nous aurions l'autre point de distance en portant, à partir du point F, la longueur Vd en sens opposé; nous obtiendrions ainsi un point qui serait éloigné du cadre du tableau.

Si, au lieu d'employer {Jig- ai) une droite quelconque mC, nous prenons une perpendiculaire à AB, le point de fuite correspondant porte le nom de point principal de fuite et le point de dislance correspondant est le point principal de distance ou le point de la distance principale. Dans ce cas particulier, la Ion-

giicur qu'il faut porter pour avoir ce point de ]a distance principale n'est autre chose que la distance de l'œil au plan du tableau.

Lorsqu'on donne ce point principal de fuite et ce point de la distance principale, on a ce que l'on appelle les points principaux de fuite et de distance.

Remarquons que nous n'avons déterminé la perspective dti point m que lorsque le tableau et le géoniétral sont à la même échelle. Nous verrons, en cherchant la perspective d'une figure plane, comment on modifie les traces lorsque le tableau est à une échelle différente de l'cchcllc du géométral.

Cette Leçon est très simple et il semble qu'il ne soit pas nécessaire de l'étudier pour en retenir les différentes parties. Cependant, comme elle renferme pour ainsi dire toute la perspective, il est très essentiel de se familiariser avec les tracés qu'elle fait connaître, pour arriver à les reproduire machinalement et sans avoir besoin de réfléchir.