HUITIÈME LEÇON

CONSTRUCTIONS DIRECTES SDR LE TARLEAU (fin)- OMBRES EN PERSPECTIVE.

Perspective d'une figure tracée sar un plan Tertical: méthode de la corde de l'arc. - Perspective d'une voûte d'arêtes. — Ombres eiiperspective. — Ombreportéeparun verticale sur le géomélral. — Ombre portée par une verticale sur un plan oblique

Perspective d'une figure tracée snr un plan vertical : méthode de 1

Gorde de l'arc. — Considérons le cas particulier où le plan qu'oi

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veut amener à être de front est un plan vertical. On donne {fig. o5) les points principaux de fuite et de distance P, D et la trace MM du plan donné sur le géométral. On veut déterminer la perspective

d'une figure tracée sur ce plan et dont on connaît les dimensions géométrales.

Nous pouvons faire tourner le plan vertical donné autour de l'une de ses verticales, de manière à l'amener à être parallèle au plan dit tableau. Après la rotation, nous aurons sur le tableau une figure semblable à la figure donnée. Afin d'obtenir une figure égale à la figure donnée, nous prenons comme cbarnière la droite d'intersection du plan vertical donné avec le plan de front qui contient l'échelle des largeurs.

L'échelle des largeurs rencontre la trace du plan donné au point u. C'est la verticale xy qui passe par ce point |a qui est la charnière.

Cherchons ce que devient un point M après la rotation. Dans le cas particidier actuel, on a tout de suite la droite M \i., qiii est le rayon de la circonférence décrite par le point M, Déterminons la longueur de cette droite. Pour cela, projetons le point M en m sur le plan de front de l'écbelle des largeurs; faisons tourner le géométral autour de m\i. : la droite mM, après le relèvement, est la perpendiculaire mG à l'échelle des largeurs. Joignons le point D au point M de manière à déterminer la longueur de mM, et portons cette longueur à partir du point m jusqu'au point G : G|j. est alors la longueur de M j* à l'échelle du plan de front qui contient l'échelle des largeurs.

Portons le segment ^G depuis le point ^ jusqu'au point M, : le point M| est la position du point M lorsque le plan vertical MN est amené à être de front après avoir tourné autour de xy. La corde de l'arc décrit par le point M est MM, ; cette droite rencontre la ligne d'horizon en un point 3, qui est le point de fuite de toutes les cordes des arcs décrits par les points du plan vertical. Connaissant S, il est facile de déterminer ce que devient un point du plan vertical, et, inversement, on ramène aisément sur ce plan les points du plan de front qui contient l'échelle des largeurs.

Prenons, par exemple, un point N, joignons ce point à 3 par la droite S IV : cette droite rencontre l'échelle des largeurs au point N), qui est la perspective du point N après la rotation du plan vertical.

Traçons sur le plan de front de l'échelle des largeurs, et avec les dljnensions qu'elle a sur l'éiévation qui est donnée, la figure dont

on demande la perspective sur le plan verlical donné. Cette figure étant tracée, il faut la ramener sur le pian verlical MN.

Cherchons ce que devient le point R', de cette figure, qui se projette au point R| sur l'échelle des largeurs. Le point R', ainsi que le point R| décrivent des arcs dont les cordes ont pour perspectives 8R'|, SRf ; cette dernière droite rencontre MN au point R. En menant la verticale qui passe par ce point, on a une droite qui rencontre SR', au point R', qui est la perspective du point R, ramené dans le plan verlical MN.

Pour avoir la tangente au point R', nous n'avons qu'à mener la tangente au point R', ; celte droite rencontre la charnière xy en un point T. Le point T restant, pendant la rotation, à la place qu'il occupe, la tangente qui passe par le point R'est alors la droite R'T.

Il résulte de cette construction que, sur le tableau, la tangente, menée de 8 à la perspective de la courbe tracée sur le plan de front de l'échelle des largeurs, est aussi tangente à la perspective de cette courbe lorsque son plan est revenu dans sa position.

Aux points M et N les tangentes à la courbe cherchée sont verticales.

Proposons-nous de mener à cette cowbe la tangente qui est parallèle à une droite UV donnée sur le tableau.

Traçons sur le tableau des droites parallèles à UV, et parmi ces droites la tangente demandée, on a des lignes qui sont les perspectives de droites convergentes en un même point du plan de front passant par l'œil, si l'on suppose qu'elles sont les perspectives de lignes situées sur le plan vertical MN.

Cherchons ce que devient ie point de convergence de toutes ces droites lorsque le plan vertical MN est amené à être de front. Pour cela, nous n'avons qu'à appliquer la construction précédente au point dont la perspective est à l'infini sur la droite UV. Ce point se projette sur le géométral en «n point dont la perspective est à l'infini sur la droite MN. Menons la droite qui joint le point 3 à ce point à l'infini, c'est-à-dire menons par le point S une parallèle à la droite MN ; le point I, où celte droite rencontre l'échelle deslai-geurs, est la perspective du point où MN perce le plan de front passant par l'œil, lorsque le plan vertical MN est amené de front.

En élevant une verticale à partir du point 1, on a une droite qui doit contenir la perspective du point correspondant au point situé

à l'infini sur UV; mais ce point se trouve sur la droite SI' qui joint le point S au point à l'infini sur UV, c'est-à-dire sur une parallèle à UV : on a donc au point F la perspective du poinl de convergence des droites tracées sur le plan vertical MN, lorsque ce plan est amené à être de front.

Parmi toutes ces droites se trouve la tangente demandée : c'est celle qui est maintenant la tangente menée du point F à la courbe située dans le plan de front de l'échelle des largeurs ; elle rencontre la charnière xy en un certain point, el, en menant de ce point une parallèle à la droite UV, on a la tangente cherchée.

Telles sont les constructions dont l'ensemble est désigné sous le nom de méthode de la corde de l'arc.

Nous pouvons remarquer qu'en exposant cette méthode nous avons trouvé la solution du problème suivant : Etant donnés une direction MN sur le géométral et les points principaux de fuite et de distance, construire le point accidentel correspondant à cette, direction. Le point S est, en effet, le point de distance accidentel correspondant à cette direction MN, puisqu'il est le point de fuite de droites, telles que SM, qui détermine des segments égaux sur MN et sur une horizontale de front.

Perspective d'une voûte d'arêtes. — Nous avons jusqu'à présent traité des problèmes relatifs aux droites et aux plans; nous allons résoudre maintenant un problème relatif aux intersections de surfaces. Nous nous proposons de chercher la perspective d'une voûte que l'on désigne sous [e nom de voûte d'arêtes. Celle dont nous allons nous occuper est formée par la rencontre de deux voûtes appelées berceaux en plein cintre, dont les intrados, c'està-dire les surfaces apparentes de ces voûtes, sont des cylindres de révolution. Les axes de ces cylindres se rencontrent à angle droit et sont situés dans un plan horizontal appelé plan de naissance de la voûte. Puisque les deux cylindres ont leurs axes dans ce plan de naissance et que leurs sections droites ont des rayons égaux, les intersections de ces cylindres sont des courbes planes dont les plans sont verticaux.

AB {fig- 56j) étant la section droite d'un des cylindres, BC la section droite de l'autre cylindre, il est facile de voir que les lignes d'intersection de ces deux cylindres de révolution sout des

courbes planes qui se projetlent suivant les diagonales du carré dont les côt^s sont AB et BC. Ces lignes planes, qui dans l'espace sont des ellipses, reçoivent le nom de lignes d'arêtes de la voûte. Nous 'allons chercher la perspective d'une voûte d'arêtes, en supposant que les génératrices de l'un des cylindres qui forment l'intrados de l'une des voûtes soient des horizontales de front et que les génératrices de l'autre cylindre soient des perpendiculaires au plan du tableau.

Fig. 56.

AB {Jig. 5']) est un segment de front; nous supposons qu'il est la projection sur le géoméiral du diamètre A'B' de la section droite du cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires au tableau. Les génératrices de ce cylindre qui passent par les points A' et B' ont pour perspectives A'P et BP', et les perspectives des projections de ces droites sont AP et BP. Le cylindre, dont les génératrices sont des horizontales de front, a pour section droite, dans le plan vertical PA, une circonférence dont le diamètre, passant par A', a pour perspective A'C, dont la projection est AC, la droite AC ayant été déterminée de façon qu'on ait AC^AB. Achevons la perspective du carré qui a pour côtés AC et AB ; c'est la projection d'un carré dont la perspective est A'B'C'E'.

Dans le plan de front AB, la section droite du cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires au tableau est la circonférence décrite sur A'B' comme diamètre. Dans le plan de front CE, ce même cylindre a pour section droite la circonférence décrite sur CE' comme diamètre. Les lignes d'arêtes se projettent sur le géométral suivant les diagonales AE, BC du carré ABCE; nous sommes amenés à chercher l'intersection du cylindre, qui a pour section droite la circonférence A'B', avec les plans verticaux AE clBC.

yGoosle

Cherchons la perspective de la ligne d'arête «jiii est projetée suivant BC. Coupons le cylindre par un plan horizontal : la trace de ce plan sur le plan de front AB est la parallèle G'L' à A'B', Ce plan rencontre le cylindre suivant deux génératrices qui ont pour perspectives les droites CP et L'P et il rencontre le plan vertical BC suivant la droite qui joint le point où CL' coupe la verticale BB' au point où BC coupe HH'. Celte dernière droite rencontre les génératrices G'P, L'P aux points M', N' de la ligne d'arête.

On peut aussi construire ces points en déterminant les traces sur le plan vertical BC des génératrices CP, L'P. Les projections de ces deux génératrices sur le géométral sont les droites PG et PL ; ces deux dernières lignes rencontrent la ligne BC aux points M et N, qui sont les projections sur le géométral des points de rencontre des génératrices PC, PL' avec le plan vertical BC, Nous avons donc, en menant les verticales MM', NN', tes deux points M'N' de la ligne d'arête,

La tangente en M' est la trace sur le plan de la ligne d'arête du plan tangent au cylindre le long de la génératrice CP. Construisons cette droite. Prenons les traces du plan tangent au cylindre

sont nsi une ;que le

et du plan de la lig-ne d'arête sur le plan de front CE' : ces droites sont la tangente RU et la verticale C'U; elles se coupent en U, et UM' est la tangente en M'.

On peut construire ainsi autant de points qu'on voudra de cette ligne d'arête. En les réunissant, on a une courbe partant du point C tangent! eUeraent à la verticale C'U, arrivant au point M' tangentiellement à UM', puis enfin au point B' tangentiellement à la verticale B'B.

Propos on s -nous de déterminer la tangente à cette courbe qui est parallèle à la ligne d'horizon, c'est-à-dire que nous voulons déterminer sur le tableau la tangente au point le plus élevé de la perspective de la ligne d'arête.

La ligne d'arête étant l'intersection de deux cylindres, considérons-la comme tracée sur le cylindre dont les générati des horizontales de front. Sur ce cylindre, nous avons ai courbe plane, dont le plan ne passe pas par l'œil, pu plan de la courbe est le plan vertical BC. Cette courbe rencontre tangentiellement la ligne de contour apparent du cylindre, qui est ici la trace sur le tableau du plan mené par l'œil tangentiellement à ce cylindre. Mais la ligne de contour apparent du cylindre est une parallèle à la ligne d'horizon : cette ligne de contour apparent est donc la tangente que nous nous proposons de construire. Toutes les b'gnes tracées sur ce cylindre, et qui sont, comme la ligne d'arête, des lignes planes dont les plans ne passent pas par l'œil, ont pour perspectives des courbes tangentes à ta même ligne de contour apparent du cylindre. Parmi ces lignes, il y a la section droite du cylindre, qui est la circonférence décrite sur A'C comme diamètre. Si nous déterminons pour cette circonférence la tangente parallèle à la ligne d'horizon, nous aurons, d'après ce que nous venons de dire, la tangente que nous voulons construire pour la ligne d'arête. Le problème est donc ramené à celui-ci ; Mener, à la perspective de la circonférence verticale décrite sur A'C comme diamètre, une tangente parallèle à V horizon.

Pour cela, nous n'avons qu'à appliquer la construction que nous venons de donner en exposant la méthode de la corde de l'arc. Cette circonférence étant dans le plan vertical AC, nous pouvons consti'uire sa perspective, en faisant tourner son plan autour de la verticale CC. Après îa rotallori, le point A' vient en E', en même

temps que le point A. vient en E, et la corde de l'arc décrit par le point A est la droite AE; le point de rencontre D de AE avec la ligne d'horizon est alors le point de fuite de toutes les cordes des arcs décrits par les points du plan vertical AC; après la rotation, la perspective de la circonférence est la circonférence décrite sur CE' comme diamètre.

Nous avons vu qu'il faut joindre le point D au point dont la perspective est à l'infini sur AC, c'est-à-dire mener par le point D une parallèle à AC. Cette droite rencontre la ligne de front CE au point I; en élevant au point I la verticale II', on a I'. Il suffit de mener par le point I' une tangente à la circonférence CE' : cette droite rencontre la charnière CC au point ï ; la parallèle menée du point T à la ligne d'horizon est la tangente cherchée.

n résulte de cette construction, puisque Dl est parallèle à PA, que CI = PD, et alors la droite PI est parallèle à CB. Par suite, on peut déterminer le point I en traçant la ligne PI parallèlement à la diagonale CB; puis on relève le point I en I' sur la ligne d'horizon, et l'on achève la construction comme nous venons de le

Ces tracés, pour construire dans un plan vertical la tangente parallèle à une droite donnée sur le tableau, reviennent à considérer le cylindre, dont les génératrices ont pour point de fuite le point D, qui contient la circonférence A'C et dont la trace sur le plan vertical CE est la circonférence décrite sur CE' comme diamètre. Au lieu d'employer un pareil cylindre, on peut faire usage du cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires au tableau. On a ainsi, pour le même problème, une deuxième solution que je vais maintenant indiquer.

Nous voulons déterminer sur le plan vertical BC une tangente à la ligne d'arête dont la perspective soit parallèle à HH'. En considérant HH' comme une droite du plan vertical BC, cela revient à chercher la tangente qui passe par le point à l'infini sur cette droite, point dont la projection sur le géométral est à l'infini sur BC. Cherchons les plans tangents au cylindre perpendiculaire au plan du tableau qui sont menés par ce point. Pour cela de ce point à l'infini menons une parallèle aux génératrices de ce cylindre ; la perspective de cette droite est confondue avec la ligne d'horizon et la perspective de sa projection est PI parallèle à CB. La trace de

cette droite sur le plan de la base du cylindre est 1' dont la projection est I. La tangente l'V est la trace de l'un des plans tangents au cylindre sur le plan de sa base. Ce plan tangent touche le cylindre suivant la génératrice PVW. La trace de ce plan langent sur le plaa vertical BC passe par le point T et elle est parallèle à la ligne d'horizon : c'est donc TW; on a ainsi la tangente à la ligne d'arête dont la perspective est parallèle à HH'. Le point W où cette droite est coupée par VW est le point de contact de cette tangente : c'est le point le plus haut de la perspective de la ligne d'arête {').

Remarques. — Nous n'avons pas parlé des piliers que l'on voit sur la figure, parce qu'il est très simple de les déterminer.

Pour la facilité des explicalions , nous n'avons considéré qu'une ligne d'arête ; mais, pour la rapidité des tracés, il est préférable de construire simultanément les deux lignes d'arêtes. ■

Le même plan horizontal CL' permet de construire quatre points. Pour éviter de tracer les circonférences A'B', CE', on emploie ordinairement les circonférences d'entrée et de sortie de la voite perpendiculaire au tableau.

Les tangentes aux quatre points des lignes d'arêtes situés dans le plan horizontal G'L' se rencontrent en un même point S' de la verticale SS'. On détermine le point S' en construisant le point où la verticale SS' est rencontrée par le plan qui touche le long de PM'G' le cylindre perpendiculaire au tableau. On fait usage pour cela de la trace JS' de ce plan tangent sur le plan vertical PSS'.

Nous ne prendrons pas d'autres exemples relatifs aux intersections de surfaces, parce que nous allons avoir l'occasion d'en donner à propos de la détermination des ombres en perspective.

(') Lorsqu'on demande la tangente à la ligne daiète qui donné sur le tableau, on considère ce point comme étant un ] ligne d'arête et l'on applique la solution que nous menons de oii le point est à l'infini sut une direction ttacée sur le tableai

OMBRES EN PEIISPECTIVE.

Lorsque le Soleil éclaire i'objeL dont on recherche les ombres, le Soleil esl supposé à l'infini. Sa perspective est un point audessus de la ligne d'horizon quand il est devant le spectateur; la projection de ce point sur le géométral est un point de la ligne d'horizon.

Lorsque !e Soleil est derrière le spectateur, comme î! est audessus du plan d'horizon, sa perspective est au-dessous de la Hgne

d'horizon, et la perspective de sa projection sur le gcométral est toujoiirs un point de la ligne d'horizon.

Ombre portée par une verticale sur le géométral- — Clicrchons l'ombre portée par la verticale M'M éclairée par an flambeau placé devant le spectateur et derrière le tableau.

Le plan d'ombre de cette verticale a pour trace {fig- 58) la ligne qui joint le point M au point L, perspective de la projection du flambeau sur le géométral. Nous limitons l'ombre portée, qui est un segment de la trace de ce plan d'ombre, à sa rencontre avec L'M' qui joint le flambeau L' au point M'. L'ombre portée esl alors le segment MM,.

Rapprochons le flambeau du géométral jusqu'en L, sur la verticale L'L : l'ombre portée va alors en augmentant.

Lorsque le flambeau est venu au point L'^, de façon que sur le tableau L'^L= M'M, la droite L',M' est alors parallèle à LM, et l'ombre portée est un segment indéfini sur le tableau.

Lorsqiie le flambeau est au point L3, lel que M'L'^ rencontre la ligne d'horizon au point où LM rencontre cette même ligne d'horizon, l'ombre portée a une longueur infinie dans l'espace.

Si nous rapprochons davantage le flambeau jusqu'au point L^, l'ombre portée a toujours une longueur infinie dans l'espace et l'on ne doit pas joindre le flambeau L', au point M' pour avoir une droite qui limite l'ombre portée. Le flambeau ne peut pas donner d'ombre portée située entre lui et le côté opposé au point éclairé ; le point éclairé est M', il est placé sur le rayon lui qui part du flambeau dans une certaine direction, et l'on i pas chercher son ombre portée dans la direction opposée sur ce rayon lumineux.

Examinons encore le même problème lorsque le flambeau est placé derrière le spectateur.

Le flambeau, étant placé derrière le spectateur et au-dessus de

l'horizon, a pour perspective i^fig- Sg) un point L' au-dessous de la ligne d'horizon, et la perspective de sa projection sur le géométral est un point L au-dessus de la ligne d'horizon. Dans ces conditions, l'ombre portée par la verticale M'M s'éloigne du spectateur; donc, en prenant la trace ML du plan d'ombre de la verticale, nous devons chercher l'ombre portée de la verticale sur la portion de celte droite qui, partant du point M, se rapproche de la ligne d'horizon. Nous Umilons cette ombre portée à la rencontre de ML avec la droite qui joint le point M' au point L'; ainsi l'ombre portée est MM, .

Nous pouvons, comme précédemment, rapprocher le flambeau du géométral. Le flambeau venant au point L', , l'ombre portée est MMa, qui est un segment plus long que le segment MM, ; lorsque le flambeau est au point L^, tel que M'L'^ passe par le point de fuite / de la droite ML, l'ombre portée s'étend jusqu'à l'iaiinî,

puisqu'elle est limitée à l'horizon. Si nous prenons un flambeau plus rapproché encore du géomélral, en joignant le point M' au point L'j, nous obtenons le point de rencontre de cette droite avec ML, mais nous ne devons pas prolonger l'ombre portée jusqu'en ce point : l'ombre portée ne pouvant pas dépasser la ligne d'ho-

Lorsque le rayon lumineux est parallèle au plan du tableau, la rechercbe de l'ombre portée par la verticale MM' est très simple : il suffit de mener par le point M une horizontale de front et de prendre le point de rencontre M, de cette droite avec la parallèle au rayon lumineux menée par le point M'; on a alors immédiatement MM|, qui est l'ombre portée sur le géométral par la verticale MM' éclairée par des rayons lumineux parallèles au plan du

Omlire portée par une verticale sur un plan oblique. — Cherchons l'ombre portée par une verticale sur un plan oblique.

La trace du plan donné sur le géométral a pour perspective [fig- 60) la droite EC, et ce plan est limité par cette trace et par une horizontale B'Â', dont le point A' se projette sur le géométral au point A. La verticale dont nous allons chercher l'ombre portée sur ce plan est MM'; le point lumineux est le soleil S', supposé placé derrière le spectateur.

Employons la méthode des projections obliques pour déterminer l'ombre portée par la verticale sur l'horizontale A'B'; cherchons les ombres portées de ces deux lignes sur le géométral. L'ombre portée par la verticale est sur la droite MS ; l'ombre portée par l'horizontale A'B' est une horizontale dont il suffit de construire un point. Pour cela, prenons l'ombre portée par le point A': joignons le

point S au point A, le point A' au point S'; nous oLlenons A,, qui est l'ombre portée par le point A'. L'horizontale FA' a alors pour ombre portée FA).

Celle droite rencontre MS aii point Gi, elen joignant le point Gi au point S' on obtient le point G, qui est l'intersection avec A'B' du rayon lumineux qui rencontre aussi la verticale. En joignant le point G au point I, on obtient une droite IG, qui est la trace sur le plan donné du plan d'ombre de la verticale. L'ombre portée par le point M' est sur le rayon lumineux M'S', et, comme cette droite rencontre la droite IG entre le point I et le point G, le point d'intersection M) est l'ombre portée par le point M' sur le plan donné. L'ombre portée par la verticale MM' se compose donc de Ml sur le géométral et de IM, sur le plan oblique.

On résout de la même manière ce problème :

Déterminer l'ombre portée par un segment de droite sur un plan oblique.