QUATORZIÈME LEÇON

GIÏOMÉTRIE CINÉMATIQUE (suite).

Diiplacementconlinu d'une figure piane sur son plan. — Développante, développée. — Développanle d'une courbe sans point singulier, ou avec point singulier. — Développantes de la développée d'une ellipse. — Déplacement sur son plan d'une figure de grandeur variable, — Droite mobile de grandeur variable. — Construction du centre de courbure d'une ellipse.

Déplacement contittu d'une figure plane sur son plan, — Nous avons vu que le déplacement inJiniment petil d'une figure plane sur son plan est une rotation infiniment petite autour d'un point qu'on appelle centre instantané de rotation. Considcrons maintenant le déplacement continu d'une figure plane sur son plan,

fis- 3a-

Pour les diverses positions de la figure mobile on a {fig- 99)1 sur le plan fixe, une suite de centres instantanés de rotation c, C), C2, ..-; sur le plan de la figure mobile, on a les points </, c", .,.,qui deviennent successivement ces centres de rotation. Les points c, Ci , Cj, . . . appartiennent à une courbe F qui est sur le plan fixe ; les points (/,«", ... sont sur une courbe M tracée sur le plan de la figure mobile. Les courbes F et M ont en commun le point C, qui est le centre instantané de rotation pour la position de la figure que nous considérons, Les deux courbes F e^ M sont tangentes entre elles au point c\ car l'angle compris entre leurs tangentes

iGa siîcoNDE PinirE. — quatorzibhe leçon.

au point c esl infiniment petit, puisque c'est de cet angle qu'il faut faire tourner !a figure mobile pour amener d à coïncider avec C\. On a donc «ne courbe M qui, dans chacune de ses positions, est tangente à F, et dont les différents points viennent coïncider successivement avec les points de la courbeF; en oulre, chacun des points de M ne reste en coïncidence qu'avec un seul point de F. La courbe M roule alors sur la courbe F sans glissement, et l'on voit ainsi que le déplacement continu d'une figure plane sur son plan peut être obtenu en considérant sur le plan de la figure mobile une certaine courbe qui roule sans glisser sur une courbe du plan fixe.

Le roulement d'une courbe sur une autre est appelé déplacement ^icj'c/ojt/af/ on peut dire alors que le déplacement continu d' une figure plane sur son plan est un déplacement épicycloïdal .

La trajectoire (m) d'un point m prend le nom particulier de roulette. La courbe F porte le nom de base de la roulette.

En se reportant à ce que nous avons dit précédemment, on voit que la normale à la roulette décrite par le point m, lorsque ce point occupe sur cette courbe une position à laquelle correspond le centre instantané c (qui est le point de contact de F et de M), c'est la droite me.

Si la courbe F et la courbe M sont des circonférences de cercle, un point de la circonférence M décrit une roulette qu'on appelle épicycloide. Un point du plan de cette circonférence M, situé à l'intérieur de celte courbe, décrit une épicycloïde qu'on appelle raccourcie, et iin point, au dehors de la circonférence M, décrit une épicycloïde allongée.

Dans le cas oii la courbe fixe est réduite à une droite, la courbe mobile étant toujours une circonférence M, on a, pour un point du plan de cette circonférence entraîné pendant le roulement de cette courbe sur la droite fixe, ime cycloïde, ou une cycloïde raccourcie, ou une cycloïde allongée, selon que le point est sur M, en dedans ou en dehors de M.

Prenons un exemple de figure mobile, et cherchons la ligne fixe et la ligne mobile à l'aide desquelles on obtient le déplacement de la figure de grandeur invariable par le roulement d'une courbe sur

Supposons que la figure de forme invariable soit {fig. loo) un

segmenL de droite ab de grandeur invariable : le point a décrit la ligne droite («), le point b décrit la ligne droite ( b). Dans la position qu'occupe la droite ab, le centre instantané s'obtient en menant, des points a et b, des perpendiculaires aux lignes décrites par ces points; ces droites se coupent en un point c qui est le centre instantané de rotation. L'angle acb est le supplémentaire de l'angle en o formé parles deux droites (a) et (6); par conséquent, sur le plan de la figure mobile, le point c appartient au segment

capable de l'angle acb décrit sur la droite ab ; il est sur la circonférence oacb^ qui est alors la courbe M.

Le diamètre oc de cette circonférence étant de grandeur constante, le Heu des points tels que c est, sur le plan fixe, la circonférence décrite du point o comme centre avec oc pour rayon ; cette circonférence est la courbe fixe F; on voit qu'elle est tangente eue à la circonférence oacb. Ainsi, la circonférence dont le centre est au point o est la ligne JixeY et la circonférence oacb est la ligne mobile M.

D'après ce qiiiprécède, la circonférence Mroule sans glisser dans l'intérieiu' de la circonférence F, le point a décrit le diamètre oa, le point b décrit le diamètre ob; de même un point quelconque de la circonférence M décrit un diamètre de la circonférence fixe F.

De là on peut conclure la nature de la courbe décrite par un point quelconque m du plan de la circonférence mobile. Joignons le point m au point i, centre de M; ce diamètre rencontre la cir-

conférence M aux points e, g. Pendant le roulement de M, le point e se déplace sur le diamètre oe, le point ^ sur le diamètre og; le point m décrit donc une courbe qu'on peut considérer comme engendrée par un point d'une droite ge de grandeur invariable dont les extrémités e, g décrivent les côtés d'un angle droit. Le point m décrit donc une ellipse dont les axes coïncident avec oe et og, et dont les longueurs des demi-axes sont me, ing.

Ceci permet de retrouver la construction donnée précédemment (p. ii8) pour obtenir les axes d'une ellipse, connaissant deux diamètres conjugués. La normale en m à l'ellipse décrite par ce point est la droite cm, qui passe par le centre instantané c; cette droite rencontre la circonférence M en un point d, et, comme od est perpendiculaire à cm, od est une parallèle à la tangente en m à l'ellipse, c'est-à-dire que od est le diamètre dont la direction est conjuguée du diamètre om.

Pour avoir la longueur de ce diamètre conjugxié de om, considérons le point m comme un point de la droite cd. Pendant le roulement de M, celte corde, qui est de grandeur invariable, se déplace dans l'angle cod ; le point c glisse sur la droite oc et le point d décrit la droite od. Lorsque le point c est venu au point o, le point /«est venu sur la droite od ea un point n, tel que on=^ cm; le point n ainsi obtenu est l'extrémité du diamètre conjugué du diamètre om.

D'après cela, on procède de la façon suivante pour construire les axes d'une elbpse, connaissant les diamètres conjugués om et on : Du poini m on abaisse une perpendiculaire sur on; on porte sur cette perpendiculaire, à partir du point m, une longueur mc^ on; on Joint le point o au point c, et l'on décrit sur cette droite une circonférence de cercle. On Joint le point m au centre de cette circonférence par une droite qui la rencontre aux points e, g; les droites oe, og sont les axes de l'ellipse, et les segments me, mg sont les longueurs des demi-axes de cette courbe ('). On voit facilement que le segment porté à partir du

(') C'est en 1807, dans les Nouvelles Annales de Matkématiguea, p. 188, que j'ai donné pour ia première fois cette construclioo. Depuis, daua le même Recueil (1878), j'ai montré comment on en déduit la construction, bien connue, due à Chaelee.

point m pour obtenir le point c peut être porté dans l'autre sens: la construction s'achève toujours de la même manière.

Enveloppe d'un diamètre d'une circonférenceW qui roule sur une circonférence F. — Le point de contact c de ces deux circonférences {Jig. toi) étant le centre instantané de rotation, on a le point où ce diamètre touche son enveloppe en prenant le pied e de la perpendiculaire abaissée du point c sur ce diamètre. Le lieu des points analogues au point e est alors la courbe enveloppe du diamètre ab. On peut considérer le point e comme un point de la circonférence (i) tangente en c à M et dont le rayon est moitié du rayon de M; ce point e est tel, que pendant le roulement de (i)

à l'intérieur de M il décrit le diamètre ab. On a l'arc ec de la circonférence (i) qui est égal à l'arc ac de M. Prenons l'arc oc égal à l'arc ac; on peut considérer (i) comme tangente d'abord en son point e à F en o. Lorsque cette circonférence (i) roule sans glisser sur F et vient toucher cette courbe en c, la roulette décrite à partir de o vient en c tangenlieUement à ab. Cela est vrai, quelle que soit la position de M : donc, le lieu des points tels que e, c'est-à-dire l'enveloppe de ab, est l'épicyclolde engendrée par ce point lorscjue la circonférence (i) roule sur la circonférence F.

On démontre de la même manière que, si une circonférence (a) roule- à l'intérieur de M, un point e' de cette courbe engendre une épicycloïde E et que l'enveloppe de cette courbe, entraînée en même temps que M, n'est autre que l'épicycloïde engendrée par le point e' de la circonférence (a) qui roule sur la circonférence F.

Développante, développée. — Prenons comme courbe fixe une

courLe quelconque et comme ligne mobile une tangente à cette courbe.

Pendant le roulement de cette tangente, chacun de ses points décrit une courbe; ces courbes reneontrent à angle droit les diverses positions de cette tangente : ce sont donc tes trajectoires orthogonales des tangentes de la courbe fixe. Elles ont pour normales communes ces tangentes, et, comme elles interceptent sur ces droites des segments égaux, ce sont des courbes parallèles. Toutes ces courbes, trajectoires orthogonales des tangentes de la courbe fixe, portent le nom de développantes de cette courbe, et, par rapport à ces courbes, la courbe fixe porte le nom de développée ( ' ).

La développée d'une courbe est l'enveloppe des normales à la courbe, et, comme nous avons rappelé que le point de rencontre de deux normales à une courbe, qui sont infiniment voisines, est un centre de courbure de cette courbe, nous pouvons dire que la développée d'une courbe est aussi le lieu des centres de courbure de cette courbe.

Une courbe n'a qu'une développée; elle a une infinité de développantes.

Développante d'une courbe sans point singulier, ou avec point singulier {-). — Traçons une développante d'une courbe fermée.

Considérons (yfg'. i02)les tangentes qui touchent cette courbeaux points I, a, 3, — En prenant la trajectoire orthogonale de ces tan-

(') Hui(.Fis Horolugtum nscillat iium et De lineai-um curvamm evolutione et dimenswiie

(') Parn les i'poiiclir' qu 5C =int n iipés des points siûsuliers, je citerai ; MM. CiTLci Quiiteilj. J( mal t \ II oe li, Gonu^iEsiE, Journal de Mathéma-

gentea à partir du poinl m, on a pour développante une branche qi s'étend à l'infini. Si l'on prend les tangentes aux points i', 2', 3', . sur la courbe dans le sens opposé à celui d'abord considéré, on a, à partir du point m, l'autre branche de la développante, qui s'étend aussi à l'infini. On a au point m un point poiir lequel les deux branches de la développante sont tangentes à la normale en m à la courbe fixe. Le point m est donc sur la développante un point de rebroitssement de première espèce, et l'on voit que la développante rencontre la courbe fixe en un point de rebroussement de première espèce. No\is supposons évidemment que le point m eslun point ordinaire sur la courbe fixe.

Lorsque les deux branches d'une courbe sont tangentes à une même droite et situées d'un même côté de cette droite, on a un point de rebroussement de deuxième espèce. On rencontre un pareil point en cherchant la développante d'une courbe qui présente un point d'inflexion.

Si l'on prend la développante qui pari d'un point m {fig. io3)

d'une courbe qui présente un point d'inflexion au point i, on a, à partir du point m, la trajectoire orthogonale des tangentes dont les points de contact sont les points de l'arc mi', cette courbe rencontre en r la tangente au point d'inflexion, et, à partir de ce point, il y a une branche do courbe trajectoire orthogonale des tangentes dont les points de contact sont sur le prolongement de l'arc mi. La développante présente au point r un point de rebroussement de deuxième espèce.

tiques de Liouville, ï* série, t. XIV et XV; Stolz, Mathematische Annalen, t. VIII et t. XV; NûTHEB, Mathematische Annalen, t. IX; Hilphex, Recueil des Savants étrangers, t. XXVI, et Bulletin de la Société mathématique de France, l. III, IV, V; Étude sur les points singuliers des courtes algébriques planes (Appendice au Traité des courbes planes de G. Salmon) ; Smith, Proceedings 0/ London mathematical Society, t. VI; Zeuthes, Mathematische Annalen, t. X. A celte liste on doit ajouter le nom de Puiseux, qui, le premier, a fait l'étude d'une [onction algébrique dans lo voisinage d'une valeur singulière.

Si l'on cherche ïa développante d'une courhe qui a elle-même un point de rebrous semeiil de deuxième espèce, on trouve encore une branche de courbe qui présente un point de rebrousscment t de deuxième espèce situé sur la tangente à la courbe donnée en son point de rebrousscment, La différence qui existe entre le point t trouvé maintenant et le point /■ trouvé précédemment, c'est que le point t est un sommet, puisqu'en parcourant la développante on trouve successivement, pour les points de cette courbe, des rayons de courbure allant d'abord en croissant jusqu'à ce qu'on arrive au rayon de courbure de la courbe en (, et à partir de ce rayon de courbtire ils vont en décroissant ; au point ï on a donc un rayon de courbure maximum, tandis que, pour la courbe qui présenle un point d'inflexion, on a un rayon de courbure allant constamment en croissant lorsque l'on parcourt celte courbe depuis le point m jusqu'ati point r, puis à partir du point r sur l'autre branche du point de rebrousscment.

Cherchons la développante d'une courbe qui a des branches infinies. Prenons une hyperbole (Jïg- io4) el un point m de cette

courbe; traçons la trajectoire orthogonale des tangentes dont les points de contact sont i, 2, 3 et ainsi de suite jusqu'à l'infini. On a une branche de courbe partant normalement à l'hyperbole et venant rencontrer l'asymptote au point a à angle droit. Puis on doit prendre les points 4. 5i 6 de l'autre branche, à partir de l'infini, et les tangentes en ces points, pour tracer la trajectoire orthogonale de ces tangentes à partir du point a. La développante vient rencontrer de nouveau la courbe au point m', repart de ce point m', rencontre de nouveau l'autre asymptote et continue ainsi de suite.

ii'hc des poinLs de rcbrousseiiienl ^cUelienc rencontre les

On a successivement sur 1; ponr cette développante, et aux points o asjTnplotes on a des points d'inflexion.

Prenons comme autre exemple une courbe située d'un même côté par rapport à l'une de ses asymptotes. Partant d'un point m de cette courbe i^fig' io5), on a un arc de cotirbe normal en m à

la courbe donnée et qui rencontre à angle droit l'asymptote en a. Cootimiant à partir du point a, on a une brancJie de courbe qui vient rencontrer la courbe donnée au point m'; en ce point on a un point de rebroussement ainsi qu'au point m. Nous voyons sur cet exemple un point de rebroussement de première espèce en m pour lequel le rayon de courbure de la développante est nul, et en a un point de rebroussement de cette même développante pour lequel le rayon de courbure est infini.

Développantes de la développée d'tme ellipse. — Tra loppce d'une ellipse i^fig- 106). Cette développée e;

uatre poinls de Les développer

veloppde sont des courbes parallèles à l'ellipse, c'est-à-dire des courbes qu'on obtient en portant sur les normales à l'ellipse des segments égaux entre eux.

Partant du point m de cette développée, on a une courbe (i) qui a quatre points de rebroussement sur la développée de l'ellipse.

Partant du point m', on a une courbe qui présente toujours quatre points de rebrotis sèment, mais qui a en outre deux points doubles situés sur le grand axe.

Enfln, partant du point n situé sur une tangente à la développée de l'ellipse, on a une courbe dont la forme rappelle la forme même de l'ellipse.

II est important de connaître les formes de ces courbes parallèles à l'ellipse. On les rencontre, par exemple, quand on cherche la projection orthogonale d'un tore sur un plan oblique par rapport au plan qui contient le centre de la sphère, variable de position, mais de grandeur constante, qui engendre le tore. Le centre de cette sphère mobile décrit dans l'espace un cercle dont la projection est une ellipse ; sur le plan de projection le contour apparent de cette sphère est une circonférence de cercle décrite d'un point de cette ellipse, comme centre, avec un rayon égal au rayon de la sphère mobile. On a donc à considérer la courbe enveloppe d'une suite de circonférences de cercle ayant des rayons égaux et dont les centres sont sur une elhpse. L'enveloppe est une courbe parallèle à l'ellipse ; on l'obtient en portant sur les normales à l'ellipse une longueur constante égale au rayon de ces circonférences. Le contour apparent du tore est donc une ligne qui, selon la position du tore par rapport au plan de projection, a l'une ou l'autre forme des développantes de la développée de l'ellipse.

Déplacement sur son plan d'une figure de grandeur variaLle. Droite mobile de grandeur variaLle. — Relativement au déplacement d'une figure plane sur son plan, nous avons jusqu'à présent considéré une figure de grandeur invariable ; nous allons montrer par un exemple comment on peut résoudre certains problèmes relatifs à une figure variable de forme, en profilant des éléments de cette figure qui restent de grandeur invariable (').

( ' ) Voir Cicisics, 3Iémoîre de Géùméirie sur la cnnstruction des normales à

Prenons une droite mobile ab qui enveloppe une courbe donnée E {fig- 107)1 '*' longi'Siif de celte droite étant définie par les courbes sur lesquelles doivent se trouver les extrémités a et b. Ainsi le point «reste sur la courbe ((ï), le point 6 sur la courbe (è). Sur celte droite construisons un triangle ahni semblable à un triangle donné. Construisons ainsi, pour chacune des positions de la droite ab, un triangle tel que ahm, les points tels r|ue m appar-

tiennent à une courbe {m). Nous nous proposons de déterminer au point m la normale à cette courbe.

Puisque les triangles tels que abm restent semblables à un triangle donné, l'angle en a est de grandeur invariable. Lorsque le point et se déplace infiniment peu sur sa trajectoire, le côté ae de cet angle restant toujours tangent à la courbe E, le centre instantané de rotation a est au point de rencontre de la normale en a à la trajectoire de ce point et de la normale en e à la courbe enveloppée par ab. Au moyen de ce centre instantané a on obtient le point/, où am touche son enveloppe, en prenant le pied de la perpendiculaire abaissée du point a sur am.

De même, on a, pour le déplacement infiniment petit de l'angle mobile abm de grandetir invariable, le centre instantané fj à l'aide duquel on obtient le point g, où le côté mb touche son enveloppe, en abaissant une perpendiculaire du point ^ sur ce côté et en prenant le pied de cette perpendiculaire.

On a maintenant un angle de grandeur invariable m, dont les

plusieurs courbes mécaniques { Bulletin de la Société ntathématigue de Frai t. VI, p. 323) cl le Supplémenl de la quinzième Leçon.

côtés sont tang;ents à deux courbes ; le centre Instantané relalif an déplacement infiniment petit de cet angle est le point de rencontre [L des normales à ces courbes issues des points/ et §■, Le point fji étant le centre instantané relatif au déplacement do l'angle m, la normale à la courbe décrite par le point m est la droite [j.m.

Cet exemple montre comment on peut déterminer la normale à la courbe décrite par un point d'une figure de grandeur variable, en profitant des éléments de cette figure qui restent de grandeur invariable pendant son déplacement.

Le triangle qui a pour sommets les trois points a, p, lj. est semblable au triangle abm ; on a

l'renons le cas particulier où le triangle se réduit à am'b^ le. point m' étant sur ab; le point ^\ analogue au point [i, est alors

ce qni donne le résultat suivant :

On partage un negment de droite ab de grandeur variable en segments proportionnels à deux segments donnés au point m' ; pour avoir la normale à la courbe lien des points tels que m', on mène la normale en a à la trajectoire de ce point, cette droite rencontre, au point a, la normale issue du point e à l'enfeloppe de la droite mobile. On détermine de même le point p sur la normale ea. On prend sur a^ un point fj.', placé par rapport aux points a, p comme le point m' est placé par rapport aux points a et b, c'est-à-dire tel que ^^soit égal à -p-r', la normale à la courbe lieudes points m! est la droite m' \i.'.

Inversement, si une droite mobile est déplacée de façon que trois courbes données (fi), {m'), (b) la partagent en segments proportionnels, on obtient, pour une position de cette droite, le point où elle touche son enveloppe en menant une perpendiculaire à la

droite ab qui soit partagée jjar les normales «a, «;'[*', ^1(3, de façon qu'on ait sur celle perpendiculaire les points a, |j.'el^ tels que -7^ =;; — i^ et en prenant le point où celte perpendiculaire rencontre ab.

Remarque. — Si la droite mobile reste, pendant son déplacement, normale à l'une des courbes données, {a) par exemple, le point oïl elle touclie son enveloppe est un centre de courbure de (fl). Voici une application de cette remarque.

Constinctions du centre de courbure d'une ellipse. — Prenons trois lignes il'iineest une ellipse (m) (yî^. 108), les deux autres sont les axes de cette courbe. Une normale quelconque à l'ellipse mab

L6^1--fC I

; l'on sait, partagée par ces trois lignes en segments proportionnels. On peut alors déterminer le point où cette normale touche son enveloppe, c'est-à-dire le centre de courbure de l'ellipse correspondant au point m, La normale au point m à l'ellipse est la droite mobile elle-même; la normale en d à la ligne sur laquelle doit rester ce point est la perpendiculaire élevée de a au grand axe ; de même pour le point b.

On doit donc construire une perpendiculaire à la normale qui soit partagée, par la normale ma et par les perpendiculaires aux axes menées des points a et b, en segments proportionnels à ma et mb, c'est-à-dire qu'on doit avoir -^ ^ —,•

Les triangles uot, bca sont semblables comme ayant leurs côtés respectivement perpendiculaires. En vertu de la proportion précédente, les droites mab, [J-a^ sont homologues relativemenl à ces triangles. Le point [i. partage donc ab, comme m partage ut.

De là différentes constructions; en voici quelques-unes : Menons ae parallèlement à tu, on a

i" Le point \x peut donc s'obtenir ainsi :

Aupoint a, où la normale en m rencontre l'un des axes, on mène une perpendiculaire à cette normale; cette droite rencontre le diamètre qui passe en m en un point d; on abaisse de ce point une perpendiculaire sur l'axe dont on a considéré le point de rencontre avec la normale : cette perpendiculaire rencontre la normale au centre de courbure }x de la courbe ( ' ).

Il est évident que cette conslniclion est vraie, qu'on l'applique à un ase ou à l'autre. Nous l'emploierons plus tard pour déterminer le centre d'une conique lorsque l'on donne l'un des ases^ un point de la courbe et le centre de courbure correspondant,

2" On mène la droite ua, elle coupe la parallèle à ot menée du point m en un certain point : la parallèle à ob, menée de ce point, coupe la normale en m au centre de courbure cherché.

3" Les perpendiculaires aa., b^ aux axes de l'ellipse se rencontrent en c, on abaisse de ce point une perpendiculaire sur le diamètre om : cette droite rencontre la normale en m au centre de courbure [j..

La perpendiculaire abaissée du point c sur om est, en ofTet, l'homologue de om et détermine le point p. qui correspond au point m.

Remarque. — Projetons a et ^ en ^ et /' sur les axes ; on démontre facilement que la droite rq est parallèle à mo et contient p. Cette remarque sera utile plus loin (p. 202).

C) M. LjcceHKE a donné une construction analogue pour le cas de l'espace dans soft travail Sur la détermination, en un point d'une surface du second ordi-e, des axes de l'indicatrice et des rayons de courbure prirtcipaux (Journal de Mathématiques pures et appliquées, %' série, t. IV, p. s^'j). Voir aussi, sur le même sujet, un article que j'ai publié dans le même Recueil, 3* série, t. VIII, page 167.