NEUVIEME LEÇON

OMBRES EN PERSPECTIVE (fen). EFFETS DE PERSPECTIVE.

Ombre d'un cylindre posé sur le géométral. — Ombre dans l'intc — Effets de perspective. — Problème inverse de perspcctiv comparées. — Choix du point de vue.

Ombre d'un cylindre posé sur le géométral. — Un cylindre est posé sur le géométral; il est éclairé par fe soleil placé dei'ant le spectateur : on demande les lignes d'ombre sur ce cylindre et son ombre portée sur le géométral.

F (Jig- 61) est le point de fuite des génératrices du cylindre donné, qui est limité à deux plans verticaux parallèles. On donne la trace de ces plans sur le géométral et leur ligne de fuite. La perspective du soleil est au point S',

Pour déterminer la ligne d'ombre sur le cylindre, nous avons à construire des plans tangents au cylindre parallèlement aiix rayons lumineux dont le point de fuite est S'; ces plans tangents, contenant des génératrices du cylindre, ont pour ligne de fuite une droite qui passe par le point F, et, comme ces plans sont parallèles aux rayons lumineux, cette ligne de fuite est la droite FS'. Ces plans tangents rencontrent le plan de l'une des bases du cylindre suivant des tangentes à cette base; ces droites ont poiir point de fuite le point de rencontre de la ligne de fuite des plans tangents avec la ligne de fuite du plan de cette base, c'est-à-dire le point f. On a donc les traces des plans d'ombre sur le plan de la base en menant du point f des tangentes à la courbe de base du cylindre. Appelons A', B' les points de contact de ces tangentes ; les lignes d'ombre passent par ces points de contact, et, comme ce sont des génératrices du cylindre, elles ont pour point de fuite le point F. On obtient donc les lignes d'ombre sur le cylindre en joignant le point F aux points A' et B'.

La ligne d'ombre qui passe par le point A' a pour ombre portée sur le géométral une des droites qui limitent l'ombre portée par le cyliadre sur ce géomëtral; cette droite est la trace, sur le géomérral, du plan d'ombre qui contient FA'. On obtient cette droite en joignant le point F au point a, où la ligne (f A' rencontre la trace Ta du plan de la courbe de base du cylindre sur le géométral. Pour avoir la portion de cette droite qui est utile, nous n'avons qu'à la limiter aux points où elle est rencontrée par les rayons lumineux Fig. 6..

qui passent j a les ^ umt A et A extre nites de la ligne d'ombre sur le CYlindre. Aj , A sont les extrémités de la portion utile de cette droite. De même pour la ligne d'ombre qui passe par le point B'; son ombre portée est limitée au point B'^. Entre le point A', et lé point B,, il y a l'ombre portée par l'arc de courbe A'M'B'.

Construisons un point de cette courbe d'ombre portée et la tangente en ce point.

Prenons, par exemple, le point M' projeté en M sur le géométral. Joignons le point S au point M, le point S' au point M'. Ces deux droites se rencontrent au point M',, qui est l'ombre portée sur le géométral par le point M'.

Pour avoir la tangente en ce point à la courbe d'ombre portée, menons au, point M' la tangente M'T à la courbe de base du cylindre; cette droite rencontre la trace du plan de cette courbe au

lOO PREMIERE PARTIE. — NEUVIEME LEÇOK.

point T; la ligne TM'^ est ]a tangente en M'^ à la courbe d'ombre portée. Celte courbe est, du reste, tangente à la droite menée du point S' tangentiellement à la courbe de base du cylindre ; elle est tangente aussi en A\ et B', aux lignes d'ombre portée que nous veDons de déterminer. Nous pouvons donc tracer cette courbe; nous obtenons de même l'ombre portée à l'autre extrémité du cjlindrc, et nous avons ainsi achevé l'ombre portée sur le géométral.

Ombre dans l'intérieur d'une voûte. — L'intrados de !a voûte est formé par uq cylindre de révolution dont les génératrices sont perpendiculaires au plan du tableau. A'B' (Jlg'. 62) est le diamètre horizontal de la courbe de tête de la voûte; CE' est le diamètre horizontal de la courbe de tête de la voûte située à une distance plus grande du spectateur que la courbe décrite sur A'B' comme diamètre.

Nous prenons un flambeau placé au delà de la voûte, et alors plus éloigné du spectateur que la voûte elle-même. La perspective de ce flambeau est au point L' et la perspective de sa projection sur le géométral est en L; les rayons lumineux éclairent la voûte en entrant par l'ouverture EE'C'C,

La verticale CC a pour ombre portée la trace de son plan d'ombre. Sur le géométral cette trace est CGi ; sur le plan vertical EB, c'est la verticale CiYi. Le point -(, est l'ombre portée par le point y, de la verticale CC, qui se trouve à la rencontre de cette droite avec le rayon lumineux L'yi- On a donc déjà l'ombre portée par la verticale Cy-

Cherchons l'ombre portée à l'intérieur du cylindrepar laligneyC' et l'arc de la courbe de tête du cylindre d'intrados. Parlons d'abord de l'ombre portée par l'arc de cette courbe de tête qui part du point C. Cette courbe donne heu à un cône d'ombre dont le sommet est au point L', et son ombre portée dans l'intérieur de la voûte est l'intersection de ce cône avec l'intrados de la voûte. Nous sommes ainsi conduits à chercher l'intersection d'un cône et d'un cylindre qu'on peut considérer comme ayant pour base commune la demi-circonférence de cercle décrite sur CE' comme diamètre.

Avant d'effectuer les tracés, nous allons d'abord démontrer^ que cette courbe d'ombre portée est une ligne plane, et, comme il s'agit

ici d'un cône et d'un cylindre du second degré, nous allons faire voir d'une manière générale que, lorsque deux surfaces du second degré se coupent suivant une ligne plane, la portion restante de leur intersection est une ligne plane.

Cette propriété, relative à l'intersection de deux surfaces du second degré, s'énonce souvent ainsi :

Lorsque la courbe d'entrée est plane, la courbe de sortie l'est aussi.

Pour construire des points appartenant à la ligne d'intersection de deux surfaces du second degré, on coupe ces surfaces par un plan. Ce plan rencontre chacune des surfaces suivant une conique ; les points de rencontre de ces coniques appartiennent à la ligne d'intersection cherchée. Ces points sont au nombre de quatre : on voit donc que la ligne d'intersection des deux surfaces rencontre en général un plan en quatre points.

Puisque nous supposons que les deux surfaces se coupent déjà suivant une ligne plane, qui rencontre alors le plan'sécant en deux points, nous voyons que la partie restante de l'intersection rencontre ce plan en deux points seulement. Cette partie restante

n'est pas alors une courbe gauche, elle est donc ou une conique ou l'ensemble de deux droites.

Pour faire voir que celle partie restante n'est pas l'ensemble de deux droites, nous allons prouver que, si deux sur/aces du second degré se coupent suivant deux droites, qui ne se rencontrent pas, la partie restante se compose aussi de deux droites. Quand nous aurons démontré cette propriété, nous aurons bien fait voir que les deux surfaces, se coupant suivant une ligne plane, ne peuvent pas se couper en outre suivant deux droites, car il s'ensuivrait, si nous supposions qu'elles se coupent suivant deux droites, que la première partie de l'intersection se composait de deux droites, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Soient A et B des droites qui ne se rencontrent pas el qui sont les intersections de deux surfaces du second degré. Prenons un point M de la partie restante de l'intersection des deux surfaces; par ce point, menons une droite M«& qui rencontre A et B. Il n'y a ainsi qu'une droite, et il y en a toujours une seule. La droite Maô rencontre chacune des surfaces au point M par hypothèse, puis aux points a et 6, où elle rencontre A et B; elle a donc avec chacune des surfaces trois points communs ; donc elle est tout entière sur chacune des surfaces et elle fait partie de leur intersection. Nous pouvons prendre maintenant un autre point de la partie restante el reproduire le même raisonnement. Nous voyons ainsi que les deux surfaces, se coupant déjà suivant les droites A et B, se coupent en outre suivant deux autres droites, et, d'après la remarque faite précédemment, puisque nous supposons que les deux, surfaces du second degré se coupent suivant une ligne plane, la partie restante est donc plane aussi.

Revenons au problème d'ombre.

Nous avons à déterminer l'intersection d'un cône dont le sommet est L' {Jig. 62) avec un cylindre dont les génératrices ont pour point de fuite le point P. Par le sommet du cône, menons une droite parallèle aux génératrices du cylindre; saperspectiveesl PL', et la perspective de sa projection est PL. Cette droite rencontre le plan de la base du cône et du cylindre au point F,

Par la droite PI' faisons passer des plans auxiliaires ; l'un de ces plans a pour trace, sur le plan de la hase, une droite l'M'N' menée du point I'. Ce plan sécant auxiliaire coupe le cylindre suivant

OMBRES EN PEnSlTCTlVI!. 1 o3

deux généraLrices qui ont pour perspectives PM', PN'. lî coupe le cône suivant deux génératrices qui ont pour perspectives L'M', L'N'. Les points de rencontre M,, N, de ces génératrices du cône et du cylindre appartiennent à l'intersection de ces surfaces. Le point M, est seul utile au point de vue de la question d'ombre, il est au delà du point M' par rapport au point lumineux : il est l'ombre portée par le point M' dans l'intérieur du cjlindre ; tandis que le point N, est placé entre le flambeau et le point N' et n'est pas l'ombre portée par ce point N'.

Pour avoir la tangente au point M, à la ligne d'ombre portée dans l'intérieur du cylindre, nous n'avons qu'à chercber l'inlersection du plan langent au cône le long de la génératrice L'M' avec le plan langent au cylindre le long de la génératrice PN'. Ces plans tangents onl pour traces, sur le plan de la base du cône et du cylindre, les tangentes à cette courbe de base aux points M' et N'; ces deux droites se coupent au point T, et la ligne TM, est la tangente à la ligne d'ombre portée.

Si nous prenons comme plan auxiliaire celui qui a pour trace sur le plan de la base la tangente menée dn point F à cette courbe de base, nous obtenons le point de contact G, qui est le point de rencontre de cette courbe avec la ligne d'ombre portée dans l'intérieur du cylindre.

Nous ne pouvons pas déterminer la tangente au point G à cette ligne d'ombre portée par l'intersection des plans tangents, puisqu'en ce point le cône et le cylindre ont le même pian tangent : c'est le plan déterminé par la ligne GI' et par la droite l'P.

Pour construire la tangente au point G à la ligne d'ombre portée, nous n'avons qu'à prendre sur ce plan tangent commun au cylindre et au cône la trace du plan de la courbe d'ombre portée. Le plan de la courbe d'ombre portée rencontre suivant la droite M|N| le plan aiixiliaire employé précédemment; le plan de la courbe d'ombre portée rencontre donc la droite PI' au point R, où la ligne MiNj rencontre cette droite. Mais le point R est un point du plan tangent commun au cône et au cylindre ; il en est de même du point G; donc la droite RG est la trace du plan de !;i courbe d'ombre portée sur le plan tangent en G au cône et au cybndre ; c'est donc la tangente chercliée.

Nous pouvons maintenant tracer la courbe qui part du point G

[angentiellement àla droite que nous venons de construire, qui arrive en M) tangentiellement à TM, et enfin au point ^i ta ngen lie lie ment àyiCi-La courbe d'ombre portée que nous traçons ainsi d'une façon continue entre le point M) et le point y, s'obtient de la même manière, qu'il s'agisse de points provenant de l'arc C E' ou de points provenant de la droite C'y-

On voit bien maintenant quelle est la partie éclairée, et l'on peut indiquer par des hachures le contour de l'ombre portée.

Nous avons terminé ici ce qui est relatif à la rechercbe de la perspective d'un ensemble accompagne des ombres.