SURFACES ENVELOPPES. — SURFACES RÉGLÉES

Surface enveloppe, enveloppée, caracti^nstiquc. — Métliode des enveloppées cii conscriles par la déterminatioii des lignes d'ombre ou de perspective. - Perspective cavalière d'tine splifre. — Surface enveloppe d'nii plan mobile. - Surfaces réglées. — Surfaces gauches. — Cône directeur. — Surfaces dévr loppables.

Surface enveloppe, enveloppée, caractéristique {'). — Le lieu des (lositions successives d'une ligne qui se d<?place en se déformanl suivant une certaine loi est une surface. On peut aussi considérer une surface quelconque (S) comme Venveloppe d'une surface vnriable (E); voici en quoi consiste ce mode de génération.

Concevons des surfaces (E) construites au moyen d'un même mode de génération dépendant d'un seul élément variable. Deus. surfaces (E), infiniment voisines, déterminent par leur intersection une ligne E : le lieu des lignes, telles queE, est une surface (S) qui est Venveloppe des surfaces (E).

Les surfaces (E) sont les enveloppées de (S).

La courbe E est la caractéristique de la surface enveloppe (S).

Chaque enveloppée est tangente à l'enveloppe le long de la caractéristique.

Pour montrer qu'il y a contact de l'enveloppe (S) et de l'enveloppée en un point m de la caractéristique, menons des plans par ce point»!. Chacvm de ces plans coupe les enveloppées de (S), infiniment voisines, suivant des courbes infiniment voisines dont l'enveloppe est la ligne d'intersection du plan sécant et de la surface (S). Mais cette ligne enveloppe est tangente à ses enveloppées ;

(') MoiicE, Analyse iipplitjuéi' à la GéomÉIrie.

on a donc, à partir du point m, qiict que soit le plan siicanl mené par ce point, la courbe d'intersection avec la surface (S) qui est tangente à la courbe d'intersection du plan sécant cl de l'enveloppée. Le plan tangent en m à la surface enveloppe et à l'enveloppée est donc le même.

Cela est vrai pour tous les points de la caractéristique; c'est ce que l'on exprime en disant que In sur/ace enveloppe eC l'une de ses enveloppées sont circonscrites l'une à l'autre le long- de la caractéristique.

Une surface peut, de bien des manières, être considérée comme enveloppe. Le tore peut être engendré par une sphère de grandeur invariable qui tourne autour d'une droite; dans ce cas, les enveloppées du tore sont des sphères égales; les caractéristiques sont les méridiens du tore. On peut encore considérer le tore comme l'enveloppe de sphères dontles centres sontsurl'axe de révolution; on a une série de sphères inégales, et deux sphères infiniment voisines se coupent suivant un parallèle du tore.

Cette deuxième manière de considérer le tore comme enveloppe de sphères est applicable à une surface de révolution quelconque ; nous allons faire usage de cette remarque à propos du problème

Déterminer l'intersection de deux surfaces de r, les axes se rencontrent.

Projetons les dpus surfaces {fig- i4i) sur un plai axes. Pour construire un point de la ligne d'intersection, on décrit une sphère dont le centre est au point de rencontre de ces axes; cette sphère coupe chacune des surfaces de révolution suivant un parallèle; les plans de ces parallèles sont perpendiculaires au plan de projection. Ces parallèles sont alors projetés suivant de simples droites, et le point de rencontre m de ces droites est un point de la projection de la ligne commune aux deux surfaces.

Les surfaces étant de révolution peuvent être considérées comme l'enveloppe de sphères" qui les touchent le long de leurs parallèles. Le contour apparent de la sphère, qui touche l'une des surfaces de révolution le long du parallèle ab, est une circonférence de cercle doublement tangente aux points o et 6 à la ligne de contour apparent de la surface de révolution. De même, pour l'autre surface

de révolution, le contour apparent de la sphère qui louche celte surface le long du parallèle cd est une circonférence de cercle tangente aiix points c el d an contour apparent de cette surface. Aux points de la ligne d'intersection des deux surfaces projetés en m, ces sphères ont respectivement les mêmes plans tangents que les surfaces dont elles sont les enveloppées; leur ligne d'intersection est donc tangente à la ligne d'intersection des deux surfaces. Mais la ligue d'intersection de ces deux sphères est un petit cercle dont le plan est perpendiculaire aii plan de projection et qui se projette suivant la corde ef; la droite e/doit donc passer par le point m, et

Fis-. i4>-

elle est la tangente en ce point à la projection de la ligne d'intersection des deux surfaces.

Au point de rencontre g' dans l'espace des ligues de contour apparent des deux surfaces, les plans tangents à ces surfaces sont perpendiculaires au plan de projection; la tangente à la courbe d'intersection des deux surfaces se projette donc en un point g el cette courbe est alors projetée sur un plan perpendiculaire à l'une de ces tangentes ; la tangente au point g à cette projection est, par suite, dans le plan osculateur de la courbe au point g".

Cette tangente au point g s'obtient en appliquant la construction que nous venons de donner pour le point m. On prend le parallèle de chacune des surfaces qui passe par le point g', puis les sphères tangentes à ces surfaces le long de ces parallèles, et la projection du petit cercle, intersection de ces sphères, est la tangente au point g.

2^6 .SRfiOSniî P\RTIE. — SEEZIÈMB LEÇON,

Si les deux surfaces sont, par exemple, des ellipsoïdes, la ligne de l'espace esl une ligne du qiiatrième ordre ; mais, le plan des axes étant un plan de symétrie, les points de cette ligne se projettent deus à deux en un même point, et la projection de la courbe de l'espace est alors un arc de section conique.

Cette courbe est d'un niême côté par rapport à sa tangente an point g; le plan osculateur de la courbe de l'espace en g' ne la traverse pas; ce plan osculateur a donc au point ^', avec cette courbe, quatre points infiniment voisins communs.

Il est facile d'arriver autrement à ce résultat.

II y a deux points de la courbe de l'espace projetés en m ; en ces points, la circonférence projetée suivant ef est tangente à la ligne d'intersection des deux surfaces.

Lorsqu'on suppose que les points projetés en m se rapprochent du point ^'', on a constamment une circonférence, analogue à celle qui est projetée suivante/, doublement tang'enle à la ligne d'intersection de l'espace. Lorsqu'on arrive au point g^, les quatre points communs de cette circonférence avec la courbe d'intersection sont réunis en ce point; on a donc au point g' une circonférence ayant avec la courbe quatre points infiniment voisins communs. Cette circonférence esl le cercle osculateur de la courbe; son plan est un plan osculateur qui a avec la courbe quatre points infiniment voisins communs et qui laisse la courbe d'un même côté.

Méthode des enveloppées circonscrites pour la détermination des lignes d'ombre ou de perspective. — En exposant dans la première Leçon les méthodes générales à l'aide desquelles on détermine les ombres, nous avons laissé de côté une méthode que nous allons maintenant développer sous le nom de méthode des enveloppées circonscrites.

Soit à déterminer la ligne d'ombre sur une surface (S){Jig. 142).

Considérons cette surface comme l'enveloppe d'une série de surfaces, et soit C une caractéristique de (S). Cherchons le point de la ligne d'ombre situé sur C. Pour cela, déterminons la ligne d'ombre sur l'enveloppée qui touche (S) le long de la caractéristique C. Cette ligne d'ombre est une courbe qui rencontre C au point m. Le point m est un point de la ligne d'ombre sur (S), car le plan tangent au point m passe par le point lumineux,

puisque le point m est ud point àa la ligne d'ombre de l'enveloppée de (S).

Il est clair que cette méthode n'csl, simple que si la construction

des lignes d'omhre est facile sur les enveloppées particulières que l'on considère pour déterminer la ligne d'ombre sur (S).

Ce que nous disons à propos des ombres est applicable en perspective. Si une surface est considérée comme enveloppe, un point de la ligne de contour apparent de cette surface se détermine en prenant la rencontre d'une de ses caractéristiques avec la ligne de contour apparent de l'enveloppée qui la touche suivant celte caracléristique.

Appliquons cela à la recherche de la perspective cavalière d'une ■iphèrc.

Perspective cavalière d'une s rand cercle horizontal de cette sphè

raçons la perspective i\\\ ifig. ,43). Considérons

tableau. La ligne de eontael de l'un de ces cônes avec la sphère est le cercle de front décrit sur la corde ab\ le sommet du cône est le point de rencontre s des tangentes en a et 6 à la perspective du grand cercle horizontal. Le petit cercle de front, décrit sur ab comme diamètre, est la caractéristique C.

Les lignes de contour apparent du cône sont les tangentes à ee petit cercle de front menées du point s. Les points de contact m et n de ces tangentes sont alors, d'après ce que nous venons de voir, des points qui appartiennent à la ligne de contour apparent de la sphère ; les points m et n sont donc des points de l'ellipse perspective cavalière de la sphère.

Nous pouvons maintenant compléter un théorème que nous avons énoncé précédemment. Noos avons dit (p. isS) que si l'on prend une ellipse et des cordes telles que ab, parallèles à une direction donnée, les circonférences décrites sur ces cordes comme diamètres ont pour enveloppe une e]lij>se; nous pouvons ajouter qu'on obtient, sur l'une de ces circonférences, les points où elle toucbe cette enveloppe en déterminant le pôle s de la corde aÔ, par rapport à l'elhpse donnée, et en prenant la polaire du point s par rapport à la circonférence décrite sur ab : cette polaire coupe cette circonférence aux points m et n, qui sont les points de- Surface enveloppe d'un plan. — Parmi les surfaces simples qu'on peut considérer comme enveloppes, on peut prendre l'enveloppe d'un plan mobile. Dans ce cas, la caractéristique est une droite, et la surface enveloppe touche le plan mobile dans une de ses positions suivant la caractéristique qui est sur ce plan. Cette surface enveloppe peut être considérée comme le lieu des caractéristiques, par conséquent comme un lieu de droites : c'est alors une surface réglée. On désigne sous le nom de surfaces réglées les surfaces engendrées par une droite.

La surface enveloppe d'un plan est une surface réglée qui, d'après ce qui précède, jouit de cette propriété : le plan mobile, dans chacune de ses positions, est tangent à la surface tout le long d'une génératrice.

Comme exemple de surface enveloppe de plan, on peut prendre l'enveloppe des plans normaux à une courbe gauche. Celte enve-

loppe csl le lieu des intersccLÎons des plans normaux successifs de la courbe donnée. Le plan normal en a à la courbe gaucbe est perpendiculaire à la tangente en a; de même, pour le point b, le plan normal est perpendiculaire à la tangente en & à la courbe gauche. La droite d'intersection de ces plans normaux est alors perpendiculaire à un plan parallèle à la tangente en « et à la tangente en b. Si le point b est infiniment voisin du point a, on sait que le plan mené par la tangente en a parallèlement à la tangente en b est le plan osculateur de la courbe; donc la caractéristique du plan normal en a est perpendiculaire au plan osculateur de la courbe gauche ; en outre, elle passe par le point de rencontre de la normale principale en a avec le plan normal en b, qui est le centre de courbure de la courbe. Celte caractéristique est alors la droite que nous avons appelée Vaxe de courbure de la courbe gauche.

Ainsi, la sur/ace enveloppe des plans normaux à une courbe gauche est la sur/ace formée par les axes de courbure de cette courbe.

SUtSFACES RÉGLÉES.

Surfaces gauches, — La surface enveloppe d'un plan mobile noiis amène à faire une première étude des surfaces réglées.

G{Jig. i44) sst la génératrice d'une surface réglée, G' la génératrice infiniment voisine de celle-ci. Menons la perpendiculaire commune oo' à G et G'; la limite des positions du pied o de cette perpendiculaire sur G est ce qu'on appelle \e point central (*). Sur chaque génératrice il y a un point central ; le lieu de ces points centraux est ce qu'on appelle la ligne de striction de la surface réglée. Il ne faut pas croire, d'après la définition du point central, que la ligne de striction rencontre à angle droit les génératrices.

Le plan de G et de la perpendiculaire commune oo' est ce qu'on appelle le plan central pour la génératrice G.

{Coi

:!luAELEs, Mémoire sur les sur/aces engendrées pur une ligne droit: spondaitce mathématique et physique de Qiieielet, t. XI).

Par le point o' menons une parallèle G, à G; par un point a de G menons un plan perpendiculaire à cette droite. Ce plan rencontre G| au point b el G' au pointe. G' étant une génératrice infiniment voisine de G, le point c est infiniment voisin du point a, el la droite ac est la tangente en d à la ligne d'intersection de la surface réglée et du plan mené en a perpendiculairement à G; le plan de G et de la droite ac est alors le p]an langent en a ùla surface réglée.

Cherclions la tangente de l'angle â que ( le plan central; on a

plan lancent fail avec

En désignant par l la distance du point a au poini a, pi l'angle que font entre elles les génératrices G et G', ou, ee qui vient au même, l'angle de G' et de G|, on a

,.„.-« - £tang5.

ab étant la longueur de la perpendiculaire commune à G el G', perpendiculaire que nous désignons par/>, on a donc

en substituant l'angle à la tangente, ces deux quanlilés différanl d'un infiniment petit d'ordre supérieur.

p et T sont des infiniment petits ; si nous les supposons de même ordrcj le rapport - esl fini. JVous îc représenterons par/. : /.■ esl ee

SURFACES heglees. 2ii

(ju'oii appelle ]c paramètre de distribution des plans tangents à la surface réglée pour la génératrice G.

La formule tangfi ^ -r montre que, pour une génératrice. G, la tangente de l'angle que le plan tangent en un point de G fait avec le plan central est proportionnelle à la distance du point que l'on considère au point central sur cette génératrice.

Il suffit de faire varier / pour déterminer les différcates valeurs de tang6, et par suite pour voir comment varie le plan tangent à la surface réglée lorsque l'on prend successivement différents points de la génératrice G.

Lorsque l est infini, tangS est infini : le plan tangent est alors perpendiculaire au plan central, il est parallèle à la génératrice iafinimenl voisine de G ; ^ diminuant, l'angle 9 diminue.

Lorsque /est égal à k, tangS est égal à i; l'angle S est alors égal à 45"- On peut dire aussi ; Le plan mené par G, qui fait avec le plan central un angle de 4^°; touche la surface réglée en un point dont la distance au point central est un segment égal au paramètre de distribution des plans tangents.

Lorsque l est égal à zéro, le plan tangent coïncide avec le plan central. Lorsque a, continuant à se déplacer sur la génératrice, passe de l'autre côté du point o, on trouve alors des plans qui sont, par rapport au plan central, symétriques des plans qu'on avait trouvés pour les points de G d'abord considérés. Et si l'on suppose le point a à l'infini, on retrouve alors un plan perpendiculaire au plan centrai.

Nous voyons qu'à un point partant de l'infini sur G, et parcourant cette droite jusqu'à l'infini, correspond un plan tangent qui tourne autour de G ; ce plan coïncide avec le plan central lorsqu'il a tourné d'un angle droit; puis il continue son mouvement de rotation, et il coïncide avec le plan tangent au point qui est à l'infini sur G après avoir tourné de deux angles droits.

On voit que, lorsque k est fini, l'on a une surface réglée dont les plans tangents sont difTérents pour les divers points de la génératrice G et telle que tout plan mené par G la touche en un point de celte droite. Cette surface réglée fait partie d'une classe de surfaces à laquelle on donne le nojn de surfaces gauches.

Ce que nous venons de trouver peut se voir géométriquement au moyen de la construction de l'angle 8.

Élevons an point central o de G xme perpendiculaire oy égale au paramètre A" et menons la droite Y"-

Dans le triai

,-(oa,

1 = Of tango-/«

donc l'angle ovu est égal à 0.

Pour un autre point a, de G, on obtient de même l'angle 0, correspondant.

En prenant la difTérence de ces angles, on trouve que :

L'angle sous lequel on voit du point y un segment de G est égal à l'angle compris entre les plans qui touchent (G) aux extrémités de ce segment.

J'appelle y le point représentatif as l'élément de surface (G) le long de G (').

Jusqu'à présent nous avons supposé que le paramètre k est fini ; supposons maintenant que k soit infini, c'esl-à-dire que n soit infiniment petit par rapport à p. On a alors sur la surface réglée une génératrice analogue aux génératrices des surfaces cylindriques, c'esl-à-dire parallèle à la génératrice infiniment voisine. Pour une pareille génératrice, tangB := — ; par conséquent, tangQ est nul pour tout point de la génératrice à distance finie du point central; pour ces points, le plan tangent coïncide alors avec le plan central. Pour un point à l'infini, on ne peut pas dire quelle est la direction du plan tangent; tout planmené par la génératrice et qui n'est pas confondu avec le plan central doit être considéré comme tangent à l'infini.

Si k est nul, c'est-à-dire si p est infiniment petit par rapport à a-, tangO ^ -; on a alors une génératrice pour laquelle tangB est infini pour tout point à distance finie du point central; les plans tangents pour ces points sont confondus avec le plan tangent au point qui est à l'infini; le plan langent est unique tout le long de cette génératrice. Lorsque l est nul, on ne peut pas dire quelle est

Il Mémoire d'Optiqut

la direction du plan tangcût; tout [jlan mené par la génératrice et qui n'eslpas confondu avec le plan langent unique le long de cette droite doit être considéré comme tangent au point central.

Lorsqiie k est constamment nul ou infini pour les différentes génératrices, on a une surface appartenant à une densième classe de surfaces pour lesquelles le plan tangent est le même le long de chaque génératrice. On désigne ces surfaces sous le nom de s«/'faces développables.

Dans cette classe de surfaces, à l'exception des surfaces cvlindriques, on ne trouve que celles pour lesquelles p est infiniment petit par rapport à c. En nous reportant à ce que nous avons dit relativement à la plus courte distance des tangentes à une courbe gauche, qui sont infiniment voisines, il en résulte que !e lieu des tangentes à une courbe gauche est une surface développable, et que l'enveloppe d'un plan mobile, en supposant que cetti' enveloppe ne soit pas une sur/ace cylindrique, est une sur/ace telle que la plus courte distance de deux génératrices est infiniment petite par rapporta l'angle que ces droites comprennent entre elles.

Nous allons montrer que cette surjace enveloppe d'un plan m.obile est le lieu des tangentes à une courbe gauche.

Soient G et G' {fig. i^o) deux génératrices d'une surface réglée, a le point central sur G, a' le point central sur C ; aa' est alors un arc de la ligne de sti-iction; aa' est du même ordre que l'angle de G et de G'. Si nous supposions aa' infiniment petit d'un ordre supérieur, nous aurions une génératrice G analogue à une génératrice de surface conique.

Ecartons ce cas. Prenons la perpendiculaire oo' commune à G et G', menons par le point o' une parallèle G, à G, abaissons du point a la perpendiculaire ac sur G( et du point c la perpendiculaire cb sur G'. 11 résulte de cette construction que ah est per-

pendiculaire à G'. Le point «, éUnl le point central sur G, est à une distance infiniment petite du point o, puisque ce point a est la limite des positions du poinl o lorsque G' se rapproche infinimenl de G. Le segment «cest infiniment petit du premier ordre, ainsi que o'c; bc est un infininient petit d'ordre supérieur au premier; alors, dans le triangle acb, ab est un infiniment petit de même ordre que ac, et par suite de même ordre que ad. Il en résulte que dans le triangle ahd l'angle en a' est un angle fini; la ligne de striction coupe donc les génératrices sous des angles finis. C'est le cas des surfaces gauches.

Si ac est d'ordre supérieur au premier, il en est alors de même de ab \ le segment ab est infiniment petit par rapport à aa', l'angle en a' estinfiniment petit, et la ligne de striction est tangente à la génératrice. Ainsi, lorsque, quelle que soit la génératrice, sa distance à la génératrice infiniment voisine est infiniment petite par rapport à l'angle de ces droites, on peut dire que les génératrices de la surface sont tangentes à une courbe gauche.

En résumé, les surfaces de la deuxième classe, en exceptant les surfaces cylindriques et les surfaces coniques, peuvent être considérées comme le lieu des tangentes à une courbe gauche.

Nous sommes ainsi amenés, pour étudier les surfaces développahlcs, à prendre la surface formée par les tangentes à une courbe gauche. Définissons d'abord ce qu'on appelle le cône directeur d'une surface réglée.

Cône directeur. — Si d'un poinl s de l'espace on mène des parallèles aux tangentes d'une courbe gauche, on obtient une surface conique, que nous avons déjà considérée à propos de l'hélice, cl qui, par rapport à la surface développable lieu des tangentes à la courbe gauche, prend le nom de cône directeur {' ), Cette expression de cône directeur est employée d'une manière générale lorsque, pour une surface réglée quelconque, on prend le cône lieu de

(') L'intersection de ce citne directeur et d'une spLére dont le centre est au sommet de ce cône est la courbe que M. P. Serbeï a nommée indicatrUx sphérique de la courbe gauche et dont il a montré l'utilité ( Théorie nouvelle géométriqui; et mécanique des lignes à double courbure, p. -jb ; 1860).

droites menées d'un point fisc parallèlement aux genéralrices de la surface réglée.

Lorsqu'il s'agit d'une surface développable, à une génératrice G correspond sur le cône directeur une génératrice Sg qui lui esl parallèle, et le plan tangent à la surface développable le long de G est parallèle au plan langent au cône le long de sg; le cône directeur de la surface développable peut donc être considéré comme l'enveloppe des plans menés du point s parallèlement aux plans tangents de la surface développable.

Dans le cas d'une surface gauche, à une génératrice G correspond sur le cône une génératrice sg; le plan langent au cône le long de j^ est parallèle au plan tangent à la surface ganclie au point qui est à l'infini sur G, puisque le plan tangent au point qui est à l'infini sur G est parallèle à la génératrice de la surface gauche qui est infiniment voisine de G.

On voit alors que, dans le cas d'une surface développable, si d'un point de l'espace on mène des plans parallèles aux plans tangents de cette surface, on a une enveloppe.

Dans le cas d'une surface gauche, en menant d'un point de l'espace des plans parallèles aus plans tangents de la surface, il n'y u pas d'enveloppe.

Surfaces développables. — C étant une courbe gauche, menons des tangentes à cette courbe et considérons la surface développable formée par ces droites. Le plan tangent à cette surface le long de la génératrice G est le plan mené par cette droite parallèlement à la génératrice infiniment voisine G'; mais ce plan n'est autre que le plan osculateur de G pour le point a où G louche cette courbe ; on voit donc que les plans tangents de la surface développable ne sont autres que les plans osculateurs de la courbegauche, etl'onvoîlaussique l'intersection dedeux plans osculateurs infiniment voisins est une tangente de la courbe gauche.

Il résulte de là \in moyen graphique pour construire le plan osculateur d'une courbe gauche en un point de cette courbe.

Si l'on veut avoir au point a le plan osculateur de la courbe gauche C, on prend des tangentes à cette courbe gauche et les points où ces droites rencontrent un plan ausiliair-e (P); en réu-

(lissant ces points par un trait continn, on a la trace delà surface développable formée par les tangentes deC. On mène à cette courbe une tangente au point où elle est rencontrée par la génératrice de la surface développable qui passe par a : le plan déterminé par cette tangente et par cette génératrice est le plan tangent à la surface développable lien des tangentes à ta courbe gauche; c'est, comme nous venons de le voir, le plan osculateur de la courbe gaucbe au