FIN

COCRBES PLANES. - GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE.

Courbes planes, — Rappel de liéfinilïons et de résultats. — Courbe d'erreur. — Géométrie cinématique. — Définition et conventions. — Déplacement fini d'une ligure plane sur son plan. — Déplacement infiniment petit d'une figure plane, centre instantané de rotation. — Déplacement d'une figure de l'espace parallèle-

Rappel de définitions et de résultats ('). — Une courbe plane est le lieu des positions d'un point mobile qui ne se déplace pas en ligue droite cl qui reste dans un même plan. Pour une position du point mobile, la direciion du déplacement est ceile de la tangente à la courbe.

La perpendiculaire à une tangente issue du point de contact de cette droite est une normale à la courbe. Le plan perpendiculaire à une tangente, mené du point de contact de cette droite, est le plan normal à la courbe, h'aiigle de contingence en un point d'une courbe est l'angle que la tangente en ce point à la courbe fait avec la tangente à la courbe au point infiniment voisin de celui-ci.

Le cercle osculateur en un point m d'une courbe est la circonférence tangente à la courbe au point m et qui passe par le point de la courbe infiniment voisin de m, ou encore on peut dire que le cercle osculateur est un cercle qui possède avec la courbe trois

( ') Éléments de Calcul infinitésimal, par Dl-u.ijiel.

[54 SliCONDG P.IBTIE. — TREIZIÈME LEÇON.

points iofitlîmenL voisins communs. IJ résulte de là que le cercle osculateur traverse généralement la courbe. Dans le voisinage du point pour lequel on considère le cercle oscillateur, la courbe partage le plan en deux régions; on ne peut pas passer d'une région à l'autre en coupant la courbe, si ce n'est en la coupant un nombre impair de fois, et réciproquement; par conséquent, le cercle osculateur traverse la courbe, puisqu'il la rencontre en trois points.

Il peut arriver, dans certains cas, que le cercle osculateur rencontre la courbe en plus de trois points ; c'est ce qui a lieu, par exemple, aux points où la courbe est rencontrée par un axe de symétrie. En ces points, le cercle oscillateur et la courbe ont au moins quatre points communs. Lorsque le cercle osculateur a avec la courbe quatre points infiniment voisins communs, il ne traverse pas la courbe. Les points pour lesquels cette circonstance se présente sont appelés sommets.

En un point d'une courbe, le cercle osculateur peut se réduire à ime droite; on a alors ce qu'on appelle un point d'inflexion. En ce point d'inflexion, la courbe et sa tangente ont trois points infiniment voisins communs.

La courbure d'une courbe en un point est égale à l'angle de contingence eu ce point divisé par l'arc infiniment petit qui se termine au point de contact des tangentes comprenant cet angle.

L'inverse de celte courbure est le rajon d'une circonférence qui a même courbure que la courbe donnée.

Si l'on place cette circonférence tangentiellement à la courbe au point m, elle prend le nom de cercle de courbure et se confond avec le cercle osculateur en m. Le rayon de cette circonférence qui aboutit au point m est le rayon de courbure de la courbe en ce point m; le centre de cette circonférence est le centre de courbure de la courbe pour ce point m; ce centre de courbure est le point de rencontre de deux normales infiniment voisines (').

En un sommet, le rayon de courbure est maximum ou minimum ; au point d'inflexion, défini comme prcccdcmment, le rayon de courbure est infini.

Si les points d'une courbe M sont les points d'intersection de

rappeler

courbes infiniment voisines aj^partenanl à une même série, la courbe M a, avec chacune de ces courbes, deux points infiniment voisins communs, c'est-à-dire qu'elle leur est tangente. La courbe M est Venveloppe de ces courbes infiniment voisines, et celîcs-ci prennent le nom à'' enveloppées de M.

Une courbe est l'enveloppe de ses tangenlcs.

Faisant usage de ce mot enveloppe, on peut dire que l'ombre portée par une surface est l'enveloppe des ombres portées par ses génératrices. Ainsi, lorsque, dans la première Leçon, nous avons cherché l'ombre portée par une surface de révolution sur un plan horizontal, nous l'avons déterminée en traçant des lignes tangentes aux ombres portées par les parallèles de la surface; ces lignes d'ombre portée sont les enveloppes des ombres portées par les parallèles, supposés infiniment voisins.

De même, la ligne de perspective ou de contour apparent d'une surface est l'enveloppe des perspectives des génératrices de cette surface. Lorsque, par exemple, nous avons considéré en perspective cavalière les sections faites dans une sphère par des plans de front, nous avons eu une suite de circonférences de front dont les perspectives étaient des circonférences de cercle; l'enveloppe de ces circonférences, supposées infiniment voisines, est la courbe perspective cavalière de la sphère.

Courbe d'erreur. — Lorsqu'une courbe est tracée et qu'on ne connaît pas sa définition géométrique, on a ce qu'on appelle une

courbe graphique. Proposons-nous de construire pour une pareille courbe la tangente au point m {fig- 96). Du point 1 centre décrivons un arc de cercle; du point m menons ui

qui rencontre la courbe donnée au point a; portons, à partir dn point où ta droite ma rencontre la circonférence et dans le sens de ma, un segment égal à ma : nous obtenons le point a'. Menons une autre sécante qui rencontre la courbe an point b ; construisons de même le point b', puis une troisième sécante qni rencontre la courbe au point c à l'aide duquel nous déterminons le point c', et ainsi de suite. Les points a', b', c' sont reliés par une courbe qu'on appelle courbe d'erreur. Cette courbe rencontre la circonférence de cercle en un point : c'est le point pour lequel on a une sécante qui rencontre la courbe en un point à une distance nulle du point m : c'est la tangente en m.

GÈOMÉTIilE CINÉMATIQUE.

Définition et conventions, — Nous allons nous occuper des lignes décrites pendant le déplacement d'une figure plane qui glisse sur son plan. Nous commençons par là l'étude d'une branche de la Géométrie, que j'appelle Géométrie cinématique {^).

La Cinématique a pour objet l'étude du mouvement indépendamment des forces; la Géométrie cinématique a pour objet l'étude du mouvement indépendamment des forces et du temps, c'est-à-dire qu'elle a pour objet l'étude des déplacements. Nous réservons l'expression de déplacement pour un mouvement dans lequel on ne considère pas la vitesse (^).

C) Ce-.! je cruia le sa^int tjudateur des I\ou<,eUes Annales de Mathématiques, O TcaacEu qui, en ibSg djn? un article de ion intéressant Recueil, a, le premier, fait naage de cette ekpresaion Depuis elle a été employée en Allemagne. Le professeur Abo\uold a publié en 187 un Mémoire relatif au déplacement plan, inljlulé Rtnematische MitUteilungen Gruiidzûge der kineinatischen Géométrie

Los titres des Mémoiies suivants renferment des expressions analogues : JÎ!nematisck geometi esche Unteisuchungen der Bewegung àhnlich veràiiderlicher ebener Système, parL. Bdbuebteii (1874)1 6' Xinematisch-geometrische Théorie der Besckleunigimg fiir die ebeiie Bewegung, par T. Rittershaes, etc.

(') a II semble d'abord que, quand on a dit que la Mécanique est la réunion de toutes les vérités relatives aux mouvements ou aux forces considérées en général, on a sufjisamment distingué cette science de toutes les autres. Mais on pourrait objecter que, dans la Géométrie, et surtout dans la théorie des lignes

Les propriétés géométriques relatives aus déplacements des figures, intéressantes en elles-mêmes, sont utiles en Mécanique; employées en Géométrie comme on emploie les différenlialions en Analyse, elles permettent d'arriver à des propriétés géométriques concernant des figures immobiles.

Pour l'exposition des propriétés relatives aux déplacements, nous adoptons les notations suivantes. Les points sont marqués par de petites lettres; les lignes décrites par ces points, c'està-dire leurs trajectoires, sont indiquées par les lettres qui indiquent ces points placées entre parenthèses : ainsi le point a décrit la trajectoire (a). Les lignes sont indiquées par de grandes lettres ; les surfaces engendrées par ces lignes sont indiquées par les lettres, qui indiquent ces lignes, mises entre parenthèses : ainsi la ligne A engendre la surface (A).

Si l'on considère pour un point la surface sur laquelle il se déplace et que j'appelle sur/ace trajectoire du point, il faut avoir soin de distinguer cette surface de la surface engendrée par une ligne; nous l'indiquons par une lettre entre crochets ; ainsi le point a a pour surface trajectoire [a].

Déplacement fini d'une figure plane sur son plan. — Étant données sur un plan deux figures égales, telles que l'on puisse amener l'une à coïncider avec l'autre par glissement sur le plan, on peut obtenir cette coïncidence par une simple rotation (' ),

Le quadrilatère abcd {fig- 97) est égal au quadrilatère a'b'e'd',

et des surfaces, on définit ces lignes et ces surfaces en déterminant le déplacemept du point ou de la l'niic qu' les d' ri et q e déphcen eut est déjà un mouvement. La réponse que je fera d ce te object on c est qu I n y aréellement inoucement nue quand 1 dee lu tenp9 peu lant lequel a 1 eu le déplacement étant jointe à celle du déflacc nent 1 1 m me 1 en ésulte la not on de la vitesse plus ou moins grande are Idq elle 1 opeie cons deration tout d fait étrangère â la Géométrie, qui U t le cara tere p opre ie la Mucan que et la distingue à cet égard de la Géométr e (AmpEkc Ess isu l Pk losopJ e des Sciences, p. 63.) {') Ce théorème, les théorèmes suivants et la méthode des normales qui en résulte sont dus à CaiSLEs. (Voir, dans le Bulletin de la Société mathématique de France, 1878, le Mémoire qui a été présenté à la Société phiSoraalliique le 1 1 août 1829, et qui a pour titre : Mémoire de Géome'trie sur la construction des normales à plusieurs courbes mécaniques, par Chasles, et, du même illustre géomètre, ^jserf M historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie, p. 548; 1837.)

l5S SECONDE PABTi:;. — TRBIIIBIIE LEÇON.

el nous supposons que, lorsque le côLé ab coïncide avec a'b', les deux quadrilatères coÏQcident. Dans ces circonsLances, nous allons montrer qu'il existe un point du plan autour duquel on peut faire tourner abcd de manière à l'amener à coïncider avec a' b'c' d'.

Joignons le point a au point a', et élevons ime perpendiculaire sur le milieu de la droite aa'. Joignons le point b au point b', et élevons une perpendiculaire sur le milieu de la droite bb'. Ces deux perpendiculaires se rencontrent en un point o; nous allons montrer que ce point o est le centre de rotation qui répond à la question.

Il résulte de la construction de ce point que ao = a' o et bo = b' o. Les deux triangles abo, a'b' o sont alors égaux comme ayant leurs

Fis- !n-

trois côtés égaux chacun à chacun; l'angle aob est donc égala l'angle a'ofe', et, par suite, l'angle aoa' est égal à l'angle èoè'. En faisant tourner la figure autour du point o de manière que le point a vienne en a', alors le point h vient en b' , et, par suite, les deux quadrilatères coïncident.

Nous avons considéré deux quadrilatères, mais il est bien clair que l'on peut prendre une figure quelconque ; les points de la première figure viendront coïncider, après la rotation autour du point o, avec les points correspondants de la deuxième figure.

Ce que nous venons d'expliquer pour un déplacement fini est vrai pour un déplacement infiniment petit.

Déplacament infiniment petit d'nne flgnre plane, centre instantané de rotation. — Dans le cas d'un déplacement infiniment petit, lu point 0 prend le nom de centre instantané de rotation, et les droites, telles que aa' , bb', cc\ . . . sont des tangentes aux lignes décrites par les points de la figure mobile. Les perpendiculaires

GÉOIIÉTRIE CISKJl.lTigUZÏ. l5g

élevées sur les milieux de ces droites sont des normales à ces trajecloires, et l'on voit ainsi que :

Pour un déplacement infiniment petit d'une fi-gure sur son plan, les normales aux trajectoires des points de cette figure passent par un même point gui est le centre instantané de rotation, et, si l'on ne parle pas d'un déplacement infiniment petit, on peut dire : Pour une position quelconque d'une figure plane que l'on déplace d'une manière continue sur son plan, les normales, issues des points de la figure, aux trajectoires de ces points passent par un même point.

Il suffit de donner les trajectoires de deux points de la ligure mobile pour connaître tout ce qui est relatif au déplacement de cotte figure. Si, par exemple (fig- g8), la droite ah, de grandeur

invariable, se déplace de façon que le point a reste sur sa trajectoire (a), le point b sur sa trajectoire {(?), le centre instantané de rotation est le point de rencontre des normales issues des points a et b aux trajectoires (a), (6); la normale à la courbe décrite par un point m entraîné par le déplacement de ab, c'est-à-dire lié invariablement à ab, est alors, d'après ce que nous venons de dire, la droite mo, qui joint le point m au centre instantané o.

Du point o abaissons sur la droite ab la perpendiculaire oe; la tangente à la trajectoire du point e est la droite ab elle-même. En vertu de la rotation infiniment petite autour du point o, le point e se déplace alors sur ab; il est donc l'intersection de ab avec ce segment arrivé dans sa position infiniment voisine ; il appartient, par suite, à la courbe enveloppe de ab. On détermine donc le point où la droite ab touche son eni>eloppe en projetant sur cette droite le centre instantané de rotation.

Le même raisonnement s'applique à une courbe entraînée en même temps que ab, et l'on voit que le point où cette courbe

louche son enveloppe est le pied de la normale qui lui est abaissée du centre instantané de rotation.

Oéplâcemant d'une figure de l'espace parallèlement à un plan. — Ce que nous venons de dire pour une figure plane <jni glisse sur son plan s'clend, dans l'espace, au cas d'une figure qui se déplace parallèlement à un plan, avec celte différence, qu'au lieu d'un centre instantané de rotation, on a un axe instantané de rotation perpendiculaire à ce plan. Ceci est applicable à un segment de droite qui se déplace dans l'espace; les différents points de ce segment décrivent des trajectoires, et les tangentes à ces trajectoires issues des points de la droite sont parallèles à un même plan, comme il est facile de le voir en considérant d'abord un déplacement fini. Le déplacement infiniment petit d'un segment de droite dans l'espace peut donc s'obtenir au moyen d'une rotation autour d'une droite, et l'on peut alors énoncer cette propriété : Les plans normaux aux trajectoires de tous les points d'une droite se coupent suivant une même droite (' ).

(') Cn.isLEs a énonce ce thcorème, ainsi que beaucoup d'autres, dans un très beau travail inséré, en 1 843, dans les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, et intitulé Propriétés géométriques relatives au mouvement iiifiiiim,ent petit d'un corps solide libre dans l'espace.

Dans le même Recueil, en 1860 et 1861, Ch.isles a publié aussi Propriétés relatives au déplacement fini quelconque, dans l'espace, d'une figure de forme invariable. Ce Mémoire est suivi d'une intéressante Notice historique sur la question du déplacement d'une figure de /orme invariable, k laquelle je renvoie le lecteur.

Aux noms qui figurent dans cette Notice on peut ajouter ceux de : A. Bohdosi, C.-J. GiuLio, G. Bellivitis, D. Tuhiizzi, SoMorii, A Caïley, LIGUl^E, NicouiBês,

HabICU, H.ITON DE LiV GoOPELLIÊDE, JoRlllN, BrISSE, DaRBDUK, d'OcACNE, A, ScnUUADH,

Dewdlf, Laisasi, SunoEsFLiES, VanÊÎëk et quelques auties quej'aui dltr pl„, loin.