CONSTRUCTIONS DIRECTES SUR LE TARLEAU

Probièincs relatifs à la ligne droite et au piaH. — Perspective des moulur

Problèmes relalils à la ligne droite et au plan. — Pour les explications relatives aux solutions de ces problèmes, nous représentons un point par sa perspective et par la perspective de sa projection sur le géométral ; de même pour une droite.

Étant donnée une droite, déterminer sa trace sur le géométral. — La droite M'N' [fig- 44) et sa projection MN sur le géo-

métral soril deux droites dans un même plan : dès lors, M'N' prolongée rencontre MN. Le point de rencontre T de ces deux droites est un point du géométral : c'est alors la trace de la droite donnée sur le géométral, c'est-à-dire le point demandé.

Déterminer la trace d'une droite sur un plan horizontal situé à une distance donnée du géométral. — Sur les verticales qui projettent les extrémités de la droite donnée et à partir du géométral, on porte, dans le sens convenable, la distance donnée. On obtient ainsi deux points qu'on joint par une droite. Cette droite coupe la droite donnée au point cherché.

On construit de la même manière le point où une droite donnée rencontre un plan horizontal qui passe par un point donné.

Déierminer la trace d'une droite sur un plan dejront. — Soit xy {fig- 44) l'horizontale de front, trace du plan de front donné sur le géométral. Ce plan de front rencontre, suivant une verticale, le plan qui projette la droite donnée sur le géomélral; cette verticale passe par le point R, qui est le point de rencontre de xy et de MN : la droite d'intersection des deux plans est la verticale RR'; le point R', où cette droite rencontre la droite donnée M'N', est le point demandé.

On détermine de la même manière la trace d'une droite sur un plan vertical quelconque.

Reprenons le plan de front xy et supposons qu'on ail transporté ce plan de front à l'infini ; xy est alors confondu avec HH', le point de rencontre F de MN avec HH' est la nouvelle position du point R, et, en élevant la perpendiculaire FF' à la ligne HH', nous obtenons le point F', qui est le point de rencontre de M'W avec le plan de front, transporté à l'infini.

Puisque le point F' est la perspective du point de rencontre do la droite M'N' avec un plan à l'infini, le point F' est la perspective du point qui est à l'infini sur cette droite ; ce point F' est donc le point de fuite de M'N', et la construction que nous venons de trouver conduit alors à la détermination du point de fuite d'une droite donnée.

Résolvons directement ce dernier problème.

Construire le point de fuite d'une droite donnée. — Le point de fuite de la droite donnée est sur la ligne de fuite du plan qui pi'ojette cette droite siir le géométral. Ce plan étant vertical, sa ligne de fuite est une verticale. Mais nous connaissons un point de cette ligne de fuite, puisque, la droite IVIN étant une droite de ce plan, son point de fuite, c'est-à-dire le point où elle rencontre la ligne d'horizon, appartient à la ligne de fuite de ce plan vertical. Nous devons donc prolonger MN jusqu'au point F où elle rencontre ta ligpe d'horizon, par ce point F élever à la ligne d'horizon une perpendiculaire qui est la ligne de fuite du plan vertical qui projette la droite donnée sur le géométral. Le point de rencontre de cette ligne de fuite et de la droite M'N' est le point de fuite cherché de cette droite. Nous retrouvons ainsi la construction précédente.

La connaissance de ce point de fuite permet de résoudre immédiatement le problème suivant.