PREMIÈIIE PARTIE. — SEPTIÈME LEÇON

aa point m', qui est la projection de M' sur le plan de front xy. Du point m', dans ce plan de front, ahaisaons une perpendiculaire sur xy, et pour cela il suffît de mener une droite rencontrant

Fi g, 53,

à angle droit cette droite xy, puisque nous opérons dans un plan de front. Le pied de cette perpendiculaire est jjl, et la droite M'ja est la perpendiculaire abaissée du point M' sur la charnière xy.

Après la rotation du plan autour de xy, la droite M'|a, qui est perpendiculaire à xy, a pour perspective la perpendiculaire à la cliarnlère menée à partir du point ix, et lo point M' est sur cette per-

TltUCTlOKS DIRECTE]

pendiculaire, à une distance du point ^ égale à la longueur de M'pL, à l'éciiclle du plan de front :ry.

Pour trouver la longueur de M'[a, considérons le triangle rectangle M'm'jji et amenons le plan de ce triangle à coïncider avec le plan de front xy, en le faisant tourner autour de là droite de front m' [A. Lorsque le plan du triangle M'm'|j. coïncide avec le plan de front xj', le côté m'M', qui est perpendiculaire à m'jji, a pour perspective une droite perpendiculaire à m' ^, et le point M' vient sur cette droite à une distance égale à la longueur de M'fn'. Mais, d'après ce que nous venons de dire, nous savons déterminer la longueur de ce segment de droite : on mène par le point m' l'horizontale de front m' g, et par le point M' la droite M'D; on obtient alors le segment m'g, qui est égal au segment M'm', à l'échelle du plan de front qui contient le point m'. Rapportons ce segment m'g en m'M" : l'hypoténuse M"^ du triangle M"m'^ esl la longueur de M'[i.

Il suffît alors de porter le segment jaM", à partir du point Ji jusqu'en M|, sur la perpendiculaire [aM| kxy, pour avoir au point M, la perspective du point M' après la rotation du plan. On dit que le point M, esl le relèi'ement du point M'.

On pourrait recommencer les mêmes constructions pour d'autres points du plan donné; mais quelques remarques permettent de simplifier les tracés qui conduisent aux relèvements de ces points.

Le plan du triangle Wm,']>. a sa ligne de fuite qui est parallèle à m' [A, puisque cette dernière droite est une ligne de front du plan de ce triangle. Cette ligne de fuite doit passer par le point P, qui est \h point de fuite de la droite M'/n' du plan du triangle. Nous avons donc la ligne de fuite du plan de ce- triangle en abaissant du point P une perpendiculaire sur la ligne de front xy du plan donné : cette perpendiculaire est, en eflet, parallèle à m']}.. EIIp rencontre M'jj. au point de fuite œ de celte droite.

Le point cp est le point de fuite des droites tracées sur le plan ei qui sont perpendiculaires à xy. On peut remarquer que cp esl sur la ligne de fuite J du plan donné, puisque M'fx est une droite de ce plan.

En tournant autour de xy, le point M' décrit un arc de cercle, et la corde de l'arc décrit est la hgne M'M). Pour chaque point du plan, on a une droite telle que M' Mi . Toutes ces droites, étant pa-

j8 PREMIÈRE PARTIE. — SEPTiÈMK LEÇON.

rallèlcs entre elles, onL même point de fuite. Ce point de fuite est à la rencontre de M'M, avec la ligne de fuite Pta. Comme il est trop éloigné, prenons le tiers du segment M, [jl, joignons le point M' à l'extrémité du premier tiers de [iM, à partir de [>., nous obtenons, à la rencontre de cette droite et dePcp , le point -jS. Au moj'en du point f et du point |S, il est facile d'avoir le relèvement d'un point quelconque du plan.

Prenons, par exemple, le point N du plan. Abaissons du point N une perpendiculaire sur xy ; la perspective de cette droite est Ntp et son pied sur xy est le point v. Après la rotation, cette perpendiculaire Nv a, pour perspective, la perpendiculaire élevée du point V à la droite xy. Joignons le point N au point |S. Cette ligne rencontre la perpendiculaire issue du point v en un point qui est l'extrémité d'uii segment, compté à partir de v, et que nous triplons jusqu'au point N) : le point Ni est-le relèvement du point N.

Réciproquement, si l'on a un point du plan relevé, tel que N|, par des constructions inverses, on revient du point N, au point N,

Le relèvement d'une droite se fait en relevant deux de ses points ; la droite M'N, par exemple, est relevée en M)N), On peut remarquer que le point où la droite M'N rencontre la charnière est un point qui ne change |pas pendant la rotation, et, par conséquent, il appartient à la droite M,N,.

La figure qui est tracée sur le plan donné et la figure qu'on, obtient après le relèvement du plan sont deux figures, telles que les points correspondants, comme M' et M,, N et N,, sont sur des droites convergentes en un même point S. Les droites de ces deus figures, comme M'N et MiN,, qui se correspondent, viennent se couper sur la droite xy. Ces deux figures sont donc homologiques.

Le problème que nous venons de résoudre permet d'arriver à la solution d'un grand nombre de questions. Si, pour ne prendre qu'un exemple, on demande de construire dans le plan donné etsurM'ti un triangle semblahle à un triangle donné, on n'a qu'à relever le plan donné. La droite M'N vient en M, N) ; dans cette situation, on construit sur M|N) un triangle M|N,Q, semblable au triangle donné, puis on ramène le point Q) en faisant tourner le plan autour de xy jusqu'à ce qu'il soit revenu dans sa première position. Le point Q, vient prendre une certaine position

Q, et, en joignant le point Q aux points M' et N, on a la perspective demandée. Nous ne nous arrêtons pas à Iraiter d'autres problèmes de ce genre.

Perspective d'une perpendiculaire à vn plan. — Cherchons la perspective de la perpendiculaire au plan qui est issue du point M'.

La droite demandée doit être une droite du plan du triangle M'm'fJL {Jîg- 52), puisque le plan de ce triangle est perpendicidaire à xy; il contient, en effet, les droites [lM.' etu.m', qui sont perpendiculaires à xy. La droite demandée doit être, en outre, perpendiculaire à la droite M'u.; mais nous avons fait tourner le plan du triangle M' m' \l autour de la droite de front m' ]j- ; l'hypoténuse M' ]j. est venue en M"ja. Dans cette situation, la perpendiculaire, menée dans le plan du triangle à la droite M'^j-, n'est autre que la perpendiculaire M"/ à l'hypoténuse M"ia. Lorsque nous ramenons le plan du triangle dans la position qu'il a dans l'espace, le point de rencontre /, de la perpendiculaire M'/ avec m'[L, ne change pas de position, et la perpendiculaire demandée est IM'. En prolongeant cette perpendiculaire jusqu'au point où elle rencontre la ligne de fuite Pcp du plan du triangle IVI'wi'[a, on a le point de fuite de toutes les perpendiculaires au plan donné.

La construction que nous venons de donner s'appuie sur la détermination du rabattement de M' ijl lorsqu'on a fait tourner le plan du triangle M'm'\i- autour de la droite de front m' p. située dans le plan :ry. Nous pouvons faire la même construction en prenant un autre plan de front que le plan ay. Prenons, par exemple, comme charnière la ligne de fuite du plan donné, en supposant que le plan de front xy soit transporté à l'infini. Le triangle Wm'y. de la construction précédente est remplacé actuellement par le triangle MP;p et le segment m'g par le segment PD, que nous devons porter en PM'", perpendiculairement à P^, L'hypoténuse M'y du triangle M' Pff est maintenant rabattue en M'" tp, et la perpendiculaire au plan est rabattue suivant la perpendiculaire menée du point M'" à la droite W'f. Cette perpendiculaire rencontre Pip en un point / qui est le point de fuite des perpendiculaires au plan; en le joignant au point M', on a la perpendiculaire demandée.

On peut arriver directement à cette construction.

Le point P est le pied de la perpendiculaire abaissée de l'œil O

sur le plan du tableau; la ligne de fui le J du plan donné est la trace sur le plan du tableau du plan mené de l'œil parallèlement au plan donné.

Menons un plan perpendiculaire à cette ligne de fuite ; ce plan est à la fois perpendiculaire au tableau et au plan donné ; sa trace sur le tableau est la perpendiculaire P^ abaissée du point P sur la ligne de fuite du plan donné. Ce plan auxiliaire coupe le plan mené par l'œil parallèlement au plan donné suivant la droite Ocp; dans ce plan auxiliaire, la perpendiculaire au plan donné menée par l'œil est une ligne perpendiculaire à cette droite Ocp. Pour construire cette ligne, faisons tourner le plan auxiliaire autour de la droite Vf tracée sur le plan du tableau. La perpendiculaire qui va de l'œil au point P vient alors se rabattre suivant la ligne PM'", le segment PM'" étant égal à PD, c'est-à-dire à la distance de l'œil au tableau. Nous avons alors le rabattement M'"^ de la ligne Oif. Nous n'avons plus qu'à élever, du point M'", une perpendiculaire à cette droite et à ramener cette ligne en replaçant le plan auxiliaire dans la position qu'il doit occuper. Le point où la perpendiculaire menée du point M"' à M"'y rencontre P<f est le point de fuite/des droites perpendiculaires au plan donné.

Le plan auxiliaire que nous venons d'employer est perpendiculaire au tableau; il renferme deux droites rabattues, l'une en M'"o çt l'autre perpendiculaire à celle-ci en M'"/. Ces droites ont, pour points de fuite, l'une le point cf et l'autre un certain point/ de yP. Bans le triangle <pM"'/, on a la relation Pai X P/= PD . On peut donc dire que, lorsque sur un plan perpendiculaire au plan du tableau on a deux droites perpendiculaires entre elles, le produit des distances de leurs points de fuite au point principal de fuite est égal au carré de la distance principale. Ce résultat est applicable au géométral, puisque ce plan est perpendiculaire au plan du tableau.

Perspective d'une figure vue après réflexion. — Un point, vu par réflexion dans une glace, est vu comme s'il était, par rapport à la glace, le symétrique du point donné. Pour construire ce point symétrique, on applique ce qui précède, puisqu'on doit abaisser du point donné une perpendiculaire sitr le plan.

Dans le cas particulier où la surface réfléchissante est une sur-

face horizontale, par exemple une nappe d'eau, l'image d'un point s'obtient en menant une verticale et en prolongeant cette verticale au-dessous de la surface réfléchissante d'une longueur égale à la distance du point à cette surface; comme on a des segments égaux sur une verticale, ils restent égaux sur le lahlcaa.

Relèvement Au géométral. — Lorsqu'au lieu d'un plan quelconque on considère le géométral, le problème, qui consiste à amener ce plan à être parallèle au tableau, porte le nom de relèvement du géométral. Les constructions, dans ce cas, se simplifient et se réduisent aux tracés que nous allons indiquer.

Soient M {fig- 53) un point du géométral et x^^' la droite de front

Fig. 63.

qui est la charnière. On obtient la perpendiculaire à cette charnière en joignant le point M au point P : cette droite coupe xy au point ^. La longueur de Mja s'obtient en joignant le point M au point D, le segment )i.g est égal à M[jl, à l'échelle du plan de front xy. La droite M[j. est relevée en |j.Mi, perpendiculairement à xy, le point M, étant tel que [iM, soit égal à ^.g.

Toutes les cordes des arcs décrits par les points du géométral sont des droites parallèles à MM, et ont alors pour point de fuite le point S, oh MM, rencontre la perpendiculaire menée du point P à la ligne d'horizon. Ce point S est appelé le point supérieur de distance. Si le géométral toiu'ne autoijr de xy, de façon que le point M vienne en M^ au-dessous de cette droite, la corde MM^ a alors pour point de fuite \c point inférieur de distance.

Une droite MN du géomélral esl relevée en M , N.

C\ievG\ioni\^ relèvement du point dont la perspective est à l'infini sur MN. Joignons le point P au point à relever qui est à l'infini sur MN, c'est-à-dire menons par le point P une parallèle à MN ; cette droite coupe xy au point i. Précédemment, pour le point M, nous avons mené la droite jaM), élevons maintenant une perpendiculaire à xy^ à partir du point i\ nous avons joint le point D au point M, nous devons mener alors par le point D une parallèle Dy à MN et porter à partir du point i une longueur égale à la distance du point i au point j : nous- obtenons ainsi le point I, qui est le relèvement du point de l'espace dont la perspective est à l'infini sur MN. Ce point de l'espace est dans le plan de front qui passe par l'œil. Comme il est alors sur te géométral du même côté que M, par rapport à xy, on doit le placer après le relèvement du même côté que M| par rapport à xy. La longueur (I est égale à PD, d'après cette construction, et alors, quelle que soit la droite MN tracée sur le tableau, pourvu qu'elle soit parallèle à la même direction, on obtient toujours le même point I appartenant au relèvement de toutes ces droites. Ce résultat était à prévoir, puisque les droites tracées sur te géométral et dont les perspectives sont parallèles entre elles sont des droites qui convergent en un même point du plan de front passant par l'œil.

On peut relever te géométral en supposant donnés le point de fuite et le point accidentel correspondant à une dire ctîonarbit rai re, mais alors il faut donner l'angle que fait cette direction avec unC' horizontale de front.

On peut se proposer un grand nombre de problèmes qui exigent le relèvement du géométral. Pour arriver à effectuer rapidement le relèvement du géométral, il est utile de s'exercer en résolvant un certain nombre de ces problèmes. Nous indiquons seulement l'énoncé suivant :

Déterminer sur le géométrallaperspectived' une circonférence décrite sur un segment donné, oblique par rapport au tableau.

Au lieu de prendre le cas particulier du relèvement du géométral, on peut chercher à amener de front un plan vertical. On arrive à des tracés très simples qui constituent la méthode de la corde de l'arc, dont nous nous occuperons dans la Leçon suivante. On doit remarquer que, dans le cas d'un plan quelconque, en se servant du

point |3, on fait déjà usage de cette méthode; mais elle avait cti5 employée jadis dans le cas particulier des plans verticaux. Notia réservons alors, comme on l'avait fait d'abord, le nom de méthode de la corde de l'arc à ce dernier cas seuleEient.