PREMIBIIE PARTIE. — SIXIEME LEÇON

D'un point donné, mener une parallèle à une droite donnée. — Il suffit de joindre le point donne au point de fuite de la droite donnée, et l'on a la parallèle demandée.

La trace d'un plan sur le géométral a pour point de fuite le point où cette droite rencontre la ligne d'horizon, et, comme la ligne de fuite du plan doit contenir les points de fuite de toutes les droites tracées sur ce plan, cette ligne de fuite doit passer par le point de fuite de la trace du plan. La trace du plan sur le géométral et sa ligne de fuite sont donc deux droites qui viennent se couper sur la ligne d'horizon.

Nous ne ferons pas usage de ces droites pour résoudre les problèmes élémentaires relatifs à ia droite et au plan. Lorsqu'on s'occupe du dessin d'un édifice, on a des plans obliques, comme cela se présente pour la toiture; ces plans obliques ne sont nullement définis par leurs traces sur le géométral et par leurs lignes de fuite : ils sont définis par les droites qui les terminent, comme le faîte et les arêtes inférieures de la toiture. Ce sont les données mêmes de ces plans que l'on doit employer.

Si l'on coupe un plan par des plans de front, les intersections sont des droites de front, et, comme les inlerseclions du plan donné avec ces plans de front sontdes droites parallèles entre elles, nous voyons que les lignes de front du plan ont pour perspectives des droites parallèles entre elles.

Parmi tous les plans de front, on peut considérer un plan de front à l'infini. La droite de front, dans ce cas, a pour perspective la ligne de fuite. Nous voyons ainsi que les lignes de front d'un plan sont, sur le tableau, parallèles à la ligne de fuite de ce plan.

Déterminer une droite de front d'un plan donné par une droite et un point ou par deux droites qui se coupent. ■ — Le plan est donné (flg. 45) par la droite (M'N', MN) et par le point (L', L). Par le point L, menons l'horizontale de front LR. Cette droite représente la trace, sur le géométral, du plan de front qui contient le point donné. Ce plan est rencontré par la droite donnée au point R' : la droite R'L' est la droite demandée. Si le plan est donné par deux droites qui se coupent, on résout le problème enjoignant par une droite les traces de ces deux droites sur un plan de front.

Partager une droite WW en parties propoi tionnelles à des segments donnés. — Par le point (M', M) {fig- 46) menons la droite de front (M'R', MR). Portons sur cette droite, àpartir du pointM, des segments proportionnels aux segments donnés ou ces segments eux-mêmes. L'extrémité du dernier segment étant {R', R), on mène la droite (N'R', NR) et l'on construit le point de fuite de cette droite. Il suffit alors de joindre F' aux extrémités des segments portés sur M'R' et de prendre les points de rencontre i, a, 3 de ces droites avec M'N' pour avoir les points chercliés.

Car les droites F'-i, F'-2, F'-3 sont les perspectives de lignes parallèles entre elles et qui déterminent, par conséquent,

Fig. ^5.

sur M'N' et sur la droite de front qui passe par M' des segments proportionnels. Mais les segments qu'on a portes sur la droite de front sont les segments donnés ou des segments proportionnels à ceux-ci ; donc les segments obtenus sur M'N'. sont bien proportionnels à ces segments donnés.

Pour ne pas être conduit à un point de fuite F' trop éloigné, on peut choisir ce point, puis on cherche la droite de front M'R' du plan déterminé par F' et par la droite donnée. On partage M'R' en segments proportionnels aux segments donnés et l'on achève comme précédemment.

Voici une autre solution du même problème :

Par le point M {Jig- 4^) on mène une horizontale de front; on porte sur cette droite, à partir du point M, des segments égaux ou proportionnels aux segments donnés ; on joint le point N à l'extrémité du dernier segment ainsi porté : cette droite rencontre la ligne d'horiïon. en un point que l'on joint aux extrémités des segments

portés sur l'horizontale de front menée psir le point M; on a des droites qui rencontrenl MN en certains points. Au mojcn de verticales, on relève ces points, et l'on retrouve sur M'N' les points i , 2, 3 qui partagent cette droite en parties proportionnelles aux segments donnés.

Si l'on porte sur une horizontale de front des segments égaux entre eux, les droites qui partent des extrémités de ces segments et qui aboutissent à un même point de la ligne d'horizon sont les perspectives de droites parallèles entre elles, qui déterminent alors des segments égaux sur toute horizontale de front. Les segments ainsi obtenus sur toutes ces horizontales de front sont les perspectives de segments égaux entre eux dans l'espace.

On obtient de la sorte, sur ces horizontales de front, ce qu'on appelle les échelles des plans de front qui passent par ces droites,

Fig. 47-

Lorsque l'on porte sur un plan de front une longueur égale à un segment donné, cette longueur doit être mesurée à l'échelle de ce plan de front.

Supposons, par exemple, que le point d {fig- 47) soit le point de distance correspondant à la direction M/; en j oignant le point à au point M, nous obtenons, sur la droite de front qui passe par le point M) , un point R, , et nous avons R, M| ^ MM, . On dit alors que R| M) est la longueur de MM, à l'échelle du plan de front qui passe par le point M) . Si nous avions joint le point d au point M, , nous aurions obtenu un point R5 qui nous donnerait encore RsM=:MM) ; mais ici Ra M est la longueur du segment MM) à l'échelle du plan de front qui passe par le point M, et l'on voit que sur le tableau la longueur MRj, mesurée entre les pointes d'un compas, est plus grande que la longueur MM,. Dans l'espace, il est bien évident que les longueurs correspondant à ces segments sont égales entre elles.

oo:ysTRucTiONS directes svr le tableal'. 69

Porter sur une droite des segments égaux à des segments donnés sur cette droite. — Soit, sur le géométral, MR (/ig. 48) la droite donnée. Par le point M traçons une horizontale de front. Joignons les extrémités des segments MN, NR à un point / de la ligne d'horizon : ces droites rencontrent l'horizontale de front qui passe par le point M aux points i el a. A partir du point 2, prenons des segments égaux aux segments M-i, 1-2 : nous obtenons les points i', 2'. Joignons ces points au point / : ces droites rencontrent la droite donnée aux points N', R', qui sont les points demandés.

Fig. 48.

Déterminer le point oit une droite rencontre un plan donné par deux droites qui se coupent. — On construit les points où les droites, qui déterminent le plan donné, rencontrent le plan vertical qui contient la droite donnée. La droite qui joint ces deux points rencontre la droite donnée au point demandé.

Au lieu de faire usage du plan vertical qui contient la droite donnée, on peut employer un plan déterminé par cette droite et par une droite de front menée de l'un de ses points. Mais cette solution exige qu'on sache résoudre le problème suivant.

Construire l'intersection de deux plans. — Nous supposons que chacun des plans est donné par deux droites qui se coupent. On coupe ces plans par un premier plan de front. On détermine ainsi deux droites de front qui, parleur rencontre, donnent un point de la droite d'intersection des deux plans. Au moven d'un second plan de front, on construit un second point de celte droite qui est alors déterminée.

Le problème, qui consiste à partager une droite en segments proportionnels à des segments donnés, trouve son application lorsqu'on cherche la perspective d'ane moulure.

Perspective des moulures. — Nous allons considérer une moulure