SECONDE PARTIE, — QUINZIEME LEÇON

des liges le losange incin^b. Lorsqu'on déforme le système à tiges, les points m et m^ font partie d'une courbe qui rencontre la droite o' a aux deux positions de m et m^ qu'on obtient en amenant le point décrivant sur la droite o' a. La courbe (m) est donc du quatrième ordre. On it

- un = .

-cm =const.

La courbe ordre {').

est donc

une an

allagmatique du

quatrième

Décrivons di rayon. Appelo l'anallagmatiq!

circonférence

ipoii nsC le (/) coup

it ( comme centre une ( cette circonférence, elle

n). Mais, comme o'i e orthogonalement la

circonférence a' ! est tangente ei

.ec im pour a m et m^, à cm , celte décrite du

point o' comme centre avec un rayon égal à \o'c ^cm . On peut dire alors que l'anallagmatiq ue du quatrième degré {m) est l'enveloppe de circonférences dont les centres sont sur la conique (i) et qui coupent orthogonalement une circonférence donnée (^).

Si le point décrivant est ms, symétrique de o' par rapport à bc, alors (»*}) est une podaire de conique, car cette courbe est semblable à la courbe lieu du point de rencontre des diagonales am, bc, et cette courbe est la podaire de o' par rapport à la conique (i).

Clierchons sur la normale mi le point e centre de courbure de l'anallagmatique (m). Pour un déplacement infiniment petit du quadrilatère articulé, le triangle aiin se déforme et le point (' se déplace sur la tangente ib à la conique (().

Elevons en o la perpendiculaire oj à oi, celte droite coupe en /' la jiaraûèle i/ menée du point i à o' m. On a

d{a) dii) '-

;!icrclié él

evons

droite i/.

On a

dii) d{m) ■

, du point o

(') M. MociARD 3 donné le aora d'anallagmaligiie à une courbe qu forme en elle-même par rayons vecteurs réciproques.

(') Cette génération des anallagroatiques du quatrième degré (

en /' et q les droites mi, ao. On y

d{m) ^mr (l{a) aq

Multiplions membre à membre ces trois égalités, il vient

ao X il X. irtr = ij x me x aq.

Appelons w et tf les angles que fout ia et im avec ib\ on a

Portant ces valeurs dans la relation précédente, il vient

Le triangle aiin, coupé par ta transversale o' og, donne ao X ig X mo'= io x ao'x mg.

i-ff

Coupons le faisceau o' i, o'm, o'e, o' g par la parallèle ij a o'm. Le rapport anharmonique qui est dans le premier membre de dernière égalité est égal à -r-, (p. igS). On a alors

une pi perper d'où l'i

ig' au

contre

Sir

quelle

suite, on construit e' de la manière suivante : on abaisse de irpendi cul aire sur mi; du pied de cette droite on abaisse \ idiculaire sur ig' ; cette dernière droite rencontre ia en un po élève une perpendiculaire à ia : cette perpendiculaire coi point e'. Il suffit maintenant de mener la droite e'o' : elle ri

(' au centre de courbure demandé.

on applique celte construction à la courbe {m,), on trouveqi que soit la position du quadrilatère, le centre de courbure rs sur o'o. Ce centre de courbure est alors unique, et nous ns que la courbe (m,) est une circonférence de cercle.

L'appareil du géuérai l^eaiicellier se construit en prenant ur sauge abcm (Jlg. i4o) comme quadrilatère articulé. Cherchons, < ce cas, les rapports des chemins élémentaires parcourus par les s mets opposés du losange (').

Prenons d'abord les sommets a et m. Les segments dos normale

s de cercle. Les arcs élémeittaii ilécrits par ces points sont entre euv comme les segments couipris s co', bo' entre c ou 6 et les points 0(1 la perpendiculaire élevée en i à rencontre co' , ho' . Mais ces segments sont également inclinés sur c nii a alors

d(c) cl

d{b) ib'

(') Voir il ce sujet, dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, 1° iè t. XX, p. 456, 3* série, t. III, p. igt) des Notes de M. i>'Oc\r.sE, et dans le mO Recueil, 3' série, t. I, p. iS3, un Article de M. Ligcixe.