L-snIe o-f étant arbilri
e tliivcloppement de sin(oï6 —
quatre droites so' , sp' , sq' , sf détermine sur une transversale quelconque des segments entre lesquels on a un rapport, tel que (3 ), qui a toujours la même valeur {').
Le rapport (3), qui n'est pas altéré par la projection, c'est-à-dire qui est projectif, est un rapport ankannonique des quatre points o',
Si la transversale of est perpendiculaire à o's, on a o'p' — o'slango'sp',
portant ces valeurs dans ie rapport (3), ou a
(3-) taç^^Lli^^,
tango'sp' larso'î/ qui est un rapport anliarmonique des quatre droites So',Sp', Sq',S/.
Au moyen de ia formule (a) nous venons de Iransformei- un rapport de deux segments en un rapport projectif : ceci est général, cette formule permet de transformer une relation homogène quelconque de segments d'une droite en une relation projectiçe.
Prenons. comme exemple {Jîg. laa) la relation
op — oq-v-or^...
= l'-om,
dan
is laquelle la
constante ;j: est égale Fis- 1=3.
r, .... Le point m. est appelé centre des moyennes distances des points/), î, r, ... (^).
(') Il est facile de voir qu'oQ a une pi-oiiriùLé anoiloguo pour un faisceau de quatre plans.
(') Cbables, Géométrie supérieure, 2" édition, page 7. -— Cbemo?).!, Éléments de Géométrie pi-ojectîve (traduction de Dewulf), p. 44- — Rouché el de Comiie- RunaeE, Traité de Géométrie, p. 21a.
(') La relation (4) pouvant s'écrire mp + mq + mr +.. . = o, le centre m est le même que! qne soit le point o.
Appliquons la formule (a), remplaçons op, oq, valeurs eL supprimons le fadeur commun, il vient
or, ... pa
">' ~ <7 ôY ~ "^ VT-^T/f
Ï77^'~ Vf
que l'on peut écrire
-if)
ou
p'f ^ îV ^
Cette relation est alors projective.
Le point m' est le centre des moyennes harmoniques des distances des points p' , q' , r', ... au point / (*). On voit donc que la projection du centre des moyennes dislances des points p, q, r, ... est le centre des moyennes harmoniques des distances des projections de ces points au point/, qui est la projection du point à i' infini sur la droite pqr.
GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE.
Constructiou des centres de courbure des lignes décrites pendant le déplacement d'une figure plane sur son plan C)-— Nous avous trouvé (p. 1-77) la relation
(')Pra
, Traité des propriétés projectiles des figui
{') BoBiLLCEB, Cours de Géométrie, Géométrie plane, II' Partie, Section III.
A.. Tb.ïssos, Métlwde géométrique pour les rayons de courbure d'une certaine classe de courbes [Journal de Mathématiques, t. X, p. 148; i845).
Ch*bles, Construction des rayons de courbure des courbes décrites dans le mouvement d'une Jigiu-e plane gui glissesur son plan {Journal de Matliéma.ligues, t. X, p. ao4; i8^5).
BfiESÈE, Mémoire sur un théorème nouveau concernant les mouvements plans
GBOMKTBIE CENÉIIITIQIIE. IÇ)5
Supposons (yî^. 123} que le poiatmse soit Éloigné à l'infini sur a/n
■e de coarL
Isi nouvelle position du poÎQt fi, c'est-à-diri Dure de la trajectoire décrite par le poin
el sur l'application de la Cinématique à ta détermination des rayons de courbure (Journal de l'École Polytechnique, XXXV' Cahier, i85ï).
Ph. Gilbert, Recherches sur les propriétés géométriques des mouvements plans {Mémoires couronnés pai' l'Académie royale de Belgique, t. XXX, 1857).
E. Ljuarle, Théorie géométrique des l'ayons et centres de courbure (Bulletins de l'Académie royale de Belgique, 1" série, t. Il, 1857).
CiiBLLBi, Dei moti geometrici, etc. (Accadem. di Bologna, a' série, t. I, 186s).
Resal, Ti-aité de Cinématique pure. Paris, i86î,
DiBLAsBEB (G.-R.), Geometrisk tlieori /or accelerationen, viden plan figurs forfiyttung i dess plan ( Of«ersight of Kongl. Vetenskaps-Akademiens. Forhandlingar. Stoclcliolni, t. XXV, i868).
LiGuisE, Théorie géométrique du mouvement absolu d'un système invariable. Odessa, 1873.
AsDRBBi'BK!, Siir les méthodes de Ckasles et de Bresse pour la construction des rayons de courbure des courbes décrites dans le mouvement plan d'une figure plane invariable {Bulletin de l'Université de Varsovie, 1873).
Pu, Gilbert, Sur quelques propriétés relatives ausi mouvements plans {Annales delà Société scientifique de Bruxelles, 3" année, 1877).
T. rtiTTBRSHÀUB, Kïnematlsch-geometriscke Théorie der Beschleunigang fur die ebene Beweguiig (aus dem Civilingenieur., XXIV Band, I Hefi).
SuuELL, Théorie der Betvegung und der Krâfte. Leipzig, 1879.
Pn, (ja.tle,Kr, Sur quelques propriétés relatives auo! mouvements plans {Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 1877).
Pn. GiLBEBT, Sur l'extension au3! mouvements plans relatifs de la méthode des normales el des centres de courbure {Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 1878).
J. Fetebseb, Kinematik; Copenhague, 188I.
Enfin un Mémoire que j'ai publié dans le XXXVH* Cahier du Journal de l'École Polytechnique.
içje SECONDE PARTIE. — OUIN
La relation précédente devient
" Km ■ IV
Pour un point à l'infini siluésur une autre droite issue de «, on obtient le centre de courbure analogue à v en projetant le point fixe ( sur cette
Il résulte de cette construction que :
Pour une position quekonrjue de la figure mobile, les centres de courbure des lignes déc/'ites simultanément par les points de l'infini sont sur une circonférence tangente à la courbe fixe au centre instantané. Nous désignons par I cette circonférence.
La démonstration directe de cette propriété est très simple. Menons des droites partant de a. Prenons sur M un point a' infiniment voisin de a et menons de a' des droites parallèles aux droites issues de a. On a ainsi deus faisceaux de droites qui sont égaux et dont les sommets sont a et a'.
Après un déplacement infiniment petit de M, le point a' vient en «j sur F et devient le centre instantané de rotation. Le faisceau de droites dont le sommet est maintenant en «j est l'ensemble des normales au\ trajectoires des points de l'infini. Les points de rencontre des droites du faisceau a, et des droites du faisceau a sont alors les centres de courbure des trajectoires décrites par les points de l'infini. Mais les faisceaux a et «i sont égaux ; donc ces points de rencontre sont sur une circonférence qui passe par a et «i, et le théorème précédent est démontré. On peut énoncer ainsi ce théorème, en s'appuyant sur une propriété démontrée page 178 :
Les centres de courbure des courbes enveloppes de toutes les droites du plan de la figure mobile, pour une position quelconque duplan de cette figure, sont sur une circonférence I tangente à la courbe fixe au centre instantané de rotation.
Prenons un exemple. Un triangle abc de grandeur invariable ifig. 124} ïfî déplace de façon que les côtés ac, bc restent constamment tangents à deux circonférences données dont les centres sont e,f : construire le centre de courbure de l'enveloppe du troisième calé ab du triangle mobile.
Le centre instantané o est le point de rencontre des perpendiculaires aissées des points e, /sur les côtés ac, bc. La circonférence qui ntient les points o, e,f est alors la circonférence I, La perpendi-
culaire abaissée du point o sur ab rencontre cette circonférence point g qui est le centre de courbure demandé. Il résulte de cette i struction que ce point est fixe, et par conséquent que le côté ab e loppe aussi une circonférence de cercle.
Reprenons les relations ( i ) et (2). Il en résulte que
Cette relation permet de construire le point [* lorsque l'on connaît v. Faisons une application. D' un point fixe p {fig. i25} on abaisse des
perpendiculaires sur les tangentes d'une courbe L : on demande de construire le centre de courbure de la courbe {m), Heu des pieds de ces perpendiculaires (courbe qu'on appelle podaire de L) (').
(') MAtLACRrS, 1
le nom de podain
On peut considérer le point /m comme le sommet de l'angle droit /wi^. En déplaçant cet angle de grandeur invariable de façon que le côté mp passe toujours par p et que le côté ml reste tangent à L, le sommet m décrit la podaire {m). Cherchons le centre de courbure de cette courbe qui correspond au point m.
La perpendiculaire élevée du point/) à />m rencontre la normale / à L au point o, qui est le centre instantané de rotation, La droite mo est alors normale en tm à {nt).
Le point X étant le centre de courbure de L pour le point /, la circonférence qui contient les points p, o, X est la circonférence L La normale om à {m) rencontre cette circonférence au point v. Connaissant m et V, il s'agit maintenant de construire ji au moyen de la relation (4).
Du point V abaissons la perpendiculaire vi %\n- po. La droite /( rencontre mo au point [i.
Pour lo faire voir, prenons l'angle mit et les deux transversales om et ot qui partent du point o. On a (p. igi)
Ainsi ;i est bien le centre de courbure demandé.
Un triangle abm {fig. 126) de grandeur invariable se déplace de
façon que a décrive la courbe (a) et b la courbe (b) : on demande le centre de courbure [i-de la courbe (m) décrite par m, connaissant, pour la position du triangle abm, le centre de courbure a de (a) e( le centre de courbure ,B de (b).
Le centre instantané o est le point de rencontre des droites «ï, Ap, La droite mo est la normale à {m). Prenons sur a-t et i^ les points c et rf, tels que
points o, c, d est alors la circonfé-
Joignons le point « au point P; cette droite rencontre n6 an point/. Dans l'angle afo, les deux transversales oa, ob donnent (p. 191)
(^ - Ta) ^^ = \^-Tb) ^b^--
\i\\ tenant compte des égalités précédentes, il vient
ocûy.aof..od.n^bo.f.
Il résulte de là que cd est parylléle hof. De même, ai le point ji était connu, on trouverait que ce est parallèle à og, le point e étant tel que
Mais les angles ceo, cdo sont égauï- donc l'angle eog est égal à l'angle dof.
D'après cela, on a la construction suivante ; Après avoir déterminé o, on trace la droite ap. Elle coupe ab en f. On construit l'angle mog égal à l'angle bof : là droite ag rencontre mo au centre de courbure demandé (i (').
Appliquons cette construction à la reclierclie du centre de courbure de l'enveloppe d'une droite L du plan du triangle abm, en déterminant le centre de courbure de la courbe décrite par le point qui est à l'infini sur la perpendiculaire oX abaissée de o sur L. Menons la droite oh telle que l'angle XoA soit égal à l'angle bof. Celte droite oh rencontre au point h la droite qui joint le point a au point décrivant, c'est-à-dire la perpendiculaire «A à L ; la droite /i« coupe la perpendiculaire oX à L au centre de courbure 1 cherché. Comme on pouvait le prévoir, ce point est sur la circonférence I.
Nous avons fait remarquer précédemment que la circonférence lest
tangente à la circoinérence F, base de la roulette; nous allons utiliser cette propriété.
Une droite ab du plan de la figure mobile {Jig- i2j) reste tangente à une courbe L, le point a décrit {a) : on demande de construire la tangente pour le centre instantané o à la base de la roulette qui permet d'obtenir le déplacement épicycloïdal du plan de la figure mobile.
r la droite o«, eoiistruisons le point c de façon que int n étant le centre de coui-Luve de («). Pour cek
|)oint o la droite ot parallèlement à ab. Cette droite est coupée pai' la droite il au point t : la perpendiculaire te à ab donne le point c.
La circonférence qui contient le point c, le point o et le centre de courbure >. de L est la cireonférenee I. On sait que cette courbe est tangente en 0 à la base de la roulette; on a alors la normale en o à celte courbe en menant la droite ok qui joint le point o au point de rencontre k des perpendiculaires ck, ).k aux droites oa, ol.
Cette construction très simple peut être utilement employée lorsqu'il s'agit de construire le centre de courbure de la ligne décrite par un point qui fait partie d'une figure mobile de grandeur variable. Je vais donner un exemple.
Exemple de détermination du centre de courbure de la ligne décrite par un point d'une figure mobile de grandeur variable. — Une droite aa' {fig. laS) de longueur variable reste tangente à une courbe L; ses extrémités décrivent les courbes (a) et {a') .on demande de construii'e le centre de courbure de la courbe (a"), lieu des points tels que a", qui détermine sur la droite aa' des segments proportionnels.
La normale au point a" à (a") s'obtient en joignant le point a" au point o", qui est tel que
riQiiE
Pendant le déplacement de aa', la droite oo' reste tangente à la développée de L; ses extrémités décrivent des courbes dont on sait construire les normales ok, o' k' . D'après ce qui précède, on peut déterminer Ih normale o" k" à la courbe lieu des points o" , qui sont tels que
Il suffit, pour cela, de joindre le point o" au point k' , déternainé de
çon nue tttj = —r-i = — n ■ Connaissant k" , on proiette ce point sur ■ ^ ' k k" oo aa" ' i j i
fl" au point c" , ou iibaisse la perpendiculaire c" t sur la paiallcle
menée du point o" à aa' : la droite tl coupe la normale o" u" au centre de courbure a," cherché.
Inversement, on peut construire le centre de courbure X de l'enveloppe L d'une droite mobile sur laquelle trois courbes (a), (a'), {a") déterminent constamment des serments proportionnels, connaissant les centres de courbure de ces courbes données.
Pour cela, on détermine les trois droites c A, c' A', c"^'' et Ton cherche une droite kk' telle que l'on ait -^rp = -i— »■ Le point X oii cette droite rencontre la normale lo est le centre de courbure de l'enveloppe L.
Si la droite mobile remplissant les conditions imposées reste constamment normale à {a), le point ), ainsi déterminé est le centre de courbure de la développée de {a).
Appliquons ceci à une ellipse.
Construire le centre de courbure de la développée d'une ellipse. ~ La normale a une ellipse (Jtff- 129) est partagée par cette ellipse et par les axes de cette courbe en segments proportionnels. Si, en se déplaçant, elle reste normale à l'ellipse, le centre de courbure de son enveloppe est le centre de courbure de la développée de l'eliipse; em-
ploj'ons alors la construction précédente. On a l'ellipse {a) dont le centre de courbure est le point /. Les centres de courbure des axes («') et («') sont à l'infini. On a alors c' en prenant sur le prolongement dea'o' un segment o' c' égal à a'o'. De même pour c' , Puis on élève les perpendiculaires c'k', c" k". Ces droites se coupent en e' : en me-
ine parallèle à ae, V l'k !a perpendiculai
! le point cherché ou a bien
ï,/t" ~ aa!'
comme le montrent les figures semblables tuea!' a, t' ii' e' k"\.
Transformons celle construction. Les points e, /, e' sont en ligne droite et l'on a ef=--fe'. Mais ef est partagée en deux parties égales par la diagonale qr, qui, d'après une remarque faite à la fin de la quatorzième Leçon, est parallèle à ae et contient l; on a dooc
Par suite, comme les droites «e, il et e"k sont parallèles outre elles, on a l\ r^'ilg.
On obtient donc le point X en portant à partir de l, sur la perpendiculaii'e à la normale al, un segment l\ triple du segment Ig intercepté sur cette perpendiculaire par le diamètre ae et la nor-
Nous retrouvons ainsi un résultat dû à Maclaurin (Proprïélés générales des courbes algébriques et Traité des fluxions.)
Sur le déplacement infiniment petit d'une figure polygonale de forme variable ( ' )■ — Les élémenls d'une figure polj'gonale, côtés et angles, varient pendant le déplacement; cherchons d'abord les expressions des variations de grandeur de ces éléments. Nous déterminerons ensuite le rapport des chemins élémentaires parcourus par les extrémités d'un côté; cela nous permettra d'établir une liaison entre les côtés successifs du polygone.
ab {fig- i3o), dont la longueur est l, se déplace en restant tangent à E, le point a décrit {a), cl h la courbe {b) : on dentçinde la varia/tion de longueur de l pour un déplacement infiniment petit de ab.
Prenons sur ab le segment ac de grandeur invariable. Pour un déplacement infiniment petit de a sur (a), on a, relativement à ce segment, le centre instantané a. Eu désignant par rffl l'angle de contingence de E, on a, en désignant par e, la nouvelle position de e, aprè'^ un déplacement infiniment petit de ae,
Be même, en prenant le segment de grandeur invariable be et le
(') Voir BouB, Cours de Mécanique et de Machines. Cinématique, p. 5i, et Nouvelles Annales de Mathématiques, i" série, t. XVI, p. 3aa ; 18J7.
Grouard, Sur les Jigui'es semblables {Bulletin de la Société philomathique, 1870).
AousT (l'abbé), Analyse injinilésintale des courbes planes, 1873.
LTGC1^E, Sur quelques propriétés géométriques du déplacement d'une figure plane sui- son plan {Nouvelles Annales de Mathématiques, 3" série, t. XII, 1873).
BuRUEsTEK, Kinematisck-geometrisctte Untersuchungen derBeivegung àhnlich verânderlicher ebener Système { SchlSmilch's Zeitschrift, t. XIX, XX et XXIH , 1874).
M. LevY, Sur la Cinématique des figures continues sur les surfaces courbes et, en général, dans les variétés planes et courbes ( Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 1" avril 1878).
GEisENHErMER Bccherckes sur le mouvement d'un système mobile qui reste semblabl a lu né {Zeitschrift filr Mathematilc u. Physik, t. XXIV, p. tag; 7879).
G n u n C nstruction défigures en affinité au moyen de systèmes qui s n u n n anl semblables à eux-mêmes {loc. cit., p. 345).
G QE u R lation entre les rayons de courbure de deua: courbes récip q II tea es ou inverses { loc. cit. ), t. XXV, p. îoo.
F M Mu ment des figures gui se conservent semblables à elles-mêmes (J n Ide Ba aglini, t. XVII).
D'Oe.iosE, Articles dans (es Nouvelles Annales de Mathématiques, 5' 5érle, t. XIX, XX, et 3= série, t. I et II.
centre înstanlauc 3, o
Mais e, ej, en négligeant des infiniment petits d'ordre supérieur, est égal à la variation de longueur de ab; on a donc l'expression de-
Dan5 le cas part
e courbe parallèle à E, le point p
est le point de rencontre de deux normales de li, et, si ces deux courbes sont infiniment voisines, ce point de rencontre est le centre de courbure £ de E; on a alors
Lorsqu'un segment mobile se déplace parallèlement à lui-même, Iii variation de sa longueur est la somme algébrique des projections sur ce segment des chemins parcourus par ses extrémités.
On demande la variation de gi-andeur d'un ajigle mobile.
Prenons l'angle abc, dont le c6té hc reste constamment tangent à Iei la courbe C,
Pour un déplacement infiniment petit de b sur (è), la variation do l'angle abc, ou *, est la difl~crence des angles de contingence des
OÉOMÉTHJE ClNÉMiTIOL'E.
courbes C et 1^. En employant le centre instantané p, on ;
d{b) -^ b'^.dfi pour l'arc infiniment petit d{b) décrit par b sur {b), d'oi!
mplojani le centre i.
■ Y relatif à hc, on a
dlJA
Enfin, si l'on prend le rapport des expressions de d{a) et de d(b), o a la formule
Donnons quelques applications. Nous pouvons d'abord faire reraar quer que la formule (i) permet de retrouver très simplement la con struction que nous avons donnée (p. 172) de la normale à la courb qui partage constamment ab en segments proportionnels (^).
On Joint constamment par une droite {fig. r3i) l'extrémité a de l'aiguille des heures à l'extrémité b de l'aiguille des minutes : on demande le centre de courbure de l'enveloppe de cette droite.
Appelons e le point où ab louche son enveloppe. Comme l'extré-
{')Enn
na;î^. ■
appliqua
a formule (i), n
yGoosle
mployant la formule (3), on vc
s xg- parallèlemeiiL au rayon ob, on a
bp=,^aff.
! eff, el, comme eg r= ae, on conclut que, Fi g. i32.
pour avoir le point e, on prend le point de diviùon le plus rapproché de a lorsqu'on a partagé ah en treise parties égales.
Puisque le point de contact de l'enveloppe E de ah partage toujours cette droite en segments proportionnels, oq voit, en appliquant la formule (i'), que le centre de courbure t de K s'obtient en partageant ï^ en treize parties égales et en prenant le point de division le plus rapproché de a. (').
Les côtés d'un triangle ahm mobile (Jig. iZ-î) et de grandeur variable restent tangents à trois courbes données ; les sommets a et h
(') E est une épicycloïde. Cela Deuai points décrivant dans h anguli
suite de ce théorème dû à M. Foubei ; même plan deux cercles avec des vitesses proportionnelles, tout point qui divise dans un rapla droite Joignant à chaque instant les deux premiers points épicycloïde {Bulletin de la Société philomatique, séance du 16 mai
iocARD, Nouvelles Annales de Mat/iémaliques, a' série, t XI, p. Sag. HT, Annales de la Socie'té scientifique de Bruxelles, p. i53; 1880.
décrivent deux courbes données : on demanc courbe décrite par le sommet m.
Pour un déplacement infinimenl petit de ab, o formule (3),
rf(6)
^ nU£.
ibre c,
3S trois ég
...if-. m,,;
On a donc la normale demandée en construisant une droite issue de m et qui soit partagée par g a' et f^' en segments m\>.' , m\x dont le rapport est déterminé.
On voit aussi de la même manière que, si l'on donne les courbes décrites par les trois sommets du triangle mobile, ainsi que les courbes enveloppées par les deux côtés am, bm, on détermine le point e OLi ah touche son enveloppe en construisant une perpendiculaire à cette droite, de façon que le rapport j-^ soit égal à un rapport déterminé. Tout cela est vrai pour un polygone variable d'un nombre quelconque de côtés.
Dans sa Statique, Mobius a considéré seulement le cas particulier où le polygone a ses côtés de grandeur constante. De pareils polygones forment ce qu'on appelle maintenant un système articulé. Plus loin, je dirai quelques mots sur les quadrilatères articulés.
Remarquons que la construction qui donne m\). est linéaire. L'ensemble des tracés qui conduisent à cette droite est une certaine figure polygonale dont on peut, d'après ce qui précède, déterminer les éléments qui servent à définir son déplacement infiniment petit, c'està-dire les tangentes aux lignes décrites par ses sommets et les points où les côtés touchent leurs enveloppes. Mais le point où m^ touche son enveloppe est le centre de courbure de (nt); on a donc le moyen de construire ce centre de courbure. Pour arriver à cette solution, on
esL coLiduiL à se donner les centres de courbure des lignes (a) et (b) et des courbes enveloppées parles trois côtés du triangle.
On donne une ellipse {fig. i33); on prend un triangle m}}.g, dont les côtés sont la normale m [i, le diamètre passant par m, et la perpendiculaire élevée du centre de courbure }i.à la normale ni]i, : on demande la normale en g à la courbe décrite par ce point lorsque m décrit l'ellipse donnée.
illtfl
-, de courbure de la l appliquons la forn
d{m) m',x dif) " .fl • d{p.} f.).
tUsV «•»'
dis) S.f
diSr^fr,-
dévclopiiée nule (3), on
ibre
il membre ces égal mi,..gf
ités, il vient
D'après cela, on obtient h par cette construction : on mène du point ^ la parallèle \j.e à om, cette droite rencontre gc au point e; la perpendiculaire à om menée du point e rencontre la perpendiculaire \h à (iX au point h. La droite gh est la normale demandée.
Connaissant cette DOrmale et sachant que |*X est égal à trois fois^|i, on n'a rju'à prendre le point « de façon (jue Xv soit égal à trois fois X /(
pour obtenir en ce point -j le centre de courbure de la ddi>e/oppée de l'ellipse.
Éteint donnés un point fixe a et une circonférence de centre c, on demande le centre de courbure de la courbe {m) {Jî g. i34, ovale de X)escaTles), Ueudespoints telsque m, pour lequelona—r^ consi. (').
Appelons X celte constante. On trouve facilement que la tangente mC en m s'obtient en joignant le point m aii point de rencontre ( des
perpendicidair telle c\\n;
\ droite? am, bm, ou que la normale m/iest
désignant par \i. le centre de courbure cherché cl appliquant la formule (s), il vient
matangamn mi taiigtmji relation qui montre que, en élevant à la normale mn les pcrpcndi-
( ' ) Voir Annali di Matematica di Torlotird, t. I, p. 364 ;
cataires 'J.g, -(h, on obtient sur ma, inh les points g et li, et que la droite gh détermine \). sur mn.
La formule (i) peut s'écrire sous celle forme, donnée par Newton (') {fig. .30),
d{a)^ae.at
d{b)' be.bt'
les droites at, bt étant les tangentes à (a) et à (&).
Si le point e est à l'infini, c'est-à-dire si la droite mobile se déplace parallèlement à elle-même, on a simplement
d(a) al d(b)~ F('
ce qu'il est facile de voir directement. Appliquons cette dernière formule.
On donne (Jig. i35) une droite D et une courbe {a). Sur les ordonnées telles que ap, parallèles entre elles, on construit des triangles semblables au triangle apm ; les sommets tels que m appar-
tiennent à une courbe (m) : on demande ta relation entre le rayon de courbure p„tde {m) en m et le rayon de courbure pa de (a) pour le point a.
Il résulte immédiatement de la génération de (m) que les tan- !>:entes at, mt aux courbes (n), (»i) se coupent sur D. Lorsque l'on déplace a sur (a) la droite am reste parallèle à elle-
d{a) al d{m) nu
L'arc d{a) est égal au produit de p„ par l'angle de contingence ( ' ) Traclatus de quadixiti'rn curi-aruni, opusculum III, p. aoG.
l.eom,
= cet .„gle e,l égal à ''-!§,
p„ at X a(
p„, hfx.'^C
somme i
1 est facile de le voir,
Telle est la relation cherciicc.
On peut remarquer que — ^ est constant et que cette relation s'applique aussi à la courbe (m) considérée comme lieu des points qui partagent dans un rapport constant les ordonnées telles que «^de la courbe («).
Si le point de la courbe (a) est tel que sa tangente est parallèle à D, la relation précédente donne simplement —r pour le rapport des rayons de courbure aux points correspondants de («) et de {m)- Cette circonstance se présente pour le point C {fig- 70 ) de l'ellipse perspective cavalière du cercle. Appelons p. le rayon de courbure de cette courbe pour le point C. On a, d'après la remarque précédente,
p = oc,x?5! = !5b'
' ol ol
On retrouve ainsi que : pour un point d'une ellipse le rayon de courbure de cette courbe est égal au carré du demi-diamètre parallèle à la tangente en ce point divisé par la distance du centre à cette tangente.
Dans le cas particulier ofiam (Jig. 1 35) est parallèle à D, les rayons de courbure p„ et p,„ sont simplement proportionnels aux cubes destangentes at, mt.
On arrive au même résultat si (a) et (m) forment une seule courbe dont D est un diamètre. Ceci est applicable à une ellipse, donc ; En deux points d'une ellipse, les rayons de courbure sont entre eux comme les cubes des tangentes à la courbe, qui sont issues de ces points et qui sont limitées à leur point de rencontre.
Voici encore quelques applications des formules précédentes.
Un triangle rectangle aoa' , mobile et variable de grandeur, a son sommet de l'angle droit au point ficee o, son hypoténuse touche au sommet a une courbe {a) : construire la tangente en a' à la courbe {a') décrite par ce point lors/jue aparcourt (a).
Fig. i3(i.
Mè
bure cle{«) pour Je point a
lale en a' ii (a')el a. Je centre de c
d{a') a'e Mais, en appelant tiO Ja variation angulaire de oa el oa' , l(a)= a^d% d(a')= a'hdH,
d'ofi
Par suite
ai
ag
ÔTi
que J'on peut éeriro
Élevons au point a' Ja perpendiculaire a' l a point oCi cette droite rencontre ao. On a
ag pa' a' h ph
. Appelons / le
Portant ces valeurs dans la relation précédente, il vient pi pa-
Il résulte de là que ; la normale a'e est parallèle à la droite al ou que la tangente a' a" à {a') est la perpendiculaire abaissée de a' sur al.
Appelons a° le point de rencontre de cette tangente avec oa et cherchons l'expression de oa" en fonction de oa et de l'angle oi que oa fait avec (a).
Le point a" est le point de rencontre des hauteurs du triangle taa' . Menons oq parallèlement à a°î, c'est-à-dire perpendiculairement àaa'. L'angle a" ta, coupé par les transversales oa et oq donne (p. 191)
appelant p„ le rayon de courbure de (a) e
Appliquons cette relation : Ona{fig. ii&) des courbes («),(«!), ... dans un plan; on mène d'un point o une transversale qui les coupe aux points a, «j, . . . ; o/î prend sur cette droite un point m, tel que X £ ^, X3 ei X,„ étant des constantes. Lorsque la tranversale
tourne autour de o, les points, tels que m, appartiennent à une courbe (m), dont on demande le rayon de courbure p,„.
Pour une variation angulaire infiniment petite de la transversale,
Soit mm' là tangente en m à {m). On a, poi lairc d^ de la transversale oam,
Portons ces valeui-s dans la relation précodcntG, il vient
Cette relation permet de construire la "tangente m' hi. Elle est de même forme que la relation d'où nous sommes partis. Opérant alors encore de la même manière, on a, en appelant m" un point analogue
^ oa" ~ om"' Mais nous avons trouvé précédemment
Introduisons ces valeurs de — i,, — ^ dansla derniè
Telle est la relation qui donne le rayon de courbure p,„. Voici quelques conséquences résultant de cette relation :
On a deua courbes ( a), («i ). Sur une transversale issue du point fixe o,on prend le point m, harmonique conjuguée de o par rapport aux points a et a,, où les courbes sont coupées par la transversale. Lorsque cette transversale tourne autour de o, le point m décrit une courbe {m), et l'on a, en conservant les notations pi-écédenles,
iasin^o) p„jSin'ï.
poin
le poi
1 0 est !
Ht m est
> rinfini, les transvi , le milieu du segmei
alaa^.Ux
\. parallèles courbe (m)
est alors une ligne diamétrale. La relalioii précédente subsiste <;t permet de délerminer le rayon de courbure en un point de cette ligue diamétrale.
Prenons une courbe géométrique A, supposons que les coefficients constants, tels que X^, soient égaws à l'unité et que 1„, soit égal au degré de la courbe A. Le point m est alors, par rapport à o, le centre des moyennes harmoniques des points n, «,, . . ., oti la transversale coupe A (p. 194)- On sait, en vertu d'un théorème dû à Cotes, (jue la courbe (m) esi une ligne droite. Le rayon de courbure p,„ est alors infini et la relation précédente donne
Le théorème exprimé par celte relation est dCt au D' Reiss {'). On peut en déduire divers théorèmes, entre autres celui qui est relatif au\ rayons de courbure en deux, points d'une conique (p, 211).
On a des courues A, Aj, ... {/Ig: i^j) dans un plan, on mène une tangente à chacune de ces courbes parallèlement à une certaine direction.
jSoienC oa la distance du point fia^e o à la tangente à K et X^ une constante. Parallèlement à toutes ces tangentes on prend une droite dont la distance om au point 0 soit telle que l'on ait
Lorsque la direction des tangentes varie, celle parallèle 1 'oppe une courbe M : quelle est la relation entre le rayon de t 'jure p,„ de M et les rayons de courbure des courbes données.
YÀ„rf.on = )„„rf.û
Menons opq parallèlement aux. langentes parallèles.
La droite ap est la normale en « à la podaire de A par rapport à o vX inq est la normale en m ù la podaire de M par rapport au même point. On a alors, pour nue variation angulaire doi de la direction des tangentes
d.oa — op. dit), d.oin — oq .diji.
Portons ces valeni's dans la relation précédente, elle devient
D'après ceia, il y a entre le point q elles points tels que p la mômft relation <[u'entre m et les points tels que a.
Opérons, relativement aux points p, . . . et 7, comme nous venons de le faire. Appelons a et [i les centres de courbure de A et de M : on
Reiranchatit term
telle est la relation clierciiée.
Dans le cas particolier oti il s'agit d'une seule courbe géométrique à laquelle on mène toutes les tangentes parallèles entre elles, si les coefficients, tels que ^o, sont égaux à l'unité, on sait que M se réduit à un point. Le i-ajon de courbure p„i est alors égal à o et la relation précédente se réduit à
Le théorème exprimé par ccLtc relation est dû à Duhamel (').
Sur les quadrilatères articulés. — Un quadrilalère est formé par
(') Journal de Mathématiques, 1™ série, t, IV, p. .W4.
quatre tiges, trois de ses sommets sont respectivement liés à des points fiâmes par des tiges, construire, pour une position du quadrilatère, la normale à la ligne que décrit le quatrième sommet pendant la déformation du quadrilatère.
abcm {Jîg. t38) esl le quadrilatè ac, bm, cm. Le point a est lié au point
fort
ries
r la tige ao ; le point b est
lié au point o' par la tige bo' ; e lige co". Le sommet libre estw) Le point (le rencontre a, des relatif au côté ab; on a
ifin le point c est lié an point o" par la
ipliant membre à mite de cette relat
djm) d{c) d(c) d(a)-
<fc^a6xp«,
< i^cx ya.
/ertu d'un théorème coni les diagonales a\i., p-f du quadrilatère formé par les quatre instantanés de rotation des côtés passent par les points de re p et q des câtés opposés du quadrilatère abcm (^).
centres
1 (Annales des Mines, i8j3 ei
ai8 SIÎCONDE PAHTIE. — OL'INZIEUB LEÇON.
D'après cela, on mène la droite pa.; elle coupe o" c au poiiit |a. Lïi droite in\i. est la normale demandée.
Cas particulier, — Supposons que les diagonales du quadrilatère abcm se rencontrent à angle droit (elles se coupent alors toujours à angle droit pendant la déformation du quadrilatère) el que les points ')', o' soient confondus en un seul point o' sur la diagonale ani.
On a alors {Jig. iSg) un système articulé pour lequel les points o',
a, m restent toujours en ligne droite, quelle que soit la dcformalion du quadrilatère.
Appliquons la construction précédente. Menons la droite pi, elle coupe o' c au point [j. : la droite ;/i|i est la normale à la courbe {m) décrite par le sommet libre m.
L'heitagone o' bcp^mo' a ses sommets sur les droites o'c cl pm ; en vertu du théorème de Pascal, les points de rencontre a, a, i de ses côtés opposés sont en ligne droite. Il résulte de là que la normale en m à (m) passe par le point i où oa rencontre la diagonale bc.
Comme le point i ne dépend pas de la position de m sur o' a, on voit que, si l'on relie par des tiges aux points betc différents points de o' a, les normales aax courbes décrites par ces points concourent au même point i.
Prenons, en particulier, le point /n, symétrique de a par rapport à
Brochure; Mallet-Bachelier, i853). — W. Schell, Théorie der Bewegung uitd âer Kràfte, Leipzig, '879; — J. Peiebsen, Kinematik, Copenhague, i885, — G- Ytso, Sur une propriété géométrigue, statique et cinématique des polygones articulés (Comptes rendus de l'Institut lOyal lombard, l'i mars (8S5).
bc, la normale à Ja courbe (ï«i) ilécrile par ce point est inii. De la connaissance de cette normale, on peut déduire que {/Wj) esl une circonférence de cercle dont le centre est le point où chJi rencontre flo'; mais nous allons démontrer directement cette propriété. Supposons que l'on décrive une circonférence du point c comme centre avec fa pour rayon, on a o'd X o'7W[!!= o'c — ■ ca =i consi.
La courbe («*,) est donc la transformée par rayons vecteurs récjjiroques (') de la circonférence décrite par n, c'est-à-dire une circonférence de cercle dont le centre est sur o'o el telle que le rayon nij»
Si oa est égal à oo', alors inii est parallèle à oo' , et m, décrit uiu> droite perpendiculaire à oo' (*).
La circonférence décrite dn point ( comme centre avec ia pour rayon est tangente aux circonférences («) el (wi). Le lieu (t) des points, tels que i, est alors le lieu de points également distants des deux, circonférences : c'est donc une conique.
La tangente en i à cette courhe est ib. On voit ainsi que la diagonnle bc enveloppe une conique.
Prenons le symétrique nîj de m par rapport à bc, et formons avei'
(') La transformée par rayons vecteurs réciproques d'une figure donnée est lu ligure qa'on obtient en portant, à partir d'un point ou pâle fixe, sar les rayons vecteurs partant de ce point et aboutissant aux points de ia figure donnée, des longueurs inversement proportionnelles aux longueurs de ces rayons vecteurs. C'est en 1836 que M. Bellivitis a fait connaître ce mode de transformation. Kn 1843, lil. Stcbbs l'a trouvé de son cûté et a publié un Mémoire : On the application of a new melhod to the Geometry oj Curves and cwve Sur/aces (Philosophical Magazine, t. XXIII). A la suite d'un Mémoire de Sir VV. TnoMSOs, Liol'- YLLE {Journal de Mathématiques 1" série t XII) a étudié ue mode de tians formation auquel il a donné le nom actuel de ti ans/01 mation pai rajonrlecteurs lectproques II a trouvé quf pai une seule ti ansformation on peut ibtemr le réoultat de transfoi mitions successncs J u démontré géoraétiiqiip ment cette très belle piopriélé dans Ir Journal de Mathématiques a' scric t \\1 M A HiBST a employé ce mode de ti ansformation dans son Mémoir \ui la toarbui e d une sei le de su/tces et de lignes {Ânaali di Matemalica l. Il) . On trouve l exposiiion élémentaire do ce modede transf 01 mation dans 1 Ouvrage de M. P. Sebret : Des méthodes en Géométrie, p. 21, et dans le Traité de GeomeiWe de MM. RoucH* et de Comberoïsse, 1" Pai'tie, p. a47, et II' Partie, p. 372.
(') Ce système articulé, composé de sept tiges, au moyen duquel on peut tracer une circonférence ou une droite, est dft au général Peaucellicr, qui l'a découvert en iSGj. Depuis, MM. H*rt et Keupk ont fait connaître, pour le même objet, des systèmes articulés composés de cinq tiges. Le professeur J.-J. Svlvssteb a fait, i\ l'Institution royale de la Grande-Bretagne, une très intéressante lecture qui a provoqué de nombreuï travaux sur les systèmes articulés. [Voir Lioclie, Liste de-i travaux sur les compas composés (Bulletin des Sciences mathématiques, i883). j
