PERSPECTIVE DU PLAN

Perspective d'un trapèze. — Échelle des éloignements. — Échelle des largeurs. — Perspective d'une ligne courbe. — Craticuler. — Perspective d'une circonférence de cercle. — Méthode des deuï points de fuite : perspective d'un parquet. — Points en dehors du cadre du tableau.

Reprenons les tracés auxquels nous sommes arrivés dans la rlcrnière Leçon, et, su moyen d'une remarque très simple, il sera facile

Fis. .3.

d'obtenir les constructions que l'on doit employer lorsque le tableau est à une éclicUe différente de l'échelle du géométral.

Reprenons ^^fig- 23. Marquons sur la ligne d'horizon un point que nous appelons \d, et qui est l'extrémité d'un segment égal au tiers de Ft^; à partir du point C, sur la ligne de terre, portons une longueur égale au tiers du segment CE'. Joignons le point ainsi obtenu sur CE' au point \d : il est bien évident que cette droite passe par le point M.

Celle remarque très simple permel, lorsqu'on amplifie le tableau, de ne pas amplifier les éloignemenis à porter sur la ligne de terre, en ayant soin de ne pas amplifier non plus l'éloignement oblique de l'œil par rapport au tableau.

Cela posé, cherchons la perspective d'une fignre plane, en supposant le tableau à une échelle trois fois plus grande que l'échelle du géomélral.

Perspective d'un trapèze. — Prenons, comme exemple, le trapèze mnrs qui est donné sur le géométral (Jig. a3).

Prolongeons les côtés parallèles jusqu'à la ligne de terre : nous obtenons ainsi les points e, g. Menons par le point o une parallèle o/aux côtés parallèles ms, m. Par le point A menons aussi la parallèle Ky à ces côtés du trapèze; puis, par les sommets du trapèze, menons des parallèles à la ligne de terre, c'est-à-dire des droites de front. Ces droites rencontrent A/ aux points i, 2, 3, 4-

ji

Prenons maintenant {fig. -2^) un tableau trois fois plus grand que le géométral. AB est alors égal à trois fois AB du géomélral. A partir de A portons AH égal à trois fois la hauteur donnée de l'œil au-dessus du géométral; traçons la ligne d'horizon HH'. A partir du point H', et sur cette ligne d'horizon, prenons un segment égal à trois fois la longueur B/ de la yî^. 23 : nous obtenons le point F, qui est le point de fuite des droites parallèles à la direction ms du géométral, En joignant A à F, nous avons la perspective de la ligne Ay.

il résulte de cette construction que TH est égal à 3/A du géo-

40 PltlîSlIÈnE PARTIE. — QVATRIÈMIÎ LEÇON.

mélral. Si alors nous portons, à partir du point F, le segment /A sur la ligne d'horizon, et si, par l'extrémité de ce segment, nous menons une parallèle à HA, cette droite rencontre FA en un point A', telqueFA==3FA'.

Par le point A' menons une parallèle à la droite AB. Il résulte de cette construction que, si le tableau n'avait pas clé amplifié, le cadre du tableau ne serait pas en AB : il serait sur la droite que nous venons de tracer à partir du point A', Pour avoir la perspective de la bgne es, nous n'avons alors qu'à porter, à partir du point A', un segment A!e' égal à Ae dugéométral, puis à joindre le point F au point c'. La droite Fe' rencontre AB an point E. On voit que la marche que nous venons de suivre évite de porter à partir de A trois fois le segment Ae pour obtenir le point E; nous avons simplement porté le segment Ae lui-même sur la droite que nous venons de tracer à partir de A'.

Opérons de même pour le côté m. A partir de A' portons un segment égal au segment A^ : nous obtenons le point g'. Joignons le point F au point ^ : la droite F ^' est la perspective delà ligne ^r.

Pour déterminer la perspective des sommets du trapèze, nous allons chercher les perspectives des points i, 2,3, 4' Pour cela, appliquons une bande de papier le long de A.y et relevons sur cette bande de papier les points A, i, 3, 3 et 4, puis reportons simultanément tons ces points à partir du point A sur la ligne de terre AB du tableau.

Dans le sens opposé à celui où nous avons porté ces segments, portons, à partir du point F, sur la ligne d'horizon, une longueur égale à/o; nous indiquons l'extrémité de ce segment par \d. Joignons le point jd aux points que nous venons de marquer sur AB; ces droites rencontrent AF aux points i', 2', 3', 4', qui sont les perspectives des points 1, 2, 3, 4 du géométral. Des points i', 2', 3', 4' on mène des droites de front, il suffit de prendre les intersections de ces droites avec les lignes Fe', F^' pour avoir les points M, N, R, S, qui sont les perspectives des sommets du trapèze.

En joignant maintenant ces points par des droites, on a la perspective du trapèze mars.

Échelle des éloîgnements. — La droite AF, qui est la perspective de la ligne Ky sur laquelle nous avons rapporté les différents

points de la figure pour mesurer les éloignements obliques, porte le nom d'échelle des éloignements.

ïdielle des largeurs. — La droite A'e'g', sur laquelle nous avons porté des segments égaux aux segments comptés sur la ligne de terre AB du géométral, s'appelle échelle des largeurs.

On peut remarquer que la droite A' ^' est la perspective d'une horizontale de front qui jouit de cette propriété ; la Teduction par la perspective de la longueur d'un segment de cette droite se trouve compensée par l'amplification du tableau.

Perspective d'une ligne courbe. — Les constructions que nous venons d'indiquer en prenant comme exemple un trapèze permettent évidemment de trouver la perspective d'une figure quelconque. S'il s'agit d'une courbe on peut chercher les perspectives des différents points de cette courbe, et, en réimissant convenablement ces perspectives, on a la perspective de la courbe. La perspective d'une tangente à la courbe, comme nous l'avons déjà fait remarquer, est une tangente à la perspective de cette courbe.

Craticuler. — Lorsque l'on a à déterminer la perspective d'une ligne sinueuse simplement tracée et sans définition géométrique, on établit un quadrillage formé par des droites de front et des parallèles à une certaine direction ; on cherche la perspective de toutes ces droites et l'on relève à vue sur le tableau la perspective de la ligne sinueuse, en tenant compte de la position des points de rencontre de cette ligne avec les lignes qui forment le quadrillage. Cela s'appelle craticuler.

Perspective d'une circonférence de cercle. — Si la courbe, à déterminer en perspective, a une définition géométrique qui permette de la construire par points, on peut opérer directement. Cherchons, comme exemple, la perspective d'une circonférence de cercle décrite sur une horizontale de front. On donne (Jig- aS) le point principal de fuite P et le point de la distance principale D ; le diamètre de la circonférence est le segment de front MN, Le point O, milieu du segment MN, est la perspective du centre de cette circonférence; en joignant le point P au pointO, nous avons

la perspective dn diamètre perpendiculaire à MN, puisque le point P est le point principal de fuite, c'est-à-dire le point de fuite des droites perpendiculaires au plan du tableau. Joignons le point D au point N; cette droite DN rencontre OP au point C et nous avons OC =^ ON, car le point D est le point de fuite des droites qui déterminent des segments égaux sur des perpendiculaires au tableau telles que OP et sur des horizontales de front telles que ON. Le point C est donc un point de la circonférence de cercle décrite sur MN comme diamètre.

Pour déterminer un point quelconque de cette circonférence, nous effectuons les tracés suivants. Joignons le point M au point C ; par le point P menons une droite quelconque qui rencontre les deux droites CN, CM aux points G et L. Joignons le point G au

point M, le point L au point N ; le point de rencontre I de ces deux droites est la perspective d'un point de la circonférence. En faisant varier la droite PL, nous obtiendrons autant de points que nous voudrons de la perspective de la circonférence.

Pour démontrer que le point I appartient àla perspective de cette circonférence, considérons le triangle MNL. Dans ce triangle, nous avons deux hauteurs : l'une est la droite NC, car l'angle en C est droit, le point C étant \m point de la circonférence; l'autre hauteur est LG, puisque toute droite partant du point P est la perspective d'une ligne perpendiculaire à MN. Le point G, point de rencontre de ces deux hauteurs, est dès lors le point de rencontre des trois hauteurs du triangle : la droite MG est alors perpendiculaire sur LN, et le point I appartient à la circonférence décrite sur MN comme diamètre.

Prenons la perspective T du point qui, dans l'espace, est le milieu du segment LG; joignons Se point T et le point O au point f. Les deux triangles MIN, LIG sont semblables comme ajant leurs

côtés respectivement perpendiculaires ; ils sont tons deux rectangles en I. Il en résulte que la droite 10, qui joint le sommet de l'angle droit I au point O, milieu de l'hypoténuse, est homologue de la droite qui joint le point I au point T, milieu de l'hypoténuse LG ; la droite IT est alors perpendiculaire à la droite 10. Puisque lï est perpendiculaire à l'extrémité du rayon 10, cette droite est la tangente en I à la perspective de la circonférence.

Si, au lieu de considérer le point I, nous avions pris le point C, nous aurions trouvé, de la même manière, que la droite CT est tangente en C à la circonférence. Mais nous connaissons la tangente en G : c'est une parallèle à MN, puisque le rayon CO est perpendiculaire à MN; nous avons donc le point T en menant parle point C une parallèle à MN; cette parallèle rencontre !a

droite PIj au point T, et la tangente au point I est la ligne qui joint ce point T au point l. Nous avons ainsi une construction qui donne à la fois les points de la perspective de la courbe et les tangentes en ces points à cette perspective.

La figure que nous venons de tracer directement sur le tableau est la perspective de la fig. a6, qui permet d'apercevoir tout de suite la relation de position des différentes lignes sans les modifications introduites par la perspective. La droite Ig, qui correspond à LG, est perpendiculaire à mn, ; nous avons le triangle Imn, dont les hauteurs sont ne, Ig et mi. Enfin la droite et, parallèle à mil, donne le point t qui est bien ici le milieu de Ig-., la droite ti est la tangente en ik la circonférence décrite sur mn comme diajnètre.

Méthode des deux points de fuite : perspective d'un parquet. — Revenons à la méthode des deux points de fuite et montrons un exemple où celte méthode peut être utilement employée.

On demande la perspective d'un parquet formé d'une siiUe d'hexagones {fig. 27).

Les sommets de ces hexagones sont situés sur des droites parallèles entre elles qui rencontrent AB aux points i, 2, 3, 4i 5; les segments compris entre ces points sont des segments égaux entre eux. Ces sommets peuvent être considérés aussi comme se trouvant sur des parallèles qui rencontrent AB aux points m, «, />, q, r; on a alternativement des segments égaux entre eux : mn ^pq, np = qr.

Par le pointu menons les droites 0/, of parallèlement à chacune

des directions des lignes que nous venons de tracer : nous obtenons les points/et /'. En employant ces deux points de fuite, nous allons déterminer la perspective du parquet.

Prenons {fig- 28) un tableau à une échelle triple de l'échelle du géométral. A partir du point H, portons sur la ligne d'horizon un segment égal à trois fois A/': nous obtenons le point F'. De même, à partir du point H' portons un segment égal à trois fois B/: nous avons le point F. Joignons le point F au point A et déterminons comme précédemment le point A' par lequel passe l'échelle des largeurs ; à partir du point A', portons des segments égaux aux scg-

itieius A-i, 1-2, 2-3, ...; joignons les poinLs ainsi obtenus siir réchelle des largeurs au poinl F : nous avons des droites qui sont les perspectives des lignes parallèles entre elles qui ont donné les points I, 2, 3, 4 sur la ligne AB du géomélraJ.

Faisons de même pour les parallèles m, n, p, q, r. Joignons le point F' au point B : nous obtenons sur l'échelle des largeurs le point B' qui correspond au point B du géométral. A partir du point B', portons sur l'échelle des largeurs des segments égaux à Bs, sr, rq, qp et ainsi de suite ; joignons, par des droites allant au point F', les points ainsi obtenus. Ces lignes sont les perspectives des pai'allèles qui passent par les points s, r, q, p, n, m: elles rencontrent les premières en des points qui sont les perspectives

des sommet !e 1 I exd-, n tl fl t a! is le jo dre convenablement ces points pour avoir la perspective du parquet.

Points en dehors du cadre du tableau. — Nous allons terminer ce qui est relatif à la perspective du plan en indiquant les constructions qui permettent de tracer des hgnes passant par des points situés en dehors du cadre et trop éloignés pour être employés directement.

Nous donnerons une série de constructions, mais on peut en employer beaucoup d'autres suivant les circonstances.

Soient {Jîg. ag) les droites A, A', B, B', La droite A rencontre la droite A' en un point en dehors du cadre et très éloigné ; il en est de même du point de rencontre des droites B cl B' : on demande

de tracer la ligne qui passe par le point de rencontre de A avec A! et par le point de rencontre de B avec B'.

Appelons G le point de rencontre de A et de B, G le point de rencontre de A' et de B', Traçons la droite CGet prenons, à partir de G, le tiers du segment CG : nous obtenons le segment CH, Par le point H menons une parallèle à A' et une parallèle à B' : nous obtenons ainsi le point a et le point b. La droite ab rencontre GG au point e; il suffit de porter trois fois la longueur de Ge à partir de G pour- avoir le peint E : la parallèle -à ab menée par ce point E est la droite cherchée.

On voit que nous avons réduit, pour ainsi dire, les dimensions

de la figure de façon à avoir des points de rencontre «, b dans l'intérieur du cadre ; puis nous avons amplifié, dans le rapport inverse de la première réduction, de manière à avoir la droite demandée dans la position qu'elle doit occuper.

On a deux droites A, B {fig. 3o) qui se rencontrent en un point trop éloigné pour pouvoir être employé, et sur une droite des points i, 2, ...; on demande de mener des droites passant par ces points et par le point de rencontre de A et de B.

Joignons les points donnés, ainsi que le point m, à un point quelconque ( de la droite B et menons la parallèle m' n' à mn. Gette droite rencontre les lignes que nous venons de tracer aux points m,' 1', 2', — Transportons maintenant cette droite parallèlement à elle-même dans la direction de B. Le point m' vient sur A en »i" au point où cette droite est rencontrée par la droite m' m" menée parallèlement à B. Par m" menons une parallèle à m' n' : nous obtenons la droite m"n" sur laquelle nous rapportons les points 1', ■?.', ..., en 1", u", ..., et il suffit évidemment de joindre

les poinLs I, ■>., ... nux poinls ainsi obtenus pour avoir les ciroiies demandées.

On est conduit quelqiiefois à une solution en faisant usage d'une propriété des lignes représentées sur le tableau.

Prenons un exemple : on a {fig. 3i) une droite de front MN, sur laquelle il y a les points i, a, 3 ; une droite NN" passe par le point N et rencontre la ligne d'horizon en un point trop éloigné du cadre pour pouvoir être employé : on demande de tracer les droites partant des points M, 1,2, 3, et aboutissant au point, en dehors du cadre, où NN" rencontre la ligne d'horizon.

Traçons une horizontale de front et joignons les points M, i , 9., ri, N à un poiiil F de la ligne d'borizou : nous obtenons les jioints

M', 1', 'i\ 3', N'. Portons les segments compris entre ces points, à partir du point N", où l'horizontale de front que nous venons de mener rencontre la droite donnée qui passe par le point N : nous obtenons les points 3", 2", i ", M". Les lignes qui joignent ces points aux poinls donnés sont les droites demandées. Les droites qui aboutissent au point F sont, dans l'espace, des droites parallèles entre elles; les segments M'-i', l'-a', ..., qu'elles interceptent sur l'horizontale de front que nous avons tracée, sont égaux aux segments M-i, 1-2, 2-3, puisque ce sontdes segments interceptés par des parallèles sur deux parallèles. En portant ces segments sur l'horizontale de front, nous avons les segments qu'intercepteraient les lignes demandées, qui, dans l'espace, doivent être parallèles entre elles. Par conséquent, nous avons résolu le problème en faisant usage de la propriété, que possèdent des lignes convergentes en un même point de la ligne d'horizon, d'être les perspectives de lignes do l'espace parallèles entre elles.

48 PElËMlèBIÎ PARTIF. — QUATRIÈME LEÇON.

Déterminer sur MN {^fig- 3a) des points qui partagent ce segment comme i, 2,^ partagent le segment de front lA^.

Traçons la droite/M qui rencontre N4 au point L, Les droites Li, La, L3 coupent aux points 1', a', 3' la parallèle à M4 nienée du point N. On joint ces points au point /. Ces droites coupent MN aux points 1", 2", 3" qui sont les points demandés.

Remarquons qu'on doit clioisir la direction de IVt/de manière à avoir un point L qui ne soit pas éloigné. Dans certains cas on peut mener simplement sur le tableau une droite par le point M parallèlement à N4.

Si le segment MN est égal au segment M4, les segments compris entre les points M, i", •>.", 3", N sont égaux aux segments compris entre les points M, i, a, 3, 4-

Fig. 3.. Mg, 33.

Mener par un point M une droite qui passe par l'intersection de deux droites A, B dont le point de rencontre est trop éloigné.

Du point donné abaissons une perpendiculaire sur chacune des droites; ces perpendiculaires donnent sur A et B les points a et b. La droite demandée est la perpendiculaire abaissée du point M sur la droite ab. On fait ainsi tout simplement usage de !a propriété des hauteurs d'un triangle de passer par un même point.

Voici une autre solution du même problème.

Supposons qu'il s'agisse de deux droites du géométral. Par le point M ifig' 33) menons deux droites qui coupent la ligne d'horizon aux points Q et R. Ces droites rencontrent les deux lignes données A, R, l'une au point i, l'autre au point 3. Menons la ligne 1-3, qui rencontre la ligne d'horizon au point S. Par le

point S traçons une droite quelconque qui coupe les droites A, B, l'une en i', l'autre en 3'; joignons R à i' et Q à 2' : ces deux dernières droites se coupent au point M' et la ligne MM' est la droite demandée.

Cela tient à ce que, sur le géomélral, les deux triangles M-1-2, M'ri'-a' ont leurs côtés respectivement parallèles, puisque les perspectives de ces côtés se rencontrent en des points situés sur la ligne d'horizon.

La figure que nous obtenons ainsi conduit à cette proposition de Géométrie :

Si les cotés correspondants de deux triangles se coupent en des points situés sur une même droite, les sommets de ces triangles sont sur des droites convergentes en un même point.

Ou, réciproquement ;

Si les sommets de deux triangles sont sur des lignes convergentes en un même point, les points de rencontre des côtés correspondants sont en ligne droite.

Ces deux triangles, dont les sommets sont ainsi placés sur des droites convergentes, sont des triangles komologiques.

En général, lorsque sur un plan deux figures se correspondent point par point et droite par droite, de façon que les points correspondants soient sur des droites convergentes en un même point (', et que les droites correspondantes se rencontrent sur une même droite D, ces deux figures sont komologiques.

Le point I est le centre d'homologie, et la droite D est Vaxe d'homologie.

La théorie des Jlgures komologiques est duc à l'illustre géomètre Poncelet ( ' ).

(') Traité des propriétés projectii'es des figures, 2' cdiliofi, l. I, p. i5^.