QUINZIEME LEÇON

GKOMIiTRIE CINÉMATIQUE (sufTE). — COURBES GAUCHES.

Gonstrnction du centre de courbure d'une épicyololdc. — ConslrucLion du centre de courbure d'unecourbe entraînée dans ledéplacementépicjoloïdal. — Cjclolde. — Courbes gauclies. — Plan oscuialeur. — Projections diverses d'une courbe gauche. — Hélice. — Projections d'une hélice. — PerspecLire cavalière d'une hélice. — Raj'on de courbure d'une hélice.

Sctplïmest. Démonstration du théorème énoncé page 177, applications de ce théorème. — Géométrie cinématique. — Construction des centres de courbure des lignes décrites pendant le déplacement d'une figure plane sur son plan. — Centre de courbure de la ligne décrite par un point d'une figure mobile de grandeur variable. — Construire le centre de courbure de la développée d'une ellipse, — Sur le déplacement infiniment petit d'une figure polygonale de forme variable. — Sur les quadrilatères articulés.

Construction du centre de courliure d'une épicycloide. — }A(fig. 109) est la circonférence qui roule sur la circonférence fixe F, m est le point qui engendre l'épicycloïde.

Joignons le point m au point de contact a des circonférences F et M. La droite ma est la normale au point m à l'épicycloïde.

Joignons le point m au centre c de la circonférence M, et centre o delà circonférence F menons une parallèle à kdroii celte droite rencontre la normale nin au point b. Les triangles mac, boa, sont semblables, et l'on a

Dans cette proportion, les segments me, ca, oa sont de grandeur constante, quelle que soit la positioE de la circonférence mobile ; le segment ob est alors aussi de grandeur constanlei I-e lieu des points tels que b est donc la circonférence décrite du point o comme centre avec ob pour rayon.

Les triangles semblables mac, boa montrent aussi que le rapport de ma à mb est constant. La droite ma est donc partagée, quelle que soit la position de la circonférence M, par l'épicycloïde, la circonférence fixe F et la circonférence concentrique à celle-ci qui passe par le point b, en segments proportionnels.

On peut alors construire le point oii cette droite toucbe son enveloppe. La normale au point m à l'épicycloïde est la droite ma ; la normale au point « à F est le rayon ao ; la normale en & à la circonférence qui contient ce point est le rayon bo. On doit alors mener nne perpendiculaire à la droite ma qui soit partagée par ces trois droites en segmeots proportionnels à ma et mb- Peur cela, on élève au point a une perpendiculaire à ma ; elle rencontre la droite me au point d; la droite do coupe la no/'male ma au point [A : ce point ^ est le centre de courbure demandé (').

Pour le faire voir, prolongeons la droite ad jusqu'au point e et menons parallèlement à celte droite la ligne [J-ap; on a

|j.ji de mb

Le point [A est donc bien le pied de la perpendiculaire partagé par les normales aux trois courbes en segments proportionnels ma, mb; c'est le centre de courbure de l'épicycloïde.

Pour avoir la relation qui existe entre le rayon de courbure m [

gLinéralemont attribuée k S\v Saint-Péieisbourg pour i^(

GBOJIÉTRIE CINÉJlATlQtE. J77

et les rai'ons des deux circonférences M el F, que nous désignerons par Rji et Rf, nous faisons usage du lemme suivant :

On donne un angle de sommet s [Jî g. 110) et un point odans l'intérieur de cet angle; on mène de ce point une transversale

quelconque qui rencontre les côtés de l'angle aux points a el ù, quelle que soit celte transversale ('), on a

Appliquons ce lemme. Prenons (Jig- 109) l'angle mdo et les deux transversales ?nb, co cjiii passent par le point a. On a

i^dii ' \R„ "^ ïir) sixioi

Appelons p lo rajon de coiirLnre ;» ;j. et o l'angle mac; cetlc ormule petit s'écrire

Telle est la relation qui permet de déterminer p, ( l'angle o el la portion de normale ma comprise entre le point décrivant et le point de contact des den\ circonférences.

(') Voir dans ma brochure ; Transformation des propriétés métriques des figures à l'aide de la tliéorie des polaii-es réciproques ( M aile t- Bachelier, i85';, p. 3), l'origine de ce théorème et une dé nions ira tion directe. Le supplément 4 cette leçon contient une autre démonstration île ce théorème et quelques applications- Ce théorème, dn reste, peut être souvent très utilement employé; j'en ai fait beancoup usage dans un Mémoire d'Optique géométrique {Âtti delta R. Aceademia dei Lincei (i884-f885) ; Journal de Mathématiques pures et appliquées.

Construction du centre de couriiiire de l'enveloppe d'une courbe entraînée dans le déplacement épicycloïdal. -^ La construction du centre de courbure de la courbe décrite par im point permet de trouver le centre de courbure de la courbe enveloppe des positions d'une courbe entraînée dans le mouvement.

Pour le faire voir, démontrons d'abord le lemme suivant ;

Deux courbes parallèles entraînées dans le déplacement épicycloïdal ont pour enveloppes des courbes parallèles entre elles.

Pour une position quelconque de la figure, les points où ces courbes touchent leurs enveloppes sont les pieds des normales qui leur sont menées par le point de contact a de la courbe mobile et de la courbe iixe. Comme ce sont des courbes parallèles, la normale à l'une est normale à l'autre, et le segment m», compris entre les pieds de cette normale sur les courbes entraînées, est de grandeur constante, qiielle que soit la position de la figure. On voit ainsi que les courbes enveloppes ont pour normale commune la droite am, et la portion mn de cette normale, comprise entre les enveloppes, est une longueur constante : donc les enveloppes sont aussi des courbes parallèles entre elles.

Dans le cas particulier où la courbe entraînée est une circonférence de cercle, la courbe enveloppe se compose de branches parallèles distantes entre elles d'une longueur égale au diamètre de cette circonférence, et ces branches sont aussi parallèles à la courbe engendrée par le centre de cette circonférence.

Prenons maintenant une courbe quelconque C {Jlg- i m)- Du point de contact a de F et de M menons une normale ap à celte courbe ; prolongeons ap jusqu'au centre de courbure y de la courbe entraînée, et du point y comme centre décrivons avec yp pour rayon le cercle de courbure de la courbe C. Sur la courbe mobile M prenons un point a' infiniment voisin du point a; en menant du point a' une normale à la courbe entraînée C et une normale à son cercle de courbure, on obtient deux points g, r, qui sont l'un et l'autre infiniment voisins du point p, et l'angle ra'q est infiniment petit du second ordre (').

(') En général, si l'on n en p, les normales à ci

Après un déplacement infiniment petit de M, le point a' devient le centre instantané «(, le point q vient au point qt, qui est un point de la courbe enveloppe E de la courbe C entraînée, et le point r vient an point /■) , qui esl un point de la courbe enveloppe du cercle de courbure entraîné. Les points j, et /'i sont infiniment

voisins du point p, et l'angle r, o, ^i, qui est égal à l'angle ra' q, est toujours infiniment petit du second ordre. Les développées des courbes enveloppes, qui sont des courbes tangentes à la normale pa, doivent alors toucher celte droite aii même point : on voit ainsi que les courbes enveloppes de la courbe entraînée et de son cerele de courbure sont des courbes osculatrices (' ).

Mais, en se reportant au lemme, le cercle de courbure a pour enveloppe une courbe parallèle à la ligne décrite par le point •j' : on a donc le centre de courbure de E en construisant le centre de courbure de la courbe décrite par le point -^ (*).

Cycloide. — Ce que nous avons dit pour l'épicycloïde est applicable à la cycloide. La construction du centre de courbure de la cycloïde engendrée par le point m {Jig- iia) est !a suivante : on

c'est-à-dire les tansentes à leurs développées qui partent de a', font entre elles un angle infiniment petit du n'*™' ordre. Il est facile d'énoncer la réciproque. ' (') De la même manière, on démontre le théorème suivant : Deucc courbes ayant entre elles un contact du a''"" ordre au point p ont pour enveloppes des courbes ayant entre elles en ce point un contact de ce même ordre,

(') Résultat dû àEuLEB {loo. cit.). Voir aasû Des méthodes en Géométrie, par P. Serhet, p. 83.

joint le point m au point de coniacL a du cercle mobile et de la droite fixe; on élève au point a une perpendiculaire à /.

joint le point m au centre de la circonférence mobile; cette droite

rencontre en d in perpendiculaire que nous venons de mener du point a; la perpendiculaire abaissée du point d sur la droite fixe rencontre ma au point fj., qui est le centre de courbure de la cvcloïde engendrée par m.

COURBKS GAUCHES.

On appelle courbe gauche une courbe qui n'est pas plane.

Pour ces courbes, comme pour les courbes planes, commençons par rappeler des définitions, des résultats et quelques démonstrations, en insistant particulièrement sur ce qui doit être le plus utile {'),

En chaque point d'une courbe gairche, il y a une tangente et ime infinité de normales ; toutes ces normales sont dans le plan normal à la courbe, qui est le plan mené perpendiculairement à la tangente par le point de contact de cette droite.

(') De S.iist-Ves,i:!I, Mémoire sur les lignes courbes non planes {Journal de l'École Polytechnique, XXX- Cahier); J. Behihiud, Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral, t. I, p. 597.

Plan oscillateur. — Parmi tons les plans cfii'on peut mener par un point m d'une courbe gauche, i! y en a un qui se rapproche de la courbe p[us que tous les autres.

Parle point m {fig. ii3}, menons un plan quelconqnc qui coupe la courbe sous un angle fini. Un point m' de la courbe, qui

Fig. Ji3.

est inflDiment voisin du point m, est à une distance de ce plan qui est un infiniment petit de même ordre que mm', car on a mp = min'.sinpmm',

et nous supposons que l'angle pmm' est un angle fini.

Si l'on veut que la distance m! p soit infiniment petite par rapport à nun' , on doit supposer que la corde mm' est rencontrée par ce plan sous un angle infiniment petit, c'est-à-dire que le plan doit être mené par la tangente en m à la courbe.

Cherchons, parmi tous les plans qu'on peut mener par la tangente en m à une courbe, celui qtii se rapproche le plus de la courb''. Par la tangente mt {fig- ii4) à la courbe, menons un plan;

abaissons du point i?t' de la courbe gauche, qui est inTmiment vo sin du point m, la perpendiculaire m'p sur ce plan et la perpei diculaire m'^ sur la tangente mt.

Dans le triangle rectangle m', pq, on a

n> = m'q smpqm

et l'on voit que, parmi tous les plans menés par ml, celui qui se rapproche le plus de la courbe est celui pour lequel la distance m'p est infiniment petite par rapport à m' g : c'est le plan pour lequel

i$ï ..JCONDE PARTIE. — QUINZIÈHIE LEÇON.

l'angle pqm' est infiniment petit, c'est-à-dire le plan mené par la tangente ml et par le point m' de la courbe gauche, qui est infiniment voisin dn point m. Ce plan est appelé le plan osculateur àe la courbe gauche.

Nous allons faire voir que le plan osculateur d'une courbe gauche en un point m {Jîg- 1 15) est aussi le plan mené par la tangente en m à celte courbe, parallèlement à la tangente à la courbe au point qui est infiniment voisin du point m.

Projetons la courbe gauche sur un plan perpendiculaire à la tangente en m. Le point m est projeté au point [jl, et le point m', in-

finiment voisin du point m, est projeté au point [j.'. Le plan osculateur de la courbe, considéré comme étant le plan mené par la tangente m p. et par le point m', infiniment voisin du point m, a pour trace sur le plan de projection la droite [ajj;'; le plan mené par la tangente m^, parallèlement à la tangente au point m', a pour trace sur le plan de projection la droite menée du point \j. parallèlement àla tangente en [x'. Lorsque le point wi'est confondu avec le pointm, le point [*' est confondu avec le point y., et les traces des deux plans considérés viennent coïncider et donnent en jx la tangente à la projection de la courbe. On volt ainsi que ces deux plans n'en font alors qu'un.

On peut donc dire que le plan oscillateur est le plan mené par une tangente à la courbe^ parallèlement à la tangente à cette courbe au point infiniment voisin de celui que l'on considère. Il résulte de là que, si d'un point s on mène des droites parallèles aux tangentes d'une courbe gauche, la surface conique lieu de ces droites jouit de cette propriété : Le plan tangent, le long de la génératrice qui est parallèle à la tangente m p., est parallèle au plan osculateur de la courbe gauche au point m.

On peut démonlrer qu'on arrive encore an même plan osculateiir en cherchant le plan qui passe par le point m de la courbe gauche et par deux points infiniment voisins; en d'autres termes, le plan oscillateur a, a<^ec la courbe gauche, trois points infiniment voisins communs.

Puisque le plan osculateur peut être considéré comme ayant avec la courbe li'ois points infiniment voisins communs, il traverse la courbe; cette propriété est importante à remarquer.

Le cercle osculateur est sur le plan osculateur; le centre de ce cercle est sur la normale à la courbe qui est dans le plan osculateur. On donne à cette normale le nom de normale principale.

La perpendiculaire au plan osculateur élevée de ce centre de courbure est une droite que j'appelle aa;^ (/e co«?-/iM/-a de la courbe gauche.

Les plans osculateurs d'une courbe gauche en deux points infiniment voisins comprennent entre eux un angle qu'on appelle angle de torsion.

Le rapport de l'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins à l'arc compris entre leurs points de contact est lu seconde courbure ou la torsion de la courbe gauche.

L'inverse de cette seconde courbure est le rayon de seconde courbure ou rayon de torsion.

Les courbes gauches sont souvent appelées courbes à double courbure.

La plus courte distance de deux tangentes à une courbe gauche, qui sont infiniment voisines, est un infiniment petit d'ordre supérieur au second ( ' ).

Par la tangente mt (fig. 1 16) menons un plan parallèle à la tangente au point m'; abaissons du point m' une perpendiculaire m'p sur ce plan : m'p est égal à la plus courte distance des deux tangentes en m et m'. Abaissons du point m' une perpendiculaire m' g

(' ) BoïouET, Remarques sur les syslèmss de droites dans l'espace {Journal de Matliématigues de Liouville, i" série, t. XI, p. i25); 0. Bossët, Note sur la distance de deux cangenles infiniment voisines à une courbe gauclie {Nouvelles Annales de Malhémaligues, i"série,t. XII, p. iga). Dans cette Note, M. O.Bom- NET donne l'expression de cette distance, qu'il trouve égale au douzième du produit de l'arc par l'angle de contingence et par l'augle de torsion.

nte int, joignons le point/j t

l'q csl nn infiniment petit du second ordre lorsque m' est infini lent voisin de m. Mais, lorsque m' est infiniment voisin de n

l'angle pm'q diffère infiniment peu d'un angle droit; on voit alors que m'p est infiniment pelit par rapport à m'q, et, par suite, la plus courte distance des deux tang-entes est un infiniment pelit d'ordre supérieur au second.

Projections diverses d'une courbe gauche. — Appliquons ce que que nous venons de rappeler ou de démontrer à l'examen des projections diverses d'une courbe gauche.

Supposons qu'il s'agisse de la projection conique d'une courbe gauche. Si le point d'où partent les rayons projetants est placé arbitrairement par rapport à la courbe, la projection de la courbe jouit de celte propriété : La tangente en un point a' , projection du point a de la courbe, est la projection de la tangente en a.

Si le sommet du cône pi-oj'etant est dans l'un des plans osculateurs de la courbe, la projection de la courbe est tangente à la trace de ce plan osculateur sur le plan projetant et est située de part et d'autre de celte trace ; elle présente alors un point d'inflexion .

Si le sommet du cône projetant est un point de la tangente en m à la courbe gauche, la projection de cette courbe est tangente a» point ]j., projection de m, à la trace du plan osculateur en m sur le plan projetant, et, comme la courbe gauche est de part et d'autre de ce plan osculaieur, la projection de la courbe gauche présente un point de rebroussement aupoint \i..

Ce dernier résultat peut s'énoncer de la manière suivante :

Lorsque la courbe directrice d'un cône est tangente à l'une des génératrices de ce cône, la section faite dans ce cône par un plan présente un point de rebroussement au point où le plan sécant rencontre cette génératrice. On dit alors que le cône présente wn rebroussement le long de cette génératrice particiilière, et le plan tangent au cône, qu'on appelle le plan de rebroussement, n'est autre que le plan osctilatcur de la courbe directrice an cône.

Au lieu de parler de cône projetant, on peut encore énoncer ainsi le résultat auquel nous venons d'arriver ;

Lorsquhin rayon visuel est tangent à une courbe, la perspective de cette courbe présente un point de rebroussement et la tangente en ce point de rebroussement est dans le plan osculateur de lacourbe gauche au poi/it oit elle est touchée par le rayon visuel.

Tout ce que nous venons de dire en parlant d'une projection conique s'applique évidemment lorsqu'il s'agit d'une projection cylindrique.

Hélice. — Comme exemple de courbe gauche, éludions l'hélice.

L'hélice est une courbe tracée sur une surface cylindrique et qui rencontre sous des angles égaux les génératrices de cette surface.

Considérons seulement l'hélice tracée sur un cylindre de révolution.

II résulte de la définition de l'hélice que, si l'on développe le cylindre de révolution, cette courbe se transforme en une ligne droite.

Si ab (Jlg. 117) est la transformée d'une section droite du cylindre et ac la transformée de l'héliee, l'ordonnée mp du point m est égale à la distance du point de l'hélice correspondant à m à la section droite du cylindre transformée suivant ab; l'abscisse ap est le développement de l'arc de cette section droite. Comme, pour un point quelconque de la droite am, on a toujours —^ = consl., on voit que l'hélice sur le cylindre jouit de cette propriété que l'ordonnée d'un point de cette courbe divisée par l'are compté sur a droite entre îe pied de cette ordonnée et le point où

la courbe rencontre celte section droite donne un rapport constant. On peut dire alors que, sur le cylindre, l'hélice est engendrée par un point d' une génératrice qui est tel que, pendant que cette génératrice se déplace de façon que son pied sur une section droite parcoure successivement des arcs égaux, le

point s'avance sur la génératrice successivement de longueurs égales.

L'hélice parlant d'un point d'une génératrice rencontre de nouveau celte génératrice; la portion de cette droite comprise entre ces deux points de rencontre consécutifs est ce qu'on appelle le pas de i'hélice.

L'arc d'iiélice compris entre ces deux poinis est ce qu'on appelle une spire.

Si ac est le développement d'une spire de l'hélice, cb est le pas ; on a

bc = ab tangiac.

Si l'on désigne le pas par H, l'angle bac par a, le rayon de la section droite par r, on a

h est ce qu'on appelle le pas réduit { ' ).

(') Celte expression esl due à M. de la Gourïerie {Traité de Géométrie Cive, III" Partie, p. no).

On voit que /( est le rayon de la circonférence dont la longueur est H, ou encore h est le rapport constant entre l'ordonnée d'un point quelconque de l'hélice et l'arc de section droite correspondant, pour la circonférence de rayon i .

Les tangentes à l'hélice font, avec les génératrices du cylindre qui passent par leurs points de contact, des angles égaux entre eux; si alors d'un point de l'espace on mène des parallèles aux tangentes de l'hélice, le lieu de ces droites est un cône de révolution.

Projection d'une hélice. — Prenons {Jig- iiB) comme plan horizontal de projection un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre

siir lequel est tracée la courbe ; {a', a) est le point de départ de l'hélice, a'b' est le pas de cette courbe.

Divisons a'b' en un certain nombre de parties égales, huit par exemple; divisons la circonférence base du cylindre en un même nombre de parties égales.

Nous n'avons maintenant qu'à relever les points de division de cette circonférence successivement sur les parallèles à la ligne de terre menées par les points de division de a' b' , et nous avons des points de l'hélice; en réunissant ces points, on obtient la projection de la courbe.

Prenons en particulier le point ///, pour lequel la tangente est de front.

Sur lo cône forme par les parallèles aux tangentes à l'hcliee, la génératrice parallèle à la tangente en ml est parallèle au plan vertical de projection. Le plan tangent à ce cône suivant cette génératrice est alors perpendiculaire à ce plan vertical de projection, puisque ce cône est de révolution; mais les plans tangents à ce cône sont parallèles aux plans osculateurs de l'hélice : donc, au point m', le plan osculateurde l'hélice est perpendiculaire au plan vertical, et la projection verticale de la courbe, étant faite sur un plan perpendiculaire à son plan osculateur, présente en m' un point d'inflexion.

Perspective cavalière d'une hélice. — Traçor perspective cavalière de la section droite du c

{fis-

lindre

l'ellii

li-ices de contour apparent de ce cjlindre. Nous divisons celle section droite en parties égales en faisant tourner son plan autour de son diamètre de front, puis, par les points de division, nous menons des génératrices du cjlindre.

Si l'hélice part du point i, nous portons à partir du point o. un segment 2-a; à partir du point 'i, nous portons deux fois ce même segment et nous obtenons le point b; à partir du point 4f nous portons trois fois ce même segment, et ainsi de suite : les points i, a, b, c sont les points de l'hélice en perspective cavalière.

Elle est tracée sur le cj'lindre; elle arrive tangentiellement aux génératrices de contour apparent du cylindre, excepté dans un cas particulier dont nous allons parler bientôt.

Supposons que l'on ait construit le cône dont les génératrices sont parallèles aux tangentes à l'hélice et que ce cône ait pour hase la base même du cjlindre de révolution. Le sommet de ce cône

csL siipjiosc en s, en dehors de l'ellipse perspective de la base du cylindre. Dans ce cas, le cône a deus génératrices de contour apparent ; il y a alors deux plans tangents à ce cône parallèles aux projetantes. Mais les plans tangents à ce cône sont parallèles aux plans ossiilaleurs de l'hélice ; il y a donc des plans oscidateiirs de l'hélice parallèles aux projetantes, et, par conséquent, la perspective de l'hélice doit présenter des points d'inflexion.

Supposons que le sommet du cône soit en s' sur la courbe de base du cylindre ; cela veut dire qu'il y a une génératrice du cône dirigée suivant une projetante, et, comme les génératrices de ce cône sont parallèles aux tangentes à l'hélice, il y a des tangentes à cette courbe qui sont parallèles aux projetantes; et alors, pour les perspectives des points de contact de ces tangentes, la courbe présente des points de rebroussemeni. Ces points cle rebroussement sont nécessairement sur les génératrices de contour apparent du cvlindre, puisque ces tangentes parallèles aux projetantes sont nécessairement dans les plans tangents à ce cylindre parallèles aux projetantes. C'est là le cas particulier annoncé précédemment.

Enfin, si le sommet du cône est à l'intérieur de l'ellipse perspective de la circonférence de base, la perspective de la courbe n'a ni poiut d'inflexion, ni point de rebroussement; elle présente alors ce qu'on appelle des points doubles, c'est-à-dire qu'elle se coupe elle-même; ces points doubles correspondent à des projetantes qui rencontrent deux fois l'hélice.

Ces difl'érents cas se rencontrent lorsqu'on cherche l'ombre portée d'une hélice sur le plan de la base du cyhndre; il est facile de voir que, selon l'inclinaison du rayon lumineux, cette ombre est une cycloïde ordinaire, raccourcie ou allongée.

Rayon de courbure de l'hélice. — Pour terminer ce qui concerne l'hélice, cherchons le rayon de courbure cle celte courbe en un point quelconque.

Prenons (Jlg'- ii8) pour plan vertical de projection un plan parallèle au plan tangent au cylindre en ce point. Ce point se projette alors en m' sur l'axe du cylindre, et le plan osculateur de l'hélice se projette suivant la tangente à la projection de celte courbe en m'; cette droite fait avec le plan horizontal un angle a. La section faite par le plan osculateur dans le cylindre est une

ellipse qui a en commun avec l'hélice trois points infiniment voisins réunis en m' \ le rayon de courbure de l'héiice est donc égal au rayon de courbure de cette ellipse.

Le demi petit axe de cette ellipse est égal au rayon /■ de la base du cylindre, et le demi grand axe est — - ■

Cherchons le centre de courbure de cette ellipse pour le sommet m' {fig- 120), c'est-à-dire le point où le petit axe est rencontre

par la normale au point infiniment voisin de m' . La normale en un point/jestla bissectrice de l'angle /p/", qu'on obtient en joignant />aux deux foyers /et/'; elle rencontre le petit axe en un point qui est sur la circonférence circonscrite au triangle /r»/'. Lorsque/» est infiniment voisin de m', cette circonférence passe par /, m', f, et elle rencontre le petit axe au centre de courbure demandé.

Le rayon de courbure en m' est alors égal à —{— ■ Mais, d'après

ce qui précède, m'/'--. et m' 0 ^^ r; on a donc, pour le rayon

de coui'biirc 0 de l'hébce,

La longueur de p est la même quel que soit le point de la courbe, comme on pouvait le prévoir.

Pour construire p, on mène {Jtg. 118) a'c parallèlement à la tangente en m' à l'hélice. Celte droite rencontre la projection de l'axe du cylindre au point <;; de ce point on élève ce perpendiculairement à ne : le segment a'e est le rayon de courbure demandé.