PERSPECTIVE D'UNE ÉLÉVATION

Kchclledes hauteurs.— Eïtension des constructionsdela perspective. — Perspectivi d'arcades. — Abaissement du géomélral. ~ Suitede larcclierche df. la perspecliv des arcades.

Échelle des hanteurs. — Nous avons vu que l'échelle des largeurs est la perspective d'une horizonlale de front, telle qu'un segment de cette horizontale a pour perspective un segment qui lui est égai. Celle propriété de réehelle des largeurs est vraie pour une

droite quelconque du plan de front qui contient l'horizontale dont la perspective est l'échelle des largeurs. Il est facile d'en voir la raison.

Décrivons, sur ce plan de front dans l'espace, une circonférence de cercle dont le centre soit un point de l'horizontale qui a pour perspective l'échelle des largeurs; la perspective de cette circonférence est une circonférence, puisqu'elle est tracée sur un plan de front. On voit ainsi qu'un rayon de direction quelconque a pour perspective un segment qui lui est égal, puisque cela est vrai pour le rayon compté sur l'échelle des largeurs.

Cherchons, d'après cela, la perspective d'un point situé à une hauteur donnée au-dessus du géométral.

M est {^g. 34) la perspective de la projection du point donné sur le géométrai. Le point de Fespaco dont M est la projection se

trouve sur la verticale menée de ce point et à une hauteur qui doit être la perspective du segment mesurant la distance du point donné au géomélral, ,

Par le point M traçons une droite qui rencontre la ligne d'iiorizon au point F dans l'intérieur du cadre. Cette ligne rencontre l'échelle des largeurs au point N. Sur la perpendiculaire à l'éclielle des largeurs menée du point N, perpendiculaire que nous considérons comme la perspective d'une verticale, portons la hauteur qui mesure la distance du point donné an géométral : nous obtenons un point N'. Joignons le point F au point N'; cette droite rencontre au point M' la verticale issue du point M : le point M' est la perspective demandée.

Les deux droites FM', FM sont, en effet, deux droites parallèles entre elles dans l'espace, puisqu'elles ont même point de fuite; ces (lenx droites intercepient sur les verticales MM', NN' des segments

r.Jf\

MM', NN' qui, dès lors, sont égaux. Mais le segment NN' est égal à la hauteur du point donné au-dessus du géomélral; il en est donc de même de MM', et le point M' est bien la perspective cherchée. Cette construction permet de déterminer la perspective d'un point quelconque de l'espace ; mais, lorsqu'on cherche la perspective d'un certain nombre de points, on opère en employant une droite que l'on appelle échelle des bauieurs, et dont nous allons

Par le point H' [Jig. 35) et en dehors du cadre du tableau, menons une droite qui rencontre l'échelle des largeurs en un point C. De ce point C élevons une perpendiculaire à l'échelle des largeurs ; c'est sur cette droite, considérée comme ta perspective d'une verticale située dans le plan de front qui contient l'échelle des largeurs, que nous mesurerons les hauteurs ; on appelle celte droite Véchelle des haïUeurs,

Parle point M menons une horizonlale de front; elle coupe la droite H'C en un point |j.. Sur l'écheUe des hauteurs, à partir du point C, portons un seg^ment Gv égal à la hauteur du point donné au-dessus du géométral; joignons le point H' au point v. Cette droite rencontre au point ^.' la verticale qui passe par le point ja ; il suffit maintenant de ramener le point jx', à l'aide d'une horizontale de front, sur la verticale du point M, pour ohtcnir le point M', perspective dn point demandé.

En opérant ainsi, nous avons supposé que l'élévation et le plan étaient des dessins faits à la même échelle. Si l'élévation est à une échelle différente de l'échelle du plan, à une échelle double par exemple, on n'a qu'à doubler le segment H'C-, on porte CC'=;H'Ci du point C on élève une perpendiculaire à la ligne de terre, et l'on a l'échelle des hauteurs.

Nous avons pris le point C pour origine de l'échelle des hauteurs ; c'est à partir de ce point que nous avons porté la hauteur Cv du point donné. On prend souvent pour origine le point de rencontre de l'échelle des hauteurs avec la ligne d'horizon, et alors c'est à partir de ce point de rencontre qu'on porte, sur l'échelle des hauteurs, dans le sens convenable, la dislance du point donné, non plus au géométral, mais au plan horizontal situé à la hauteur de l'œil.

Considérons, par exemple {Jig- 36), un point dont la projection horizontale est m et la projection verticale m' : la hauteur de ce point au-dessus du géométral est la distance du point m' à la droite (C). Si nous indiquons sur le plan vertical de projection une horizontale hh' k une distance de (G') égale à la hauteur de l'œil au-dessus du géométral, la hauteur du point m' au-dessus du plan horizontal passant par l'œil est la distance du point m' à kh'; c'est cette hauteur que l'on doit porter à partir du point de rencontre de l'échelle des hauteurs avec la ligne d'horizon.

Extension des constructions de la perspective. — Avanl. de passer à une application, nous allons dire un mot de l'extension des tracés qui donnent la perspective d'un point lorsque celui-ci est en avant du tableau.

On est conduit à considérer des points en avant du tableau lorsqu'on s'occupe de la recherche des ombres en perspective; le point lumineux est dans une position tout à fait indépendante de la situation du tableau : il peut être derrière le spectateur. Il est donc nécessaire de pouvoir faire intervenir la position du point lumineux en établissant sa perspective, ce mot étant défini comme nous allons le dire.

On appelle encore perspective d'un point, placé en avant du

Kg. S,.

tableau, la trace sur le plan du tableau de la droite qui passe par ce point et par l'œil du spectateur.

Cherchons comment sont placées les perspectives des points suivant leurs positions relatives par rapport au tableau et par rapport au spectateur.

Projetons {fig- 37) le géométral et le tableau sur un plan perpendiculaire à la ligne de terre. Le tableau est représenté par une simple' droite (T), et le géométral par la droite (G) perpendiculaire à (T) ; l'œil est projeté au point O, la ligne de terre au point A.

Considérons d'abord un point m placé derrière le tableau par rapport au spectateur. Joignons le point O au point m ; cette droite rencontre (T) au point M, qui est entre la ligne de terre et la ligne d'horizon.

Prenons le point en m', en avant du tableau. Joignons le point O au point m' et prenons la trace de cette droite sur le plan du tableau, nous avons un point M' que nous appelons la perspective du point m', et nous voyons que ce point M' est au-dessous de la ligne de terre.

Plaçons maintenant le poinL en m", derrière le spectateur. Joignons le point m" au point O, nous avons une droite qui rencontre le tableau en un point M" situé au-des

Vis- ^8.

s de la ligne d'horizon.

Nous pouvons dire, d'après cela, en ne considérant que deux cas : Les points du géomélral qui sont en avant du spectateur ont leurs perspectives au-dessous de la ligne d'horizon; les points qui sont derrière le spectateur ont leurs perspectives audessus de la ligne d'horizon.

On peut arriver à ces résultats en appliquant la construction

Fig. .%.

i servi à délerm.irier la perspective d'un point du géo-

même qui métrai.

Reprenons {fig. 38) un point m sur le géométral, la droite mC qui passe par ce point, et la parallèle of à mC. Pour déterminer la perspective du point m, nous avons porté {fig. 39), à partir du point C jusqu'au point E, l'éloigncment oblique du point m, cl.

nous avons joint le point E au point d par une droile qui rencontre FC au point M, perspective du point m.

Si le point m, ait lieu d'être placé derrière le lableau, se trouve {Jig- 38) en m' en avant du tableau, tout en restant en avant du spectateur, les deux segments Cm' et fo sont comptés dans le même sens. Nous avons donc à porter l'éloigneraent oblique Cm' à partir du point C {fig- Sg) jusqu'au point E' dans la direction de ¥d, et, en joignant le point d au point E', on a une droite qui donne le point M', au-dessous de la ligne de terre.

Prolongeons la droite mC {fig- 38) et prenons un point m" situé derrière le plan de front qui passe par l'œil. II faut porter {^^. à parlir du point G sur la ligne de terre, la longueur Cm" qui est plus grande que fd; en joignant l'estrémité du segment ;

obtenu au point d^ on a une droite qui rencontre CF en M" audessus de la ligne d'horizon.

On retrouve bien de celte façon les résultats auxquels nous étions arrivés directement.

Prenons maintenant {fig- 4o) "n point m, à une certaine hauteur au-dessus du géométral et au-dessous du plan d'horizon. En joignant le point O au point m, , on obtient le point Mi, qui est au-dessous de la ligne d'horizon. De même, pour le point qui se projette sur le géométral au point m', si nous prenons un point m', toujours au-dessous du plan d'horizon, en joignant !e point O au point mj, nous obtenons la perspective M^, au-dessous de l'horizon, comme précédemment.

Mais, pour le point m" situé derrière le plan de front passant par l'œil, le point m,, qui est au-dessous dn plan d'horizon, donne en perspective un point situé au-dessus de la ligne d'horizon; ainsi, pour les points en avant du specLateur et au-dessous du

56 PHKSKEBJi PAitTIE. — C [ NQTJ 1 K M !■! T.KÇON.

plan d'horizon, les perspectives sont au-dessous de la ligne d'horizon; l'inverse a lieu pour les points placés derrière le spectateur.

Si l'on prend des points situés au-dessus du plan d'horizon, ceux qui sont devant le spectateur ont leurs perspectives au-dessus de la ligne d'horizon, et l'inverse se présente pour les points placés derrière le spectateur.

On peut retrouver ces résultats directement sur le tahlcau. Soit {Jig- 4^) Is point M, situé au-dessous du plan d'horizon et dontla projection sur le géométral est en M; cette projection, d'après ce que nous avons dit, montre que le point est placé derrière le tableau. Si l'on prend un point placé derrière le spectateur et dont la pro-

jection sur le géométral a pour perspecLive le point M", le point de l'espace se trouve sur la verticale passant par ce point M", et, s'il est à la même hauteur que le point M, au-dessus du géométral, en joignant le point cherché à ce point, nous avons une horizontale dont la perspective est M, F ; cette horizontale détermine alors le point MJ à sa rencontre avec la verticale passant par M". Le segment M"M° est égal au segment MM,, eL l'on voit que, pour le point placé derrière le spectateur et au-dessous du plan d'horizon, sa perspective MJ est au-dessus de la ligne d'horizon.

Il est essentiel de se familiariser avec la situation relative des points, selon qu'ils sont devant ou derrière le spectateur, et de voir la position correspondante de leurs perspectives, surtout lorsqu'il s'agit de recherches d'ombres. Ainsi une verticale telle que MM| a pour ombre portée une ligne qui s'éloigne de l'observateur ou qui s'en rapproche, selon la position du point lumineux par rapport à cette verticale. En se rendant bien compte de la situation relative de l'objet éclairé et du point lumineux, on voit tout de suite la direction que l'on doit prendre pour l'ombre portée de cette ver-

iipert

Nous reviendrons sur ces détails lorsque nous r de la reclierclie des ombres.

Ce que nous venons de dire relatîveraenL à la reclierche de la perspective d'un point dans l'espace et ce que nous avons dit précédemmenl pour la recherche de la perspective d'un point du géomëtral suffisent pour déterminer la perspective d'un ensemble dont on connaît le plan et l'élévation.

Nous allons prendre un exemple et montrer comment on opère dans ce cas.

Perspective d'arcades. — Soit à rechercher la perspective d'une suite d'arcades. On donne la projection horizontale des piliers soutenant ces arcades et la projection des arcades sur un plan vertical parallèle au plan du mur qui les limite. Nous avons {fig- 4^) sur le plan vertical de projection l'horizontale hh' à la hauteur de l'œil au-dessus du sol qui correspond au géométral.

Traçons sur le plan horizontal la projection AB du tableau el prenons la projection horizontale o de l'œil. Le tableau est, par exemple, limité en A et B, l'angle optique est AoB. On doit chercher à donner à AB une direction convenable et à placer le point o de façon à voir l'ensemble de l'objet dont on cherche la perspective.

Prolongeons les côlés des earrés qiti forment les projeelions des piliers, nous obtenons une suite de droites parallèles enlre elles; prenons une ligne of, parallèle à cette direction, pourla recherche de la perspective. Soit m un sommet du premier carré et n le sommet du troisième ; par les points m et n oii a deux droites qui déterminent sur la ligne AB les points i et 2.

Après avoir pris ces dispositions sur le géométral, et avant de passer à la perspective, nous allons dire quelques mots de l'opération qu'on appelle abaissement du géométral.

Abaissement du géométral. — Les perspectives des points du plan, placés sur le géométral derrière le tableau par rapport au spectateur, sont sur le tableau dans ime région qui est comprise entre la ligne de terre et la ligne d'horizon. Si l'on abaisse le géométral, c'est-à-dire si l'on transporte le géométral verticalement au-dessous de la position qu'il occupe, la figure tracée sur ce géométral a pour perspective, après le déplacement, une figure qui est toujours comprise entre la ligne d'horizon et une nouvelle ligne de terre. Mais celle-ci est plus éloignée de la ligne d'horizon que la première : on a donc ainsi une région plus étendue occupée parla perspective, et cette perspective est alors d'une lecture plus facile.

Le géométral ainsi abaissé occupe, par rapport à l'œil, une certaine position. Supposons que l'œil et ce géométral abaissé soient liés invariablement, et qu'on les transporte encore tous les deux au-dessous de la position qu'ils occiipent, jusqu'à ce que l'œil soit sur le prolongement dn premier géométral. Alors toute la perspective du géométral abaissé est maintenant située au-dessous de la ligne de terre, et on a l'avantage de n'avoir à faire des tracés qu'en dehors du cadre.

Comme la plupart des lignes qui conduisent au résultat, c'està-dire à la perspective du plan, doivent disparaître, et qu'il est difficile d'enlever des lignes sans détériorer un peu le papier du dessin, on évite ces détériorations en plaçant toutes les constructions en dehors du cadre; on peut alors, s'il y a lieu, appliquer facilement des teintes.

L'opération qui consiste à abaisser simultanément l'œil et le géométral porte le nom à^ abaissement du géométral.

Lorsque la détermination de la perspective du plan est ainsi faite

sfir le géoméLrai abaissé, il suffit de relever Lous les |ioinLs sur des verticales pour les avoir dans îa position qu'ils doivent occuper sur !a perspective du plan. C'est ainsi que nous allons opérer pour fa recherche de la perspective d'une suite d'arcades.

Suite de la recherche de la perspective des arcades. — La largeur du tableau est dans un rapport arbitraire avec la largeur AB qui est indiquée sur le géométrai.

Avec cette hypothèse, on est obligé d'opérer au moyen de lignes proportionnelles pour avoir la ligne d'horizon et la position des points de fuite.

ABest(^^. 43) la largeur du tableau. Portons A 6 = ABdu géométrai et AA| égal à la hauteur de l'œil au-dessus du géomélral; joignons le point hf au point h et menons par le point B une parallèle à la droite ainsi obtenue. Cette parallèle rencontre le cadre du tableau au point H, par lequel passe la ligne d'horizon HH', A partir du point A, portons le segment Afi^^^A./ du géomélral; joignons le point A) au point/, , et par le point H menons une parallèle à cette droite : nous obtenons le polntF', que nous relevons en F sur la ligne d'horizon. Ce point F est le point de fuite des droites mi, nz et de toutes les lignes parallèles à la direction de ces droites.

Abaissons le géomélral en transportant la ligne de terre en A'B'; la ligne d'horizon est confondue avec AE, et le point de fuite F est venu en F'. Joignons le point F' au point A'; par le point y, menons une parallèle à cette droite. Cette parallèle rencontre AA' en un point : c'est par ce point que nous traçons l'échelle des largeurs. On a bien ainsi l'échelle des largeurs, parce que la distance du point A à cette droite est à la distance du point A au point A' dans îe rapport rs > comme on le voit facilement sur la figure.

A partir du point B, traçons en dehors du cadre la ligne oblique BC qui rencontre l'échelle des largeurs en un certain point : c'est à partir de ce point que nous menons une droite sur laquelle nous compterons les hauteurs.

Cherchons la perspective du point m et la perspective du point/!. Pour cela, portons sur l'échelle des largeurs, à partir du point a, des segments égaux aux distances de A à i et à 2, ainsi qu'à toufi

les points iniermédiaires relatifs a ;cessivement, des points i

î piliers ; on obtient le point i' respondEoit aux sommets des

piliers. On a alors alternativement, à partir de i', des segments égaux aux deux intervalles qui se trouvent sur la ligne AB du géométral, à partir du point i . Joignons le point F' aux points ainsi obtenus : on a des lignes sur lesquelles doivent se trouver les

perspectives des sommets des carrés qui forment les projections des piliers.

Cherchons la perspective du point m on employant le point 2</, obtenu en portant F'-ac? égal à deux fois fo. Prolongeons la droite F'i' jusqu'à la droite A'B' en i", et, à partir du point i", portons sur la ligne de terre une longueur égale à deux fois mr, qui est l'éloignement oblique du point m. Joignons le point id au point que nous venons de déterminer sur la ligne de terre : cette droite rencontre F'i' en un point M' qui est la perspective du sommet m du carré d'un pilier.

Opérons de même pour le point n. La droite F'z' reiieontre la ligne A'B' au point 2". A partir du point 2" sur A'B', prenons un segment égal à deux fois l'éloignement oblique na du point n; joignons l'extrémité de ce segment au point ad. Cette droite rencontre F' a" au point JV', perspective du point n, et alors la droite mn a pour perspective la droite M'N'. Cette dernière rencontre les lignes divergentes du point F' en des points qui sont les perspectives des sommets des carrés projections des piliers. On détermine de la même manière la perspective de la ligne parallèle à mn et qui contient les autres sommets des carrés des piliers.

Nous avons ainsi achevé la recherche de la perspective du géométrai abaissé.

Ramenons maintenant le géométral dans sa position. Relevons verticalement les perspectives des sommets des carrés. Pour cela, relevons la droite M'N' et la ligne qui lui est parallèle. Prenons les points où ces deux droites rencontrent, d'une part F'i" et d'autre part l'oblique BC. Ces deux droites se relèvent, l'une en Fi'" et l'autre en H'C. Ramenons sur ces droites les points M', Q', r' et s' : nous obtenons les points M, Q, r, s. Joignons le point M au point r, le point Q au point s : nous avons les deux droites sur lesquelles il ne reste qu'à rapporter par des verticales les sommets des piliers. Nous possédons ainsi la perspective de la partie inférieure des piliers.

Occupons-nous de la hauteur de ces piliers. Prenons sur la figure géométrale ce qu'on appelle la ligne de naissance des arcades, c'est-à-dire la ligne à partir de laquelle commencent les arcades proprement dites. Portons, à partir du point ou l'échelle des hauteurs rencontre la ligne d'horizon, la hauteur de la ligne de naissance au-dessus de M';joignons l'extrémité/ du segment ainsi obtenu au point H'. Ramenons le point M par une horizontale de front sur la ligne H'C; puis, par le point ainsi ramené, menons une perpendiculaire à la ligne d'horizon : cette droite rencontre la ligne oblique H'y, en un point qu'on ramène en M',. De même pour le point N : on obtient le point N', et l'on joint le point M', au point N', . La droite M', N', est la perspective de la ligne de naissance des arcades. C'est à celte ligne que l'on doit limiter les verticales qui passent par les sommets des piliers qui se trouvent

sur la droilc MN. Oji trouve de même la perspective d'une parallèle à cette ligne sur laquelle on limite les extrémités des autres arêtes des piliers.

Sur le géométral abaissé, il est facile d'avoir les perspectives des projections des centres des circonférences qui forment ee qu'on appelle les courbes de léte des arcades. Nous relevons ces perspectives sur la ligne M'.N', , et nous avons les centres des circonférences courbes de tête des arcades. 11 suffit maintenant d'appliquer la construction donnée dans la dernière Leçon pour avoir la perspective d'une circonférence de cercle, après avoir cberché toutefois la perspective de la tangente commune à toutes ces circonférences : cette dernière perspective se détermine comme nous avons déterminé M'|N',.

Noua avons alors pour la circonférence, dont le diamètre horizontal est GI et dont le centre est au point tii, l'extrémité L du diamètre perpendiculaire à GI. On joint le point L aux points G et I, on mène une parallèle à Lw pour avoir une perpendiculaire au diamètre GI, et l'on joint aux points G et I les points de rencontre de cette droite avec LG et LI : ces droites se coupent en un point de la circonférence. On obtient ainsi autant de points que l'on veut, et l'on a alors, en les réunissant, une courbe qui doit être tracée tangentiellement en L à la perspective de la tangente commune aux courbes de tête des arcades. On fait de même pour les autres arcades.

Après avoir tracé la perspective des circonférences qui sont dans le plan vertical parallèle au plan MN, on a achevé la perspective des arcades.

Il y a des vérifications. Ainsi les perspectives des eûtes des carrés dont la direction est mi sur le géométral doivent rencontrer la ligne d'horizon au point F.

Voilà comment on opère lorsque l'on a, d'une façon complète, le plan et l'élévation de la figure dont on demande la perspective. Mais généralement on ne possède pas des données achevées, des dessins complètement terminés ; on connaît les principales dimensions de l'objet à mettre en perspective, et la perspective s'achève directement sur le tableau.

Pour elfectuer ces tracés directement en perspec(i\f, il (■■;( né-

ccssaire de connaître la solution des problèmes élémentaires relatifs à la ligne droite et au plan. Ces problèmes, analogues à ceux que l'on résout dans la méthode des projections orthogonales et à ceux que nous avons résolus en étudiant la méthode des projections cotées, nous les aborderons dans la Leçon suivante.